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周四
y2
1.(2024·丽水、湖州、衢州模拟)双曲线x2- =1(m>0)的渐近线方程为y=±2x，则m等于( )
m2
1 √2
A. B.
2 2
C.√2 D.2
答案 D
|m|
解析 由题意可得 =2，又m>0，故m=2.
1
2.(2024·赣州适应性考试)由0和1组成的序列称为0-1序列，序列中数的个数称为这个序列的长度，如
01011是一个长度为5的0-1序列，在长度为8的0-1序列中，所有1互不相邻的序列个数为( )
A.20 B.54
C.55 D.280
答案 C
解析 设长度为n的0-1序列中任何两个1不相邻的序列有c 个，考虑最后一个数：
n
如果最后一位是0，只要前(n-1)位任何两个1不相邻即可，则满足要求的序列有c 个；若最后一位是1，
n-1
倒数第二位是0，于是只要前(n-2)位任何两个1不相邻即可，则满足要求的序列有c 个，
n-2
由分类加法计数原理得c =c +c (n≥3)，显然，c =2，c =3，
n n-2 n-1 1 2
则c =c +c =2+3=5，c =c +c =3+5=8，c =c +c =5+8=13，c =c +c =8+13=21，c =c +c =13+21=34，
3 1 2 4 2 3 5 3 4 6 4 5 7 5 6
c =c +c =21+34=55，
8 6 7
所以在长度为8的0-1序列中，所有1互不相邻的序列有55个.
3.(多选)(2024·辽宁教研教改联合体联考)已知函数f(x)=|ex-a|-aln x，则下列说法正确的有( )
A.若a<0，则f(x)的值域为R
B.若a=1，则过原点有且仅有一条直线与曲线y=f(x)相切
C.存在a>0，使得f(x)有三个零点
D.若f(x)≥0，则a的取值范围为[0，e]
答案 ABD
解析 A选项，若a<0，则ex-a>0，
故f(x)=|ex-a|-aln x=ex-a-aln x，x>0，
当x趋近于0时，-aln x趋近于负无穷，此时f(x)=ex-a-aln x趋近于负无穷，
当x趋近于正无穷时，-aln x和ex都趋近于正无穷，函数值趋近于正无穷，
因此函数f(x)的值域为R，A正确；
B选项，函数定义域为(0，+∞)，当a=1时，f(x)=|ex-1|-ln x，因为当x>0时，ex-1>0，故f(x)=ex-1-ln x，
1
则f'(x)=ex- ，设切点坐标为(x ，y )，
x 0 0
1
故f'(x )=ex 0- ，
0 x
0
则在x=x 处，y=f(x)的切线方程为
0
y-(ex 0-1-ln x
0
)= ( ex 0-
x
1 ) (x-x
0
)，
0
把点(0，0)代入切线方程得-(ex 0-1-ln x
0
)= ( ex 0-
x
1 ) (0-x
0
)，
0
化简得ln x =(1-x )ex 0，
0 0
当01时，ln x >0>(1-x )ex 0，此方程无解，
0 0 0
当x =1时，ln x =0=(1-x )ex 0，且函数y=ln x-(1-x)ex为增函数，
0 0 0
故方程ln x =(1-x )ex 0只有x =1这1个解，
0 0 0
即过原点有且仅有一条直线与曲线y=f(x)相切，B正确；
C选项，a>0，当0ln a时，ex-a>0，f(x)=ex-a-aln x，
a
则f'(x)=ex- ，显然这是一个增函数，
x
要想函数f(x)的零点尽可能多，则需存在一个x >ln a，使得f'(x )=0成立，
1 1
此时f(x)在(ln a，x )上单调递减，在(x ，+∞)上单调递增，
1 1
若f(x)在(0，ln a)上存在一个零点，则f(ln a)<0，
故此时f(x)在(ln a，+∞)上只存在一个零点，此时函数一共有两个零点，不符合要求，
若f(x)在(0，ln a)上不存在零点，则f(ln a)>0，
又f(x)在(ln a，x )上单调递减，在(x ，+∞)上单调递增，
1 1
故此时函数f(x)最多有两个零点，不符合要求.
综上，不存在a>0，使得函数f(x)存在三个零点，C错误；
D选项，由A知，当a<0时，函数f(x)的值域为R，不满足f(x)≥0；
当a=0时，f(x)=ex>0，满足要求；
当a>0时，x∈(0，1)时，f(x)=|ex-a|-aln x≥0，满足要求，
故只需当x∈[1，+∞)时，f(x)=|ex-a|-aln x≥0恒成立，
若a>e，f(ln a)=-aln(ln a)<0，故不符合要求，
若02的复数z，z= .
答案 3-3i(答案不唯一)
解析 设z=a+bi，a，b∈R，因为(1+i)·z=(1+i)·(a+bi)=a-b+(a+b)i∈R，
所以a+b=0，z=a-ai，
由|z|=√a2+a2=√2|a|>2，解得a>√2或a<-√2，
则z=3-3i(答案不唯一).
1 √3
5.(2024·承德模拟)已知函数f(x)= -sin2ωx+ sin 2ωx(ω>0)的最小正周期为4π.
2 2
(1)求f(x)在[0，π]上的单调递增区间；
(2)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2a-c)cos B=bcos C，求f(A)的取值范围.
1 √3
解 (1)f(x)= -sin2ωx+ sin 2ωx
2 2
1 1-cos2ωx √3
= - + sin 2ωx
2 2 2
√3 1 ( π)
= sin 2ωx+ cos 2ωx=sin 2ωx+ .
2 2 6
2π 1
因为T= =4π，所以ω= ，
2ω 4
(1 π)
故f(x)=sin x+ .
2 6
π 1 π π
由- +2kπ≤ x+ ≤ +2kπ，k∈Z，
2 2 6 2
4π 2π
解得4kπ- ≤x≤4kπ+ ，k∈Z，
3 3
4π 2π
当k=0时，- ≤x≤ ，又x∈[0，π]，
3 3
[ 2π]
所以f(x)在[0，π]上的单调递增区间为 0， .
3(2)由(2a-c)cos B=bcos C，
得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C，
所以2sin Acos B=sin Bcos C+cos Bsin C=sin(B+C)=sin A.
1
因为sin A≠0，所以cos B= ，
2
π
又B∈(0，π)，所以B= ，
3
π
{ 0
