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周四
1.(2024·太原模拟)(x+y-1)5的展开式中 xy2的系数为( )
A.-20 B.20
C.-30 D.30
答案 D
解析 因为(x-1+y)5的展开式通项为T =Ck (x-1)5-kyk，
k+1 5
当k=2时，出现y2，即T =C2 (x-1)3y2，
2+1 5
此时(x-1)3中含x的项为C2 x(-1)2，
3
所以xy2的系数为C2C2 (-1)2=30.
5 3
2.(2024·南通、扬州、台州七市调研)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+1)为偶函数，f(x+2)-1为奇函数.若
26
f(1)=0，则 Σ f(k)等于( )
k=1
A.23 B.24 C.25 D.26
答案 C
解析 f(x+1)为偶函数，则f(x+1)=f(-x+1)，
则f(x)的图象关于直线x=1对称，
f(x+2)-1为奇函数，则f(-x+2)-1=-f(x+2)+1，
即f(-x+2)+f(x+2)=2，则f(x)的图象关于点(2，1)对称，
则由其关于直线x=1对称有f(x)=f(-x+2)，则f(x)+f(x+2)=2，
则f(x+2)+f(x+4)=2，作差有f(x)=f(x+4)，
∴f(x)为周期函数，且周期为4，
∵f(1)+f(3)=2，f(1)=0，则f(3)=2，
∵f(0)=f(2)，f(0)+f(2)=2，
则f(0)=f(2)=1，f(4)=f(0)=1，
则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4，
24 26
∴ Σ f(k)=24， Σ f(k)=24+0+1=25.
k=1 k=1
3.(多选)(2024·滨州模拟)下列结论正确的是( )
A.若随机变量X，Y满足Y=2X+1，则D(Y)=2D(X)+1
B.若随机变量X~N(3，σ2)，且P(X<6)=0.84，则P(3<X<6)=0.34
C.样本相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越强D.按从小到大排序的两组数据：甲组：27，30，37，m，40，50；乙组：24，n，33，44，48，52，若这两
组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则m+n=70
答案 BCD
解析 对于A，D(Y)=4D(X)，A错误；
对于B，P(3<X<6)=P(X<6)-P(X≤3)=0.84-0.5=0.34，B正确；
对于C，样本相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越强，C正确；
对于D，由6×30%=1.8，得30=n，
37+m 33+44
且 = ，
2 2
解得n=30，m=40，因此m+n=70，D正确.
4.(2024·沈阳质检)已知向量a，b满足|a|=2，(4a+b)·b=4，则|2a+b|= .
答案 2√5
解析 因为(4a+b)·b=4，
所以4a·b+b2=4，又|a|=2，
所以|2a+b|=√(2a+b) 2
=√4a2+4a·b+b2
=√4×22+4=2√5.
5.(2024·辽宁教研教改联合体联考)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，
∠ABC=90°，且PA=PD=AD，PC=PB.
(1)若O为AD的中点，证明：平面POC⊥平面ABCD；
1
(2)若∠CDA=60°，AB= CD=1，线段PD上的点M满足⃗DM=λ⃗DP(0≤λ≤1)，且平面PCB与平面ACM夹
2
√42
角的余弦值为 ，求实数λ的值.
7
(1)证明 取BC的中点E，连接OE，PE，由条件可得OE为梯形ABCD的中位线，则OE⊥BC，
又PB=PC，则PE⊥BC，
且PE∩OE=E，PE 平面POE，OE 平面POE，
根据线面垂直的判⊂定定理，得BC⊥ ⊂平面POE，
∵PO 平面POE，∴BC⊥PO.
由PA⊂=PD，O为AD的中点，则PO⊥AD，又AD，BC为梯形的两腰，则AD与BC相交，∴PO⊥平面ABCD，
又PO 平面POC，∴平面POC⊥平面ABCD.
1
⊂
(2)解 取CD的中点Q，连接AQ，由AB= CD=1，∠CDA=60°，
2
则AQ⊥CD，AD=CD=2QD=2，
因此△ACD为等边三角形，CO⊥AD.
由(1)知PO⊥平面ABCD，
∴OP，OA，OC两两垂直，
如图，以⃗OC，⃗OA，⃗OP的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
由CD=DA=PA=PD=2，∠CDA=60°，则OP=OC=√3，
(√3 3 )
A(0，1，0)，B ， ，0 ，
2 2
C(√3，0，0)，P(0，0，√3)，D(0，-1，0)，
由⃗DM=λ⃗DP，得M(0，λ-1，√3λ)，
∴⃗PC=(√3，0，-√3)，
(√3 3 )
⃗BC= ，- ，0 ，
2 2
⃗AC=(√3，-1，0)，⃗AM=(0，λ-2，√3λ)，
设平面PCB的法向量为n =(a，b，c)，
1
{n ·⃗PC=0,
1
则
n ·⃗BC=0,
1
{√3a-√3c=0,
得 √3 3
a- b=0,
2 2
取a=√3，得b=1，c=√3，得n =(√3，1，√3).
1
设平面ACM的法向量为n =(x，y，z)，
2
{n ·⃗AC=0, { √3x- y=0,
2
则 得
n ·⃗AM=0, (λ-2)y+√3λz=0,
2
取y=√3λ，得x=λ，z=2-λ，即平面ACM的一个法向量为n =(λ，√3λ，2-λ).
2
记平面PCB与平面ACM的夹角为θ，
|n ·n | |√3λ+2√3| √42
∴cos θ= 1 2 = = ，
|n ||n | √7√5λ2-4λ+4 7
1 2
2
化简得(3λ-2)2=0，解得λ= ，
3
2
∴实数λ的值为 .
3
