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周六
1.(2024·金华、义乌模拟)样本数据12，46，38，11，51，24，33，35，55的第80百分位数是( )
A.33 B.35
C.46 D.51
答案 D
解析 将12，46，38，11，51，24，33，35，55从小到大排列为11，12，24，33，35，38，46，51，
55，9×80%=7.2，故第80百分位数为第8个数51.
2.(2024·昆明模拟)函数y=f(x)在R上的图象是一条连续不断的曲线，且与x轴有且仅有一个交点，对任意
x，y∈R，f(x)+f(y)=f(√x2+ y2)，f(1)=1，则下列说法正确的是( )
A.f(2)=2
B.f(x)为奇函数
C.f(x)在(0，+∞)上单调递减
D.若f(x)≤4，则x∈[-2，2]
答案 D
解析 令x=y=0得，2f(0)=f(0)，
则f(0)=0.
对于A，令x=y=1，有2f(1)=f(√2)，
则f(√2)=2，
令x=y=√2，有2f(√2)=f(2)，
则f(2)=4≠2，故A错误；
{
f(x),x>0,
对于B，令y=0，则f(x)= 0,x=0,
f(-x),x<0,
故f(x)为偶函数，故B错误；
对于C，因为f(x)在R上的图象是一条连续不断的曲线，且与x轴有且仅有一个交点，f(0)=0，f(1)=1>0，
所以当x>0时，f(x)>0，设0<x <x ，令x=x ，y=√x2-x2>0，
1 2 1 2 1
则f(x )+f(√x2-x2)=f(√x2+x2-x2)=f(x )，
1 2 1 1 2 1 2
即f(x )-f(x )=f(√x2-x2)>0，
2 1 2 1
所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，故C错误；
对于D，由上述结论得，f(x)为偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，f(0)=0，f(2)=4，
所以若f(x)≤4，则x∈[-2，2]，故D正确.3.(多选)(2024·常德沅澧共同体联考)已知关于x的方程 x2+tx+4=0(-4<t<4)的两个复数根分别为z 和z ，则(
1 2
)
A.z =z B.z z =1
1 2 1 2
z z
C.|z |=|z | D. 1 = ( 1 )
1 2 z z
2 2
答案 AC
解析 Δ=t2-16<0，
-t±√16-t2i
∴x= ，
2
t √16-t2
不妨设z =- + i，
1 2 2
t √16-t2
z =- - i，
2 2 2
∴z =z ，故A正确；
1 2
由根与系数的关系可得z z =4，故B错误；
1 2
|z |=|z |= √ ( - t ) 2 + (√16-t2) 2 =2，
1 2
2 2
故C正确；
∵z z =4，
1 2
z z2 z2
∴ 1 = 1 = 1
z z z 4
2 1 2
1( t √16-t2 ) 2
= - + i
4 2 2
t2-8 t√16-t2
= - i，
8 8
z
1
当t≠0时， ∉R，
z
2
z z
故
1≠ ( 1 )
，故D错误.
z z
2 2
x2 y2
4.(2024·娄底模拟)已知椭圆C： + =1(a>b>0)的右焦点为F，下顶点为A，过A，F的直线l与椭圆C交
a2 b2
8
于另一点B，若直线l的斜率为1，且|AB|= ，则椭圆C的标准方程为 .
3
x2 y2
答案 + =1
4 2解析 设F(c，0)，c>0，由题意知，b=c，a=√2c，直线l的方程为y=x-c，
与椭圆C的方程联立化简得3x2-4cx=0，
4
所以x =0，x = c，
A B 3
4√2 8
故|AB|=√2|x -x |= c= ，解得c=√2，
B A 3 3
所以b=√2，a=2，
x2 y2
椭圆C的标准方程为 + =1.
4 2
2x
5.(2024·晋城模拟)已知函数f(x)=e2x-a- .
ex
(1)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围；
(2)若f(x)有两个零点x ，x ，证明：x +x <0.
1 2 1 2
2(1-x) 2(e3x-1+x)
(1)解 f'(x)=2e2x- = .
ex ex
令h(x)=e3x-1+x，易知h(x)单调递增，且h(0)=0.
当x<0时，h(x)<0，即f'(x)<0，f(x)单调递减；
当x>0时，h(x)>0，即f'(x)>0，f(x)单调递增.
所以f(x) =f(0)=1-a≥0，即a≤1，
min
所以a的取值范围是(-∞，1].
(2)证明 由f(x)的单调性可设x <0<x .
1 2
(2x 2x)
令g(x)=f(x)-f(-x)=e2x-e-2x- +
ex e-x
=(ex+e-x)(ex-e-x-2x).
令φ(x)=ex-e-x-2x(x>0)，
则φ'(x)=ex+e-x-2>2√exe-x-2=0，
所以φ(x)在(0，+∞)上单调递增，则φ(x)>φ(0)=0，所以φ(x )>0.
2
所以f(x )-f(-x )>0，即f(x )-f(-x )>0，即f(x )>f(-x ).
2 2 1 2 1 2
因为当x<0时，f(x)单调递减，且-x <0，所以x <-x ，即x +x <0.
2 1 2 1 2
