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周二
1.(2024·赣州模拟)已知甲、乙两组数据分别为22，21，24，23，25，20和25，22，a，26，23，24.若乙组
数据的平均数比甲组数据的平均数大2，则( )
A.甲、乙两组数据的极差不同
B.乙组数据的中位数为24
C.甲、乙两组数据的方差相同
D.甲组数据的第一四分位数为21.5
答案 C
解析 由乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大2，
设甲、乙两组数据平均数分别为x ，x ，
1 2
方差分别为s2，s2
，
1 2
22+21+24+23+25+20
则x = =22.5，
1 6
25+22+a+26+23+24 120+a
x = = ，
2 6 6
由x =x +2，
2 1
120+a
即 =22.5+2=24.5，
6
解得a=27，所以两组数据极差均为5，故A错误；
乙组数据按从小到大排列为22，23，24，25，26，27，
24+25
则中位数为 =24.5，故B错误；
2
1 35
s2= ×[(22-22.5)2+(21-22.5)2+(24-22.5)2+(23-22.5)2+(25-22.5)2+(20-22.5)2]= ，
1 6 12
1 35
s2= ×[(25-24.5)2+(22-24.5)2+(27-24.5)2+(26-24.5)2+(23-24.5)2+(24-24.5)2]= ，
2 6 12
所以s2 =s2
，所以甲、乙两组数据的方差相同，故C正确；
1 2
甲组数据按从小到大排列为20，21，22，23，24，25，
1
由i=6× =1.5，所以第一四分位数为21，故D错误.
4
2.(2024·邵阳联考)“四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，已知AB=2，
CD=1，∠A=45°，点P在线段AB与线段BL上运动，则⃗EH·⃗FP的取值范围为( )A.[-4，6] B.[0，6]
C.[0，8] D.[4，8]
答案 C
解析 如图，以C为原点建立平面直角坐标系，
易知A(-2，1)，B(0，1)，F(0，-1)，E(-1，-2)，H(1，0)，L(1，2)，所以⃗EH=(2，2)，
当P在线段AB上运动时，设P(x，1)，其中-2≤x≤0，
⃗FP=(x，2)，
则⃗EH·⃗FP=2x+4，
因为-2≤x≤0，所以⃗EH·⃗FP∈[0，4]；
当P在线段BL上运动时，设P(x，y)(0≤x≤1)，
则⃗BP=(x，y-1)，⃗BL=(1，1)，且⃗BP∥⃗BL，
则x=y-1，故P(x，x+1)(0≤x≤1)，⃗FP=(x，x+2)，
则⃗EH·⃗FP=4x+4，
因为0≤x≤1，所以⃗EH·⃗FP∈[4，8]，综上，⃗EH·⃗FP的取值范围为[0，8].
x2 y2
3.(多选)(2024·湖北名校联盟联考)已知O为坐标原点，双曲线C： - =1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦
a2 b2
点为F，过A且平行于y轴的直线与C的一条渐近线交于点B，过B且平行于x轴的直线与y轴交于点D，
若AD⊥DF，则C的离心率等于( )
|OD|2 |DF|2
A. B.
|OA|·|OF| |AD|2
|AD|2 √5+1
C. -1 D.
|BD|2 2
答案 BCD
解析 设C的半焦距为c，离心率为e，则有A(-a，0)，F(c，0)，b
渐近线方程为y=± x，令x=-a得y=±b，
a
不妨设B(-a，b)，则D(0，b)，
当AD⊥DF时，∠DAO+∠ADO=∠ODF+∠ADO=90°，即∠DAO=∠ODF，
故△ADO∽△DFO，
|OD| |OA|
所以 = ，
|OF| |OD|
可知|OD|2=|OA|·|OF|，
|OD|2
即 =1，故A错误；
|OA|·|OF|
因为△ADO∽△AFD，
|AD| |OA|
所以 = ，
|AF| |AD|
故|AD|2=|OA|·|AF|，
|DF| |OF|
因为△FOD∽△FDA，所以 = ，
|AF| |DF|
故|DF|2=|OF|·|AF|，
|DF|2 |OF|
则 = =e，故B正确；
|AD|2 |OA|
|AD|2 |AD|2-|BD|2 |OD|2 |OA|·|OF| |OF|
-1= = = = =e，故C正确；
|BD|2 |BD|2 |OA|2 |OA|2 |OA|
|AD|2=a2+b2=c2，|DF|2=b2+c2，|AF|2=(a+c)2，
且|AD|2+|DF|2=|AF|2，
故c2+b2+c2=(a+c)2，
又因为b2=c2-a2，故c2-ac-a2=0，
√5+1
即e2-e-1=0，解得e= (负值舍去)，故D正确.
2
4.(2024·开封质检)袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出
1
的两个球都是红球的概率为 ，则E(ξ)= .
6
8
答案
9解析 依题意m，n为非负整数，记“取出的两个球都是红球”为事件A，
C2
1
4
则P(A)= = ，
C2 6
m+n+4
4×3 1
所以 = ，解得m+n=5或m+n=-12(舍去).
(m+n+4)(m+n+3) 6
ξ的可能取值为0，1，2，
C2
5
C1C1
5
5 4 5
则P(ξ=0)= = ，P(ξ=1)= = ，
C2 18 C2 9
9 9
C2
1
4
P(ξ=2)= = ，
C2 6
9
5 5 1 8
所以E(ξ)=0× +1× +2× = .
18 9 6 9
{2a -1,n为奇数,
5.(2024·新乡模拟)已知数列{a }满足a =1，a = n
n 1 n+1 3a +3,n为偶数.
n
(1)记b =a ，证明数列{b }是等比数列，并求{b }的通项公式；
n 2n-1 n n
(2)求{a }的前2n项和S ，并证明2S ≥a -2.
n 2n 2n 2n+1
b a 3a +3 3a +3 3(2a -1)+3
解 (1)由题意可知，
n+1
=
2n+1
=
2n
=
(2n-1)+1
=
2n-1
=6，
b a a a a
n 2n-1 2n-1 2n-1 2n-1
所以数列{b }是首项为b =a =1，公比为6的等比数列.
n 1 1
于是b =6n-1.
n
(2)由题意可知，a =2a -1，
2n 2n-1
所以S =a +a +a +…+a
2n 1 2 3 2n
=(a +a +…+a )+(a +a +…+a )
1 3 2n-1 2 4 2n
=(a +a +…+a )+(2a -1+2a -1+…+2a -1)
1 3 2n-1 1 3 2n-1
=3(a +a +…+a )-n
1 3 2n-1
=3(b +b +b +…+b )-n
1 2 3 n
1-6n 3 3
=3× -n= ×6n-n- .
1-6 5 5
又b =a =6n，
n+1 2n+1
6 6 1 4
令c =2S -a +2= ×6n-2n- -6n+2= ×6n-2n+ ，
n 2n 2n+1 5 5 5 5
c -c =
1
×6n+1-2(n+1)+
4
-
(1
×6n-2n+
4)
=6n-2>0，
n+1 n 5 5 5 5
所以数列{c }单调递增，故c ≥c =0，
n n 1
即2S ≥a -2.
2n 2n+1
