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第一周
周一
2 1
1.(2024·惠州模拟)已知sin(2α+β)= ，cos αcos(α+β)= ，则tan α+tan(α+β)等于( )
3 2
3 2
A. B.
2 3
3 4
C. D.
4 3
答案 D
解析 因为sin(2α+β)=sin[α+(α+β)]
=sin αcos(α+β)+cos αsin(α+β)，
2
所以sin αcos(α+β)+cos αsin(α+β)= .
3
两边同除以cos αcos(α+β)，
2 1 4
得tan α+tan(α+β)= ÷ = .
3 2 3
2.(2024·厦门模拟)如图，☉O的半径等于2，弦BC平行于x轴，将劣弧BC沿弦BC作轴对称图，使其恰好
经过原点O，此时直线y=-x+m与这两段弧有4个交点，则m的可能取值为( )
2 4
A. B.
3 5
6
C. D.1
7
答案 B
解析 因为圆O的劣弧BC关于弦BC对称的图形恰好经过坐标原点O，
所以B(-√3，-1)，C(√3，-1)，当直线过C(√3，-1)时，将C(√3，-1)代入y=-x+m中，
得m=-1+√3；由对称性可知，弧BOC对应的圆的圆心在y轴上，
设为T(0，t)，则|OT|=|TC|，所以√02+t2=√(0-√3) 2+(t+1) 2，
解得t=-2，且弧BOC对应的圆的半径为2，
故弧BOC对应的圆的方程为x2+(y+2)2=4，
|-2-m|
当直线l与弧BOC相切时，得 =2，
√2
所以m=2√2-2(m=-2√2-2舍)，
4
结合图形可知，当-1+√3<m<2√2-2时，直线y=-x+m与两段弧有4个交点.故m的取值可能为 .
5
3.(多选)(2024·烟台模拟)先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为x，y，设事件
A=“log y为整数”，B=“x+y为偶数”，C=“x+2y为奇数”，则( )
(x+1)
1
A.P(A)=
6
1
B.P(AB)=
12
C.事件B与事件C相互独立
7
D.P(A|C)=
18
答案 BCD
解析 先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，得到向上的点数分别为x，y，
则所有样本点为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，
(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，
(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，
(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，
(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36个，
满足事件A的有(1，1)，(1，2)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(3，1)，(3，4)，(4，1)，(4，5)，(5，1)，(5，
12 1
6)，(6，1)，共12个，其概率P(A)= = ，故A错误；
36 3
满足事件B的有(1，1)，(1，3)，(1，5)，(2，2)，(2，4)，(2，6)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，2)，(4，
18 1
4)，(4，6)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，(6，2)，(6，4)，(6，6)，共18个，故P(B)= = ；
36 2
3 1
满足事件AB的有(1，1)，(3，1)，(5，1)，共3个，所以P(AB)= = ，故B正确；
36 12满足事件C的有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，
18 1
5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，共18个，故P(C)= = ，
36 2
满足事件BC的有(1，1)，(1，3)，(1，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共9个，所
9 1
以P(BC)= = =P(B)P(C)，
36 4
所以事件B与事件C相互独立，故C正确；
满足事件AC的有(1，1)，(1，2)，(1，4)，(3，1)，(3，4)，(5，1)，(5，6)，共7个，
7
7 P(AC) 36 7
所以P(AC)= ，则P(A|C)= = = ，故D正确.
36 P(C) 1 18
2
4.(2024·邢台模拟)已知(x-1)3+(x+1)4=a x4+a x3+a x2+a x+a ，则a = .
4 3 2 1 0 2
答案 3
解析 (x-1)3的通项为Ck x3-k(-1)k，所以展开式中x2的系数为C1 (-1)1=-3，
3 3
(x+1)4的通项为Ct x4-t，所以展开式中x2的系数为C2
=6，所以a =-3+6=3.
4 4 2
5.(2024·辽宁教研教改联合体联考)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且bcos A+√3bsin
A=a+c.
(1)求B；
(2)若b=2，△ABC的面积为√3，D为AC边上一点，满足CD=2AD，求BD的长.
解 (1)由正弦定理有sin Bcos A+√3sin Bsin A=sin A+sin C，
因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B，
所以sin Bcos A+√3sin Bsin A=sin A+sin Acos B+cos Asin B，
化简得√3sin Bsin A=sin A+sin Acos B，
由A∈(0，π)，sin A≠0，有√3sin B=1+cos B，
( π) 1
可得sin B- = ，
6 2
π ( π 5π)
因为B∈(0，π)，B- ∈ - ， ，
6 6 6
π π π
所以B- = ，则B= .
6 6 3
π 1
(2)由B= ，S= acsin B=√3，得ac=4，
3 2又b2=a2+c2-2accos B可得a2+c2=8，
{a2+c2=8,
联立 解得a=c=2，
ac=4,
所以△ABC为正三角形，
2 π
所以AD= ，A= ，
3 3
(2) 2 2 1 28 2√7
在△ABD中，由余弦定理得BD2=22+ -2×2× × = .故BD的长为 .
3 3 2 9 3
