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第四周
周一
1.(2024·九江模拟)若函数f(x)=ln(ax+1)在(1，2)上单调递减，则实数a的取值范围是( )
( 1 )
A.(-∞，0) B. - ，0
2
[ 1 )
C. - ，0 D.[-1，0)
2
x2 y2
2.(2024·丽水、湖州、衢州联考)已知椭圆C： + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，P为椭圆上一
a2 b2 1 2
点，∠F PF =60°，直线l：y=-x+t经过点P.若点F 关于l的对称点在线段F P的延长线上，则C的离心率
1 2 2 1
是( )
1 √2
A. B.
3 2
1 2
C. D.
2 3
3.(多选)(2024·承德模拟)已知z∈C，z是z的共轭复数，则( )
1+3i -4-3i
A.若z= ，则z=
1-3i 5
B.若z为纯虚数，则z2<0
C.若z-(2+i)>0，则z>2+i
D.若M={z||z+3i|≤3}，则集合M所构成区域的面积为6π
4.(2024·六盘水模拟)某校为了弘扬我国优秀的诗词文化，举办了校园诗词大赛，大赛以抢答形式进行.若甲、
1 1 1
乙两队答对某题的概率分别为 ， ，且甲、乙两队抢到该题的可能性均为 ，则该题被答对的概率为
4 3 2
.
5.(2024·邯郸模拟)已知函数f(x)=aex-xln x.
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若f(x)为增函数，求a的取值范围.答案精析
7
1.C 2.B 3.AB 4.
24
5.解 (1)当a=1时，
f(x)=ex-xln x，
即f(1)=e，
所以切点坐标为(1，e)，
又因为f'(x)=ex-ln x-1，
则f'(1)=e-1，
由直线的点斜式方程可得
y-e=(e-1)(x-1)，
化简可得(e-1)x-y+1=0.
(2)因为函数f(x)=aex-xln x的定义域为(0，+∞)，
且f'(x)=aex-(1+ln x)，
f(x)为增函数，等价于f'(x)≥0在(0，+∞)上恒成立，
1+lnx
由f'(x)≥0可得a≥ ，
ex
1+lnx
令g(x)= (x>0)，
ex
所以只需a≥g(x) ，求导可得
max
(1 )
g'(x)=e-x -1-lnx ，
x
1
令h(x)= -1-ln x(x>0)，
x
1 1
则h'(x)=- - <0，
x2 x
即h(x)是减函数，又h(1)=0，
故x=1是h(x)的唯一零点，
当x∈(0，1)时，h(x)>0，g'(x)>0，g(x)单调递增，
当x∈(1，+∞)时，h(x)<0，
g'(x)<0，g(x)单调递减，
1 1
故当x=1时，g(x)取得极大值且为最大值，g(1)= ，所以a≥ ，
e e[1 )
即a的取值范围是 ，+∞ .
e
