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第十章 新定义（模块综合调研卷）
都有， ,则 的最大值是
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A． B． C． D．
注意事项: 3．丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的
指定位置。
多宝贵的成果.若 为 上任意 个实数，满足 ，
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷 则称函数 在 上为“凹函数”.也可设可导函数 在 上的导函数为 在 上的
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。 导函数为 ，当 时，函数 在 上为“凹函数”.已知 ，且
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合
，令 的最小值为 ，则 为（ ）
题目要求的）
1．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多
面体的顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧
A． B． C． D．
度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各项点的曲率之和．例如：正四面
4．设集合 ． 对于集合 的子集A，若任取A中两个不同元素
体在每个顶点有3个面角，每个面角是 ，所以正四面体在每个顶点的曲率为 ，故其总曲率为
，有 ，且 中有且只有一个为
．已知多面体的顶点数V，棱数E，面数F满足 ，则八面体的总曲率为（ ）
，则称A是一个“好子集”．下列结论正确的是（ ）
A．一个“好子集”中最多有 个元素 B．一个“好子集”中最多有 个元素
C．一个“好子集”中最多有 个元素 D．一个“好子集”中最多有 个元素
5．对于数列 ，若存在正数 ，使得对一切正整数 ，都有 ，则称数列 是有界的.若这样的
A． B． C． D．
正数 不存在，则称数列 是无界的.记数列 的前 项和为 ，下列结论正确的是（ ）
2．定义 表示两个数 中的较小者， 表示两个数 中的较大者，设集合
A．若 ，则数列 是无界的 B．若 ，则数列 是有界的
都是 的含有两个元素的子集，且满足：对任意的
C．若 ，则数列 是有界的 D．若 ，则数列 是有界的
6．对于三次函数 给出定义：设 是函数 的导数， 是…
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※※题※※答※※内※※线※※订※※装※※在※※要※※不※※请※※
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外
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的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”，同学经过探究发现：
A．若 ，则
任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，若
B．若 ，且 ， ，则
，请你根据这一发现计算： （ ）
C．若 中各项均为正数，则
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
7．已知无穷数列 ， ．性质 ， ， ，性质 ， ， ， D．若 ， ，则
10．已知向量 ， ，O是坐标原点，若 ，且 方向是沿 的方向绕着A点按逆时针方向
，给出下列四个结论：
①若 ，则 具有性质 ；
旋转 角得到的，则称 经过一次 变换得到 ．现有向量 经过一次 变换后得到 ，
②若 ，则 具有性质 ；
经过一次 变换后得到 ，…，如此下去， 经过一次 变换后得到 ，设
③若 具有性质 ，则 ；
④若等比数列 既满足性质 又满足性质 ，则其公比的取值范围为 ．
， ， ，下列结论中正确的是（ ）．
则所有正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4 A． B．
8．设 ，若函数 有且只有三个零点，则实数 的取值范
C． D．
围为（ ）
11．记 分别为函数 的导函数.若存在 ，满足 且 ，则
A． B． C． D．
称 为函数 与 的一个“S点”.则下列说法正确的是（ ）
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
A．函数 与 不存在“S点”
全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分）
B．若函数 与 存在“S点”，则
9．若数列 满足 （ ， 为常数），则称数列 为“调和数列”.已知数列 为“调
和数列”，下列说法正确的是（ ） C．对于函数 与 .对于任意的 ，均不存在 ，使得函数 与 在区
第21页 共24页 ◎ 第22页 共24页间 内存在“S点” 差”．若 ， ，则函数 与 的“偏差”取得最小值时，m的值为
．
D．对于函数 与 .对于任意的 ，存在 ，使得函数 与 在区间
四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，
内存在“S点” 19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．如果n项有穷数列 满足 ， ，…， ，即 ，则称有穷数列
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
为“对称数列”.
12． ，若定义
(1)设数列 是项数为7的“对称数列”，其中 成等差数列，且 ，依次写出数列
，则 中的元素有 个．
的每一项；
13．在空间直角坐标系下，由方程 所表示的曲面叫做椭球面（或称椭圆面）. (2)设数列 是项数为 ( 且 )的“对称数列”，且满足 ，记 为数列 的前
如果用坐标平面 分别截椭球面，所得截面都是椭圆（如图所示），这三个截面的方程分别为 项和.
①若 ， ，…， 构成单调递增数列，且 .当 为何值时， 取得最大值?
②若 ，且 ，求 的最小值.
， ， 上述三个椭圆叫做椭球面的主截线（或主椭圆）.已知椭球面的轴与
16．在高等数学中，我们将 在 处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：
坐标轴重合，且过椭圆 与点 ，则这个椭球面的方程为 .
（其中 表示 的n次导
数 ），以上公式我们称为函数 在 处的泰勒展开式.当 时泰勒展开式也称为麦克劳
林公式.比如 在 处的麦克劳林公式为： ，由此当 时，可以非
常容易得到不等式 请利用上述公式和所学知识完成下列问题：
14．俄国数学家切比雪夫是研究直线逼近函数理论的先驱．对定义在非空集合I上的函数 ，以及函数
(1)写出 在 处的泰勒展开式.
，切比雪夫将函数 ， 的最大值称为函数 与 的“偏…
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※※题※※答※※内※※线※※订※※装※※在※※要※※不※※请※※
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，且对于运算“ ”， 表示坐标为 的点．若点U，V，W满足
(2)若 ， 恒成立，求a的范围;（参考数据 ）
，则称V与U相似，记作V~U．若存在单调函数 和 ，使得对于 图像上任
(3)估计 的近似值（精确到 ）
意一点T， 均在 图像上，则称 为 的镜像函数．
17．正整数集 ，其中 .将集合 拆分成 个三元子集，这 个集
(1)若点 ， ，且N~M，求 的坐标；
合两两没有公共元素.若存在一种拆法，使得每个三元子集中都有一个数等于其他两数之和，则称集合 是
“三元可拆集”.
(2)证明：若 为 的镜像函数， ，则 ；
(1)若 ，判断集合 是否为“三元可拆集”，若是，请给出一种拆法；若不是，请说明理由；
(3)已知函数 ， 为 的镜像函数．设R~S，且 ．证明：
(2)若 ，证明：集合 不是“三元可拆集”；
(3)若 ，是否存在 使得集合 是“三元可拆集”，若存在，请求出 的最大值并给出一种拆法；若不
．
存在，请说明理由.
18．已知数列 满足 ，数列 满足 ，
．
(1)求 ， 的通项公式；
(2)定义：已知数列 ， ，当 时，称 为“4一偶数项和整除数列”．
（i）计算 ， ，其中 ， ．
（ii）若 为“4-偶数项和整除数列”，求 的最小值．
19．“对称性”是一个广义的概念，包含“几何对称性”、“置换对称性”等范畴，是数学之美的重要体现．
假定以下各点均在第一象限，各函数的定义域均为 ．设点 ， ， ，规定
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