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周五
( π)
1.(2024·昆明检测)函数f(x)=sin 2x+ 的最小正周期为( )
3
π
A.π B.
2
π π
C. D.
3 6
答案 A
2π 2π
解析 由周期公式得T= = =π.
|ω| 2
1 (x+1) ( t+1 )
2.(2024·红河州检测)已知函数f(x)= -x3，若对于任意的x∈(1，2]，不等式f +f
ex+1 x-1 (x-1) 2 (x-6)
<1恒成立，则实数t的取值范围为( )
A.(1，+∞) B.[-1，1]
C.(-∞，-1] D.(-∞，-1)
答案 C
1
解析 设g(x)=f(x)- ，
2
1 1 1-ex
则g(x)= -x3- = -x3，
ex+1 2 2(ex+1)
1-e-x ex-1
g(-x)= +x3= +x3=-g(x)，g(x)的定义域为R，
2(e-x+1) 2(ex+1)
所以g(x)为奇函数.
(x+1) ( t+1 )
所以f +f <1
x-1 (x-1) 2 (x-6)
(x+1) 1 ( t+1 ) 1
f - <-f + ，
x-1 2 (x-1) 2 (x-6) 2
⇔
(x+1) (
-
t+1 )
g <g ，
x-1 (x-1) 2 (x-6)
⇔
1
由f(x)在R上单调递减且g(x)=f(x)- ，得g(x)在R上单调递减，
2
x+1 t+1
所以对于任意的x∈(1，2]， >- 恒成立.
x-1 (x-1) 2 (x-6)
由x∈(1，2]，知x+1>0，x-1>0且x-6<0，
所以当x∈(1，2]时，(x+1)(x-1)(x-6)<-(t+1)恒成立.设p(x)=(x+1)(x-1)(x-6)=x3-6x2-x+6，
则p'(x)=3x2-12x-1，当x∈(1，2]时，p'(x)<0，
所以p(x)在(1，2]上单调递减，而p(1)=0，
所以0≤-(t+1)，即t≤-1.
3.(多选)(2025·内江模拟)甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学做传接球训练，球从甲手中开始，等可能地随机
传向另外5人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外5人中的1人，如此不停地传下去，假
设传出的球都能被接住.记第n次传球之后球在乙手中的概率为a .则下列结论正确的有( )
n
4
A.a =
2 25
{ 1}
B. a - 为等比数列
n 6
C.设第n次传球后球在甲手中的概率为b ，则b <a
n 10 10
1[ ( 1) n]
D.a = 1- -
n 6 5
答案 ABD
1 4 1 1 4
解析 依题意a = ，a = × + ×0= ，
1 5 2 5 5 5 25
第n次传球之后球在乙手中，则当n≥2时，第(n-1)次传球之后球不在乙手中，其概率为1-a ，
n-1
1
因此a = (1-a )，
n 5 n-1
1 1( 1)
于是a - =- a - (n≥2)，
n 6 5 n-1 6
1 1 { 1} 1 1
而a - = ，则 a - 是以 为首项，- 为公比的等比数列，
1 6 30 n 6 30 5
1 1 ( 1) n-1
所以a - = × - ，
n 6 30 5
1 1 ( 1) n-1 1[ ( 1) n]
则a = + × - = 1- - ，故A，B，D正确；
n 6 30 5 6 5
1
因为b =0，当n≥2时，b = (1-b )，
1 n 5 n-1
1 1( 1) 1 1
则b - =- b - (n≥2)，又b - =- ，
n 6 5 n-1 6 1 6 6
{ 1} 1 1
所以 b - 是以- 为首项，- 为公比的等比数列，
n 6 6 5
1 1 ( 1) n-1
所以b - =- × - ，
n 6 6 51 1 ( 1) n-1
所以b = - × - ，
n 6 6 5
1 1 ( 1) 9 1 1 (1) 9
则a = + × - = - × ，
10 6 30 5 6 30 5
1 1 ( 1) 9 1 1 (1) 9
b = - × - = + × ，
10 6 6 5 6 6 5
1 1 (1) 9 [1 1 (1) 9]
所以a -b = - × - + ×
10 10 6 30 5 6 6 5
1 (1) 9 1 (1) 9
=- × - × <0，
30 5 6 5
所以a <b ，故C错误.
10 10
4.(2024·烟台模拟)若圆(x-m)2+(y-1)2=1关于直线y=x对称的圆恰好过点(0，4)，则实数m的值为 .
答案 4
解析 依题意，点(0，4)关于直线y=x对称的点(a，b)在圆(x-m)2+(y-1)2=1上，
b+4 a
{ = ,
2 2
则
b-4
=-1,
a-0
{a=4,
解得 因此点(4，0)在圆(x-m)2+(y-1)2=1上，
b=0,
则(4-m)2+(0-1)2=1，解得m=4，
所以实数m的值为4.
5.(2024·济宁模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(1-cos 2C)(sin A+1)-cos Asin
2C=0.
π
(1)求证：B=C+ ；
2
(π π)
(2)若a=4，C∈ ， ，求△ABC面积的取值范围.
8 6
(1)证明 由(1-cos 2C)(sin A+1)-cos Asin 2C=0，
得sin A+1-cos 2Csin A-cos 2C-cos Asin 2C
=sin A-cos 2C+1-sin(A+2C)=0，
又A+C=π-B，
则sin(B+C)-cos 2C+1-sin(B-C)
=sin Bcos C+sin Ccos B-1+2sin2C+1-sin Bcos C+sin Ccos B
=2sin2C+2sin Ccos B
=2sin C(sin C+cos B)=0，又sin C>0，所以sin C+cos B=0，
(π )
即cos B=-sin C=cos +C ，
2
π
又0<B<π，0<C<π，所以B= +C.
2
π
(2)解 由(1)知B= +C，A+B+C=π，
2
π
得A= -2C，
2
π π π π
由 <C< ，得 <A< ，
8 6 6 4
a c
由正弦定理 = ，
sin A sinC
asinC
asinC 4sinC
得c= = (π )= ，
sinA sin -2C cos2C
2
1
所以S = acsin B
△ABC 2
1 sinC (π )
= ×42× ×sin +C
2 cos2C 2
1 sinC 4sin2C
= ×42× ×cos C= =4tan 2C，
2 cos2C cos2C
π π
又 <C< ，
8 6
π π
所以 <2C< ，
4 3
( π π)
又y=tan x在 - ， 上单调递增，
2 2
则tan 2C∈(1，√3)，所以4tan 2C∈(4，4√3)，
即△ABC面积的取值范围为(4，4√3).
