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周六
sin3α
1.(2024·承德模拟)已知tan α=2，则 等于( )
sinα+cosα
2 2
A.- B.
15 15
7 7
C.- D.
9 9
2.(2024·郑州模拟)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a，b，m(m>0)为整
数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(mod m).若a=C1 ×2+C2 ×22+…+C20
20 20 20
×220，a≡b(mod 10)，则b的值可以是( )
A.2 018 B.2 020
C.2 022 D.2 024
3.(多选)(2024·徐州适应性测试)已知函数f(x)=ex(x-aex)，a∈R，则下列说法正确的是( )
A.当a=-1时，f(x)有唯一零点
1
B.当a> 时，f(x)是减函数
2
1
C.若f(x)只有一个极值点，则a≤0或a=
2
f(x )-f(x )
D.当a=1时，对任意实数t，总存在实数x ，x ，使得f'(t)= 1 2
1 2 x -x
1 2
4.(2024·温州模拟)过抛物线y2=2px(00，b>0)的实轴长为4，左、右焦点分别为F ，F ，
a2 b2 1 2
其中F 到渐近线的距离为1.
2
(1)求双曲线Γ的标准方程；
(2)若点P是第一象限内双曲线Γ上的一个动点，双曲线Γ在点P处的切线l 与x轴相交于点T.
1
①证明：射线PT是∠F PF 的平分线；
1 2
②过坐标原点O的直线l 与l 垂直，与直线PF 相交于点Q，求△QF F 面积的取值范围.
2 1 1 1 2答案精析
1.A 2.B 3.ABD
4
4.
3
(p ) p
解析 由于直线l过焦点 ，0 ，且与抛物线交于两个不同的点A，B，故设其方程为x=my+ ，
2 2
A(x ，y )，B(x ，y )，
A A B B
{ p
x=my+ ,
联立方程组 2
y2=2px,
消去x得，y2-2pmy-p2=0，
所以y ·y =-p2，
A B
1
所以V = ·S ·|y |
三棱锥A-FMB 3 △BFM A
1 1
= × |MF|·|y |·|y |
3 2 B A
1
= |MF|·|y |·|y |
6 B A
1 ( p)
= p2 1-
6 2
1
= p2(4-2p)
24
1 [ p+p+(4-2p)] 3 8
≤ = ，
24 3 81
4 4
当且仅当p=4-2p，即p= 时，等号成立，所以三棱锥A-FMB的体积最大时，p= .
3 3
5.(1)解 因为实轴长为4，
所以2a=4，即a=2，
b bc x2
因为右焦点F (c，0)到渐近线y=± x的距离为1，所以 =b=1，故双曲线Γ的标准方程为 -y2=1.
2 a √a2+b2 4
(2)①证明 由题意知切线l 的斜率存在，设P(x ，y )，x >2，y >0，
1 0 0 0 0
切线l ：y-y =k(x-x )，
1 0 0
则x2 -4y2
=4，
0 0{
x2
- y2=1,
联立 4
y- y =k(x-x ),
0 0
化简得
(1 -k2)
x2-2k(y -kx )x-(y -kx )2-1=0.
4 0 0 0 0
x
0
由Δ=0，解得k= ，
4 y
0
x
0
所以直线PT：y-y = (x-x )，
0 4 y 0
0
( 4 )
令y=0，得T ，0 ，
x
0
4
故|TF |= +√5，
1 x
0
4
|TF |=- +√5.
2 x
0
√5 √5
因为|PF |=√(x +√5) 2+ y2= x2+2√5x +4=2+ x ，
1 0 0 4 0 0 2 0
√5
所以|PF |=|PF |-4= x -2，
2 1 2 0
所以|PF |·|TF |=|TF |·|PF |，
1 2 1 2
|PF | |T F |
1 1
即 = ，
|PF | |T F |
2 2
故射线PT是∠F PF 的平分线.
1 2
②解 过F 作l ⊥l ，与直线PF 交于点E，
2 3 1 1
因为l 为∠F PF 的平分线，所以|PF |=|PE|，
1 1 2 2
所以|F E|=|PF |-|PE|
1 1
=|PF |-|PF |=4.
1 2
因为OQ⊥l ，F E⊥l ，
1 2 1
所以OQ∥F E，
2
又因为O为F F 的中点.
1 2
则OQ是△F F E的中位线，故Q是F E的中点.
1 2 1
所以|F Q|=2，记∠PF F =θ，
1 1 2因为OQ⊥l ，所以∠PQO为锐角，
1
所以∠F QO为钝角，
1
所以|F Q|2 +|OQ|2<|F O|2 ，
1 1
即4+|OQ|2<5，
所以|OQ|2<1，所以|OQ|<1，
由正弦定理得
|OQ|sin∠F QO 1
sin θ= 1 < ，
√5 √5
( √5)
所以sin θ∈ 0， ，
5
1
则S = |F Q||F F |·sin θ=2√5sin θ∈(0，2).故△QF F 面积的取值范围是(0，2).
△QF 1 F 2 2 1 1 2 1 2
