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第四周
周一
1.(2024·九江模拟)若函数f(x)=ln(ax+1)在(1，2)上单调递减，则实数a的取值范围是( )
( 1 )
A.(-∞，0) B. - ，0
2
[ 1 )
C. - ，0 D.[-1，0)
2
答案 C
解析 函数f(x)=ln(ax+1)在(1，2)上单调递减，
由函数y=ln x在定义域内单调递增，所以函数g(x)=ax+1在(1，2)上单调递减且恒大于0，
{ a<0,
则有
g(2)=2a+1≥0,
1
解得- ≤a<0.
2
x2 y2
2.(2024·丽水、湖州、衢州联考)已知椭圆C： + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，P为椭圆上一
a2 b2 1 2
点，∠F PF =60°，直线l：y=-x+t经过点P.若点F 关于l的对称点在线段F P的延长线上，则C的离心率
1 2 2 1
是( )
1 √2
A. B.
3 2
1 2
C. D.
2 3
答案 B
解析 由直线l：y=-x+t，且点F 关于l的对称点在线段F P的延长线上，
2 1
设其为M，直线l与x轴的交点为H，如图所示，可得点M与点F 关于PH对称，且∠F PF =60°，
2 1 2
故在△PF M中，∠F PM=120°，∠PF M=30°，
2 2 2
又直线l的倾斜角为135°，则∠HF M=45°，
2
故在△PF F 中，有∠F PF =60°，
1 2 1 2
∠PF F =105°，∠PF F =15°，
2 1 1 2|PF | |PF | |F F |
1 2 1 2
又由 = = ，
sin∠PF F sin∠PF F sin∠F PF
2 1 1 2 1 2
|PF |+|PF | |F F |
1 2 1 2
可得 = ，
sin∠PF F +sin∠PF F sin∠F PF
1 2 2 1 1 2
2a 2c
即 = ，
sin15°+sin105° sin60°
c sin60°
所以e= =
a sin15°+sin105°
√3
2 √2
= = .
√6-√2 √6+√2 2
+
4 4
3.(多选)(2024·承德模拟)已知z∈C，z是z的共轭复数，则( )
1+3i -4-3i
A.若z= ，则z=
1-3i 5
B.若z为纯虚数，则z2<0
C.若z-(2+i)>0，则z>2+i
D.若M={z||z+3i|≤3}，则集合M所构成区域的面积为6π
答案 AB
1+3i (1+3i) 2 -4+3i
解析 z= = = ，
1-3i (1-3i)(1+3i) 5
-4-3i
所以z= ，故A正确；
5
由z为纯虚数，可设z=bi(b∈R，b≠0)，
所以z2=b2i2，因为i2=-1且b≠0，
所以z2<0，故B正确；
由z-(2+i)>0，得z=a+i(a>2)，
因为z=a+i(a>2)与2+i均为虚数，
所以二者之间不能比较大小，故C错误；
设复数z=a+bi，a，b∈R，所以z+3i=a+(b+3)i，
由|z+3i|≤3得a2+(b+3)2≤9，
所以集合M所构成区域是复平面内以(0，-3)为圆心，3为半径的圆及其内部，所以面积为9π，故D错误.
4.(2024·六盘水模拟)某校为了弘扬我国优秀的诗词文化，举办了校园诗词大赛，大赛以抢答形式进行.若甲、
1 1 1
乙两队答对某题的概率分别为 ， ，且甲、乙两队抢到该题的可能性均为 ，则该题被答对的概率为
4 3 2
.7
答案
24
1 1 1 1 7
解析 由题意，该题被答对的概率为 × + × = .
2 4 2 3 24
5.(2024·邯郸模拟)已知函数f(x)=aex-xln x.
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若f(x)为增函数，求a的取值范围.
解 (1)当a=1时，f(x)=ex-xln x，即f(1)=e，所以切点坐标为(1，e)，
又因为f'(x)=ex-ln x-1，则f'(1)=e-1，
由直线的点斜式方程可得y-e=(e-1)(x-1)，
化简可得(e-1)x-y+1=0.
(2)因为函数f(x)=aex-xln x的定义域为(0，+∞)，且f'(x)=aex-(1+ln x)，
f(x)为增函数，等价于f'(x)≥0在(0，+∞)上恒成立，
1+lnx 1+lnx
由f'(x)≥0可得a≥ ，令g(x)= (x>0)，
ex ex
所以只需a≥g(x) ，
max
(1 )
求导可得g'(x)=e-x -1-lnx ，
x
1
令h(x)= -1-ln x(x>0)，
x
1 1
则h'(x)=- - <0，
x2 x
即h(x)是减函数，又h(1)=0，
故x=1是h(x)的唯一零点，
当x∈(0，1)时，h(x)>0，g'(x)>0，g(x)单调递增，
当x∈(1，+∞)时，h(x)<0，g'(x)<0，g(x)单调递减，
故当x=1时，g(x)取得极大值且为最大值，
1
g(1)= ，
e
1 [1 )
所以a≥ ，即a的取值范围是 ，+∞ .
e e
