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训练 24 空间位置关系
一、单项选择题
1．从平面外一点P引与平面相交的直线，使P点与交点的距离等于1，则满足条件的直线
可能有( )
A．0条或1条 B．0条或无数条
C．1条或2条 D．0条或1条或无数条
答案 D
解析 当点P到平面的距离大于1时，没有满足条件的直线；当点P到平面的距离等于1时，
满足条件的直线只有1条；当点P到平面的距离小于1时，满足条件的直线有无数条．
2．(2023·江苏七市调研)已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则(
)
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m∥α，m⊥β，则α∥β
C．若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n
D．若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n
答案 C
解析 当m∥α，n∥α时，m，n可以相交、平行、或异面，A错；
当m∥α时，α内必有b∥m，而m⊥β，则b⊥β，从而α⊥β，B错；
α∥β，m⊥α，则m⊥β，又n⊥β，∴m∥n，C正确；
α⊥β，m∥α，n∥β，m，n可以相交、平行、或异面，D错．
3．(2023·遂宁模拟)在正方体ABCD－ABC D 中，设M为线段BC的中点，则下列说法正
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确的是( )
A．AM⊥BD
1
B．AM∥平面CC DD
1 1 1
C．AM⊥AB
1 1
D．AM⊥平面ABCD
1 1 1
答案 C
解析 如图，在正方体ABCD－ABC D 中，
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对于A，假设AM⊥BD，因为AA⊥平面ABCD，所以AA⊥BD，又AA∩AM＝A ，所以
1 1 1 1 1 1BD⊥平面AAM，所以BD⊥AM，而BD⊥AC，所以AM∥AC，显然不正确，所以假设不成
1
立，故A不正确；
对于 B，假设 AM∥平面 CC DD，因为平面 AMCD∩平面 CC DD＝CD ，AM⊄平面
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CC DD，所以AM∥CD ，因为AB∥CD ，所以AM∥AB，显然不正确，所以假设不成立，
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故B不正确；
对于C，因为MB⊥平面ABBA ，所以MB⊥AB ，又AB⊥AB ，AB∩BM＝B，所以AB⊥
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平面ABM，所以AM⊥AB，故C正确；
1 1 1
对于D，假设AM⊥平面ABCD，因为AD⊥AD，AD⊥AB，且AB∩AD＝A，所以AD⊥
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平面ABCD，所以AM∥AD，显然不成立，所以假设不成立，故D不正确．
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4.某同学画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫
作切面圆柱体)，发现切面与圆柱侧面的交线是一个椭圆(如图所示)．若该同学所画的椭圆的
离心率为，则“切面”所在平面与底面所成的角为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设椭圆与圆柱的轴截面如图所示，作DE⊥BC交BC于点E，
则∠CDE为“切面”所在平面与底面所成的角，设为θ.
设底面圆的直径为2r，则CD为椭圆的长轴2a，短轴为2b＝DE＝2r，
则椭圆的长轴长2a＝CD＝，
即a＝，所以椭圆的离心率为
e＝＝＝＝＝sin θ，
所以θ＝.
二、多项选择题
5.如图所示，在正方体ABCD－ABC D 中，E是平面ADD A 的中心，M，N，F分别是
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BC ，CC ，AB的中点，则下列说法正确的是( )
1 1 1A．MN＝EF B．MN≠EF
C．MN与EF异面 D．MN与EF平行
答案 BC
解析 设正方体ABCD－ABC D 的棱长为2a，
1 1 1 1
则MN＝＝＝a，
作点E在平面ABCD内的射影点G，
连接EG，GF，
所以EF＝＝＝a，
所以MN≠EF，故选项B正确，A错误；
连接DE，因为E为平面ADD A 的中心，
1 1
所以DE＝AD，
1
又因为M，N分别为BC ，CC 的中点，
1 1 1
所以MN∥BC，
1
又因为BC∥AD，所以MN∥ED，
1 1
且DE∩EF＝E，
所以MN与EF异面，故选项C正确，D错误．
6．(2024·舟山模拟)如图，已知三棱柱ABC－ABC 的底面ABC为正三角形，侧棱AA 垂直
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于底面ABC，D为AC的中点，则下列判断正确的是( )
A．C D与BB 是异面直线
1 1
B．BD⊥AC
1 1
C．平面BDC ⊥平面ACC A
1 1 1
D．AB∥平面BDC
1 1 1答案 ABC
解析 对于A，在三棱柱ABC－ABC 中，
1 1 1
BB∥CC ，CC ⊂平面 ACC A，BB⊄平面ACC A，所以BB∥平面 ACC A，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
又CC ∩C D＝C ，所以 C D 与 BB 是异面直线，故A正确；
1 1 1 1 1
对于B，因为AA 垂直于底面ABC，BD⊂平面ABC，所以AA⊥BD，
1 1
又因为△ABC为正三角形，且D为AC的中点，所以BD⊥AC，
又AC∩AA＝A，AC，AA⊂平面ACC A，
1 1 1 1
所以BD⊥平面ACC A，
1 1
又AC ⊂平面ACC A，所以BD⊥AC ，故B正确；
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对于C，因为 BD⊥平面 ACC A ，BD⊂平面BDC ，所以平面BDC ⊥平面 ACC A ，故C
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正确；
对于D，因为AB∩平面BDC ＝B，所以AB与平面BDC 不平行，
1 1
又 AB∥AB，所以AB 与平面BDC 不平行，故D错误．
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三、填空题
7．(2023·榆林模拟)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，且PA＝
AB，AD＝AB，则tan∠APC＝________.
答案 2
解析 ∵PA⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，
∴PA⊥AC，
设AB＝1，则PA＝1，AD＝，AC＝＝2，∴tan∠APC＝＝2.
8.如图，已知PA⊥PB，PA⊥PC，∠ABP＝∠ACP＝60°，PB＝PC＝BC，D是BC的中点，
则AD与平面PBC所成角的余弦值为______．
答案
解析 ∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，PB，PC⊂平面PBC，
∴PA⊥平面PBC，连接PD，如图所示，
则PD是AD在平面PBC内的射影，
∴∠PDA就是AD与平面PBC所成的角．
又∵∠ABP＝∠ACP＝60°，PB＝PC＝BC，D是BC的中点，
∴PD＝BC，PA＝BC，
∴AD＝BC，∴cos∠PDA＝＝，∴AD与平面PBC所成角的余弦值为.
四、解答题
9.如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，
AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分别为AD，PA的中点．
(1)证明：平面BMN∥平面PCD；
(2)若AD＝6，求三棱锥P－BMN的体积．
(1)证明 如图，
连接BD，
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD为正三角形．
∵M为AD的中点，
∴BM⊥AD.
∵AD⊥CD，CD，BM⊂平面ABCD，
∴BM∥CD.
又BM⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，
∴BM∥平面PCD.
∵M，N分别为AD，PA的中点，∴MN∥PD.
又MN⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，
∴MN∥平面PCD.
又BM，MN⊂平面BMN，BM∩MN＝M，
∴平面BMN∥平面PCD.
(2)解 在(1)中已证BM⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BM⊂平面ABCD，
∴BM⊥平面PAD.又AD＝6，∠BAD＝60°，∴BM＝3.
在△PAD中，∵PA＝PD，PA⊥PD，
∴PA＝PD＝AD＝3.
∵M，N分别为AD，PA的中点，
∴S ＝S ＝××(3)2＝，
△PMN △PAD
∴V ＝V ＝S ·BM
P－BMN B－PMN △PMN
＝××3＝.
∴三棱锥P－BMN的体积为.
10.如图，已知BD为圆锥AO底面的直径，点C在圆锥底面的圆周上，AB＝BD＝2，∠BDC
＝30°，AE＝ED，F是AC上一点，且平面BFE⊥平面ABD.
(1)求证：AD⊥BF；
(2)求多面体BCDEF的体积．
(1)证明 因为△ABD是等边三角形，AE＝ED，
所以AD⊥BE，
因为平面BFE⊥平面ABD，且交线为BE，AD⊂平面ABD，
所以AD⊥平面BEF，
因为BF⊂平面BEF，
所以AD⊥BF.
(2)解 因为∠BDC＝30°，∠BCD＝90°，BD＝2，
所以CD＝，cos∠CAD＝＝，
在Rt△AEF中，cos∠CAD＝＝，
又AE＝1，
所以AF＝，CF＝，
所以＝，
所以点F到平面ABE的距离为点C到平面ABE的距离的，
所以V ＝×V ＝V ，
F－ABE C－ABD A－BCD
所以V ＝V ＝×S ×AO
BCDEF A－BCD △BCD
＝××＝.
