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解答题：概率与统计
题型一：离散型随机变量及其分布列
（23-24高三下·广东佛山·一模）密室逃脱是当下非常流行的解压放松游戏，现有含甲在内的7名成员参
加密室逃脱游戏，其中3名资深玩家，4名新手玩家，甲为新手玩家.
(1)在某个游戏环节中，需随机选择两名玩家进行对抗，若是同级的玩家对抗，双方获胜的概率均为 ；
若是资深玩家与新手玩家对抗，新手玩家获胜的概率为 ，求在该游戏环节中，获胜者为甲的概率；
(2)甲作为上一轮的获胜者参加新一轮游戏：如图，有两间相连的密室，设两间密室的编号分别为①和②.
密室①有2个门，密室②有3个门（每个门都可以双向开），甲在每个密室随机选择1个门出去，若走出
密室则挑战成功.若甲的初始位置为密室①，设其挑战成功所出的密室号为 ，求 的分布列.
【答案】(1) ；(2)分布列见解析
【解析】（1）7人中随机选择2人，共有 种情况，其中含甲的情况有 种，
6种情况中，甲和资深玩家对抗的情况有3种，和同级的玩家对抗情况有3种，
则甲和资深玩家对抗并获胜的概率为 ，
和同级的玩家对抗并获胜的概率为 ，故在该游戏环节中，获胜者为甲的概率为 ；
（2）设 为甲在密室①，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率，
为甲在密室②，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率，
考虑 ，需考虑甲直接从 号门走出密室或者进入密室②且最终从密室①走出密室，
故 ①，
考虑 ，则甲从 号门进行密室①，且从密室①走出密室，
故 ②，
联立①②，可得 ，
所以 ，故 ，
故分布列如下：
1 2
求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，
如超几何分布或二项分布，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算。）
1．（24-25高三上·贵州·月考习）已知甲､乙两人参加某档知识竞赛节目，规则如下：甲､乙两人以抢答的
方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，甲､乙两人初始分均为0分，答题过程中当一人
比另
一人的得分多2分时，答题结束，且分高者获胜，若甲､乙两人总共答完5题时仍未分出胜负，则答题直
接结束，且分高者获胜.已知甲､乙两人每次抢到题的概率都为 ，甲､乙两人答对每道题的概率分别为
，每道题两人答对与否相互独立，且每题都有人抢答.
(1)求第一题结束时甲获得1分的概率；
(2)记 表示知识竞赛结束时，甲､乙两人总共答题的数量，求 的分布列与期望.【答案】(1) ；(2)分布列见解析，
【解析】（1）设每道题的抢答中，记甲得1分为事件 .
发生有两种可能：抢到题且答对，乙抢到题且答错，
∴ ，
∴ 甲率先得1分的概率为 .
（2）由（1）知，在每道题的抢答中甲、乙得1分的概率分别为 ，
设两人共抢答了 道题比赛结束，根据比赛规则， 的可能取值为 .
，
，
，
2 4 5
.
2．（24-25高三上·北京·月考习）某校举办知识竞赛，已知学生甲是否做对每个题目相互独立，做对
三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示.
题目 A
做对的概
率
获得的奖金/元 20 40 80
规则如下：按照 的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题.
[注：甲最终获得的奖金为答对的题目相对应的奖金总和.]
(1)求甲没有获得奖金的概率；
(2)求甲最终获得的奖金 的分布列及期望；
(3)如果改变做题的顺序，最终获得的奖金期望是否相同？如果不同，你认为哪个顺序最终获得的奖金期
望最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断）【答案】(1) ；(2)分布列见解析，40（元）；(3)不同，按照 的顺序获得奖金的期望最大，理由见
解析.
【解析】（1）甲没有获得奖金，则题目A没有做对，
设甲没有获得奖金为事件 ，则 .
（2）分别用 表示做对题目 的事件，则 相互独立.
由题意， 的可能取值为 .
;
.
所以甲最终获得的奖金 的分布列为
0 20 60 140
（元）.
（3）不同，按照 的顺序获得奖金的期望最大，理由如下：
由（2）知，按照 的顺序获得奖金的期望为40元，
若按照 的顺序做题，
则奖金 的可能取值为 .
;
.
故期望值为 元；
若按照 的顺序做题，
则奖金 的可能取值为 .
;
.
故期望值为 元；
若按照 的顺序做题，则奖金 的可能取值为 .
;
.
故期望值为 元，
若按照 的顺序做题，
则奖金 的可能取值为 .
;
.
故期望值为 元，
若按照 的顺序做题，
则奖金 的可能取值为 .
;
.
故期望值为 元，
显然按照 的顺序获得奖金的期望最大.
题型二：超几何分布与二项分布
（24-25高三上·北京·期中）某种产品按照产品质量标准分为一等品､二等品､三等品､四等品四个等级，某
采购商从采购的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据：
等 二等
一等品 三等品 四等品
级 品
数
40 30 10 20
量
(1)根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记
这3件产品中一等品的数量为 ，求 的分布列及数学期望；
(2)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件四等品的概率；(3)生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择，
方案一：产品不分类，售价均为21元/件.
方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下：
等级 一等品 二等品 三等品 四等品
售价/（元/件） 24 22 18 16
从采购商的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案？请说明理由.
【答案】(1) 的分布列见解析； ；(2) ；(3)应该选择方案一
【解析】（1）由题可得，抽取的10件产品中，一等品有4件，非一等品有6件，
所以 的可能取值为0，1，2，3．
， ，
， ，
则 的分布列为：
0 1 2 3
.
（2）从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，记抽到四等品的数量为 ，则 ，
∴ .
（3）由题意得，方案二的产品的平均售价为：
（元/件），
∵ ，
∴从采购商的角度考虑，应该选择方案一.
1、独立重复试验与二项分布
（1）定型：“独立”“重复”是二项分布的基本特征，“每次试验事件发生的概率都相等”是二项分布的本质
特征．判断随机变量是否服从二项分布，要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发
生的概率分别为p,1－p，还要看是否为n次独立重复试验，随机变量是否为某事件在这n次独立重复试
验中发生的次数．（2）定参，确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率．
（3）列表，根据离散型随机变量的取值及其对应的概率，列出分布列．
（4）求值，根据离散型随机变量的期望和方差公式，代入相应数据求值．
相关公式：已知X～B(n，p)，则P(X＝k)＝C pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
2、超几何分布的适用范围及本质
（1）适用范围：考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个题，考察某一类个题个数的
概率分布；
（2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的。
3、超几何分布与二项分布的区别
（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
（2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的，而二项分布是“有放
回”的抽取（独立重复），在每次试验中某一事件发生的概率是相同点。
1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·月考习）哈三中文学社团举行知识竞赛答题活动，比赛分两轮，具体规
则如下：第一轮，参赛选手从A类6道题中任选3道进行答题，都答完后错题个数不超过1道（否则终止
比赛）才能进行第二轮答题；第二轮答题从B类10道题中任选3道进行答题．A类题每答对一道得10
分，B类题每答对一道得30分，答错不扣分，以两轮总分和决定优胜．总分80分或90分为三等奖，110
分为二等奖，120分为一等奖．某班参加活动的同学 类题中只有4道能答对， 类题中，每题答对的概
率均为 ，且各题答对与否互不影响．
(1)求该同学被终止比赛的概率；
(2)现该同学进入第二轮，求他在第二轮答题中得分X的分布列及期望；
(3)求该同学获得三等奖的概率．
【答案】(1) ；(2)分布列见解析， ；(3)
【解析】（1）从 类 道题中任选 道，其中1道会做，2道不会做，则被终止比赛，
所以该同学被终止比赛的概率为 ．
（2）由题意可知， 的所有可能取值为90,60,30,0，
则 ， ，
， ，
所以 的分布列为：所以 ．
（3）该同学获得三等奖，共有两种情况，
第一轮得20分（答对2道），则第二轮得60分（对2道），
概率为 ；
②第一轮得30分（答对3道），则第二轮得60分（对2道），
概率为 ，
所以该同学获得三等奖的概率为 ．
2．（24-25高三上·重庆·月考习）我国承诺2030年前“碳达峰”，2060年“碳中和”，“碳达峰”是指二氧化碳
的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；“碳中和”是指针对排放的二氧化碳要采取植树、节能减排
等各种方式全部抵消掉.做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废物造成的二氧化碳的排放，助
力“碳中和”.重庆十一中某班利用班会课时间组织了垃圾分类知识竞赛活动，竞赛分为初赛、复赛和决
赛，只有通过初赛和复赛，才能进入决赛.首先出战的是第一组、第二组、第三组，已知第一组、第二组
通过初赛
和复赛获胜的概率均为 ，第三组通过初赛和复赛的概率分别为 和 ，其中 ，三组是否通
过初赛和复赛互不影响.
(1)求 取何值时，第三组进入决赛的概率最大；
(2)在（1）的条件下，求进入决赛的队伍数 的分布列和数学期望.
【答案】(1) ；(2)分布列见解析，
【解析】（1）由题知：第三组通过初赛和复赛的概率 ，
又因为 ，所以
所以，当 时，第三组进入决赛概率最大为 .
（2）由（1）知：第一组、第二组、第三组进入决赛的概率均为 .
因为进入决赛的队伍数 ，
所以 ； ；； .
所以随机变量 的分布列为:
.
题型三：均值与方差的实际应用
（24-25高三上·河北·期中）随着我国城镇化建设的不断推进，各种智能终端的普及和互联互通，人工智
能在教育､医疗､金融､出行､物流等领域发挥了巨大的作用.为普及人工智能相关知识，培养青少年对科学
技术
的兴趣，某中学组织开展“科技兴国”人工智能知识竞赛.竞赛试题有甲､乙､丙三类（每类题有若干道），
各类试题的每题分值及选手小李答对概率如下表所示，各小题回答正确得到相应分值，否则得0分，竞赛
分三轮答题依次进行，竞赛结束，各轮得分之和即为选手最终得分.
项目
每小题分值 每小题答对概率
题型
甲类
题
乙类
题
丙类
题
其竞赛规则为：
第一轮，先回答一道甲类题，若正确，进入第二轮答题；若错误，继续回答另一道甲类题，该题回答正
确，同样进入第二轮答题；否则，退出比赛.
第二轮，在丙类题中选择一道作答，若正确，进入第三轮答题；否则，退出比赛.
第三轮，在乙类试题中选择一道作答.
(1)求小李答题次数恰好为2次的概率；
(2)求小李最终得分的数学期望.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】（1）记事件 “小李先答对甲类一道试题”， “小李继续答对另一道甲类试题”，
“小李答对乙类试题”， “小李答对丙类试题”，则 .
记事件 “小李答题次数恰好为2次”，则 .
，
即小李答题次数恰好为2次的概率为 .
（2）设小李最终得分为 ，由题知 的可能值为 .
，
，
，
.
所以 .
利用随机变量的均值与方差可以帮助我们作出科学的决策，其中随机变量 的均值的意义在于描述随机
变量的平均程度，而方差则描述了随机变量稳定与波动或集中与分散的状况，品种的优劣、仪器的好
坏、预报的准确与否、机器的性能好坏等很多指标都与这两个特征量有关。
1、若我们希望实际的平均水平较理想时，则先求随机变量 ， 的均值。当 时，不
应误认为它们一样好，还需要用 ， 来比较这两个随机变量的偏离程度。
2、若我们希望比较稳定时，应先考虑方差，再考虑均值是否相等或者接近。
1．（24-25高三上·四川成都·月考习）某小区有3000名居民，想通过验血的方法筛选乙肝病毒携带者，
假设携带病毒的人占 .为减轻工作量，随机地按 人一组分组，然后将各组 个人的血样混合在一起化
验.若混合血样呈阴性，说明这 个人全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳
性，就需要对每个人再分别化验一次.
(1)若 试估算该小区化验的总次数；
(2)若 ，且每人单独化验一次花费10元， 人混合化验一次花费 元，求当 为何值时，每个居
民化验的平均费用最少.
注：假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立.当 时， .
【答案】(1)270；(2)10【解析】（1）设每组需要检验的次数为 ，若混合血样为阴性，
则 ，若混合血样呈阳性，则 ，
所以 ， ，
所以
一共有 组，故估计该小区化验的总次数是 .
（2）设每组 人总费用为 元，若混合血样呈阴性，则 ；
若混合血样呈阳性，则 ，
故 ，
每位居民的化验费用为
= 元
当且仅当 ，即 时取等号，故 时，每个居民化验的平均费用最少.
2．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）甲乙两人各有n张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别
标有数字1，3，5， ，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，……，2n，两人进行n轮比赛，在每轮比
赛中，甲按照固定顺序1，3，5，……， 每轮出一张卡片，乙从自己持有的卡片中随机选一张，并
比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃
置的卡片在此后的轮次中不能使用）．
(1)当 时，求甲的总得分小于2的概率．
(2)分别求甲得分的最小值和最大值的概率；
(3)已知：若随机变量 服从两点分布，且 ， ，2，3，…，n，则
，记 轮比赛（即从第1轮到第 轮比赛）中甲的总得分为 ，乙的总得分为 ，求
和 的值，并由这两个值来判断随着轮数的增加，甲乙的总得分期望之差有什么变化规律？
【答案】(1) ；(2)甲得分最小值和最大值的概率都为 ；(3)答案见解析
【解析】（1）甲顺序为1，3，5，7，乙选卡片的不同顺序共有4！=24种，
而使得甲得分小于2的所有顺序共有12种，
2，4，6，8 2，4，8，6； 2，6，4，8； 2，6，8，4； 2，8，6，4；
4，2，6，8； 4，6，2，8； 4，6，8，2； 4，8，6，2； 6，4，8，2；
6，4，2，8； 8，4，6，2．
由古典概型得甲的总得分小于2的概率为 ；（2）甲按照固定顺序1，3，5，7，…， ，乙按照2、4，6，8，…，2n，
甲得分最小值为0，则概率为 ．
甲按照固定顺序1，3，5，7，…， ，乙按照2n、2，4，6，…， ，
甲得分最大值为 ，则概率为 ．
（3）设随机变量 ，
则 服从两点分布， ，且 ，
由题意可得，
，
因为 ，
所以随着轮数的增加，甲乙的总得分期望之差不变，总是甲比乙多1分.
题型四：正态分布与标准正态分布
（24-25高三上·浙江·月考习）在一次联考中，经统计发现，甲乙两个学校的考生人数都为1000人，数学
均分都为94，标准差都为12，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的
数学分数不服从正态分布.
(1)甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取10人进行访问，学生小A考分
为68分，求他被抽到的概率大约为多少；
(2)根据统计发现学校乙得分不低于130分的学生有25人，得分不高于58分的有1人，试说明乙学校教学
的特点；
参考数据：若 ，则 ， ，
.
【答案】(1) ；(2)乙校教学高分人数更多，130分以上学生更多，低分人数更少.
【解析】（1）由题意可知甲校学生数学得分 ，
由 ，
可得 ，则 ，
所以分数在70分及以下的学生有 ，
所以学生小A被抽到的概率（2）由 ，
可得：
所以甲校不低于130分的概率为 ，
得分不高于58分的概率为 ，
所以甲校不低于130分有 人，得分不高于58分有 人，
故乙校教学高分人数更多，130分以上学生更多，低分人数更少.
关于正态总体在某个区间内取值的概率求法
（1）熟记P(μ－σ（万辆） 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80
(1)计算 与 的相关系数 （保留三位小数）；(2)求 关于 的线性回归方程，并预测该地区2025年新能源汽车购买数量．
参考公式 ， ， ．
参考数值： ， ．
【答案】(1) ；(2) 万辆
【解析】（1） ，
，
所以 ；
（2）由（1）知， ，
，
所以 关于 的线性回归方程是 ，
当 时， （万辆），
该地区 年新能源汽车购买数量约为 万辆.
1、线性回归分析问题的类型及解题方法
（1）求线性回归方程：①利用公式求出回归系数 ， ；②利用回归直线过样本中心点求系数；
（2）利用回归方程进行预测：把线性回归方程看作一次函数，求函数值；
（3）利用回归直线判断正、负相关：决定正相关函数负相关的系数是 ；
（4）回归方程的拟合效果可以利用相关系数判断，当 越接近1时，两变量的线性相关性越强。
2、非线性回归经验回归方程的求法
（1）根据原始数据 作出散点图；（2）根据散点图，选择恰当的拟合函数；（3）作恰当的变换，
将其转化成线性函数，求经验回归方程；（4）在（3）的基础上通过相应的变换，即可得非线性经验回归方程。
1．（24-25高三上·广东·月考习）仙人掌别名老鸦舌，神仙掌，这一独特的仙人掌科草本植物，以其顽强
的生命力和独特的形态在自然界中独树一帜，以其形似并拢手指的手掌，且带有刺的特征而得名．仙人掌
不仅具有极高的观赏价值，还具有一定的药用价值，被誉为“夜间氧吧”，其根茎深入土壤或者干燥的黄土
中使其能够吸收足够多的水分进行储藏来提高生存能力，我国某农业大学植物研究所相关人员为了解仙人
掌的植株高度y（单位：cm），与其根茎长度x（单位：cm）之间是否存在线性相关的关系，通过采样和
数据记录得到如下数据：
样本编号 1 2 3 4
根茎长度 1
10 14 16
2
植株高度 8
62 112 132
6
参考数据： ．
(1)由上表数据计算相关系数 ，并说明是否可用线性回归模型拟合 与 的关系（若 ，则可用线性
回归模型拟合，计算结果精确到0.001）；
(2)求 关于 的线性回归方程.
附：对于一组数据 ，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系
数 的公式分别为 ．
【答案】(1) ，可用；(2)
【解析】（1）易得 ，
，
故 ．
则 ，故可用线性回归模型模拟．
（2） ，，
故线性回归方程为 ．
2．（24-25高三上·福建泉州·月考习）一只药用昆虫的产卵数 与一定范围内的温度 有关，现收集了该
种药用昆虫的6组观测数据如下表：
温度 21 23 24 27 29 32
产卵数
6 11 20 27 57 77
个
经计算得： 线性
回归模型的残差平方和 ，其中 分别为观测数据中的温差和产卵数，
.
(1)若用线性回归方程，求 关于 的回归方程 （精确到0.1）；
(2)若用非线性回归模型求得 关于 回归方程为 ，且相关指数 0.9522.
（i）试与（1）中的回归模型相比，用 说明哪种模型的拟合效果更好.
（ii）用拟合效果好的模型预测温度为 时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.
附：一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计为
；相关指数 .
【答案】(1) ；(2)（i）非线性回归模型拟合效果更好；（ii） ；
【解析】（1）由题意 ，则 ， ，
， ，
y关于x的线性回归方程为 .
（2）（i）对于线性回归模型， ， ，
相关指数为 ，
因为 ，所以用非线性回归模型拟合效果更好.（ii）当 ，时 （个）
所以温度为 时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个.
题型六：独立性检验及应用
（24-25高三上·四川绵阳·月考习）2021年8月，义务教育阶段“双减”政策出台，某初中在课后延时服务
开设奥数、科技、体育等特色课程.为了进一步了解学生选课的情况，随机选取了400人进行调查问卷，
整理后获得如下统计表:
喜欢奥数 不喜欢奥数 总计
已选奥数课（A组） 150 50 200
未选奥数课（B组） 90 110 200
总计 240 160 400
(1)若从样本内喜欢奥数的240人中用分层抽样方法随机抽取32人，则应在A组、B组各抽取多少人？
(2)依据小概率值 的独立性检验，能否认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关？
附:
参考公式: ，其中 .
【答案】(1)应在A组抽取 人，应在B组抽取 人.
(2)能认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005
【解析】（1）应在A组抽取 人，应在B组抽取 人.
（2）零假设为 ：选报奥数延时课与喜欢奥数无关联，
根据列联表中的数据，经计算可得 ，
根据小概率值 的独立性检验，我们推断零假设不成立，
即认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.
独立性检验的一般方法
（1）根据题目信息，完善列联表；
（2）提出零假设：假设两个变量相互独立，并给出在问题中的解释。（3）根据列联表中的数据及计算公式 求出 的值；
（4）当 时，我们就推断 不成立，即两个变量不独立，该推断犯错误的概率不超过 ；
当 时，我们没有充分证据推断 不成立，可以认为两个变量相互独立。
1．（24-25高三上·宁夏中卫·月考习）宁夏新高考改革方案已正式公布，根据改革方案，将采
用“3+1+2”的高考模式，其中，“3”为语文、数学，外语3门参加全国统一考试，选择性考试科目为政治，
历史、地理、物理、化学、生物6门，由考生根据报考高校以及专业要求，结合自身实际，首先在物理和
历史中选择1门，再从政治、地理、化学、生物中选择2门，形成自己的“高考选考组合”.
(1)若某学生根据方案进行随机选科，求该生恰好选到“物化生”组合的概率；
(2)由于物理和历史两科必须选择1科，某校想了解高一新生选科的需求，随机选取100名高一新生进行调
查，得到如下统计数据，完成下面 列联表，依据小概率值 的独立性检验，能否认为“选科与
性别有关”？
选择历
选择物理 合计
史
男生 40 50
女生
合计 30 100
附参考公式与表： ， .
独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值：
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1) ；(2)列联表见解析，不能认为“选科与性别有关”
【解析】（1）设物理、历史两门学科分别为 ，政治、地理、化学、生物分别为 ，
某同学根据方案进行随机选科，所得的结果为： ，
，
共有12种情形，所以该生恰好选到“物化生”的概率为 ；
（2） 的列联表为：
选择历
选择物理 合计
史男生 40 10 50
女生 30 20 50
合计 70 30 100
设零假设 ：选科与性别无关，
则 ，
故依据小概率值 的独立性检验，可得零假设 成立，
故不能认为“选科与性别有关”.
2．（24-25高三上·上海·开学考试）某地生产队在面积相等的50000块稻田上种植一种新型水稻，从中抽
取100块得到各块稻田的亩产量（单位：kg）与优质频数并部分整理成下表（最终亩产量均在900kg到
1200kg之间）
亩产量
优质频数 5 10 14 18 6
普通频数 1 2 4 6 4
(1)这50000块稻田中，亩产量在 的频数约为多少？
(2)估计这片稻田的平均亩产量（单位kg）；
(3)已知在100块抽取稻田中亩产量在 的优质稻田有25块，是否有0.95的把握认为产品是否优
质与亩产量不少于1050kg且少于1200kg有关？（参考公式： ，参考数
据： ）
【答案】(1) 块；(2) ；(3)没有.
【解析】（1）由表格 、 、 、 、 的亩产区间，
对应频数分别为 ，频数共为 ，故样本中亩产量在 的频数约为
.
所以，50000块稻田中亩产量在 的频数约为 块.
（2）由（1），抽取100块稻田的平均亩产量为
.
所以，这片稻田的平均亩产量约为 .
（3）由题意，可得如下列联表，
亩产 亩产优质 29 49 78
普通 7 15 22
36 64 100
故 ，
所以，没有0.95的把握认为产品是否优质与亩产量不少于1050kg且少于1200kg有关.
题型七：条件概率/全概率公式/贝叶斯公式
（24-25高三上·贵州遵义·模拟预测）已知4台车床加工的同一种零件共计1000件，其中第一台加工200
件，次品率为5%；第二台加工250件，次品率为6%；第三台加工250件，次品率为8%；第四台加工
300件，次品率为10%.现从这1000件零件中任取一个零件.
(1)求取到的零件是次品的概率；
(2)若取到的零件是次品，求它是第 （其中 ）台车床加工的零件的概率.
【答案】(1) ；(2)分别为 ．
【解析】（1）由题意所求概率为 ；
（2）由题意第一台车床加工的零件中次品数约为 ，
第二台车床加工的零件中次品数约为 ，
第三台车床加工的零件中次品数约为 ，
第四台车床加工的零件中次品数约为 ，
，
所以取到的零件是次品，它是第一台车床加工的零件的概率为 ，
它是第二台车床加工的零件的概率为 ，
它是第三台车床加工的零件的概率为 ，
它是第四台车床加工的零件的概率为 ．
1、条件概率：一般地，设 ， 为两个事件，且 ，称 为在事件 发生的条件下，事件 发生的条件概率．
2、全概率公式： ；
3 、 贝 叶 斯 公 式 ： 一 般 地 ， 当 且 时 ， 有
1．（24-25高三上·广东·月考习）甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，
答对积1分，答错不得分：然后换对方抽题作答，甲乙两人各完成一次答题记为一轮比赛．比赛过程中，
有选手领先2分者立即晋级，比赛结束（不管该轮比赛有没有完成）．已知甲答对题目的概率为 ，乙答
对题目的概率为p，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知第一轮答题后甲乙两人各积1分的概
率为 ．记比赛结束时甲乙两人的答题总次数为 ．
(1)求 ；
(2)求在 的情况下，甲晋级的概率；
(3)由于比赛时长关系，比赛答题不能超过3轮，若超过3轮没有晋级者，则择期再进行比赛．求甲在3轮
比赛之内成功晋级的概率．
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【解析】（1）由题意可得 ，即 ；
（2）当 时，甲乙两人各答两题，由于比赛结束，
故总有一人两题全对，另一人两题全错，
且第四题答题人必须答对才能结束，
故当 时，后答题人晋级，
（例：若甲先答题，若甲对，乙错，甲对，此时比赛结束，不符合要求）
设甲晋级为事件 ， 的情况为事件 ，
则 ，
，
则 ；
（3）甲在3轮比赛之内成功晋级，则两人可能的答题总次数为 、 、 、 ，
设这四个事件分别为 、 、 、 ，
若 ，则甲先答题，两人答题情况一定为：甲对，乙错，甲对；则 ，
若 ，则乙先答题，两人答题情况一定为：乙错，甲对，乙错，甲对；
则 ，
若 ，则甲先答题，两人答题情况可能为：
甲错，乙错，甲对，乙错，甲对；
甲对，乙错，甲错，乙错，甲对；
甲对，乙对，甲对，乙错，甲对；
则 ，
若 ，则乙先答题，两人答题情况可能为：
乙错，甲对，乙错，甲错，乙错，甲对；
乙错，甲错，乙错，甲对，乙错，甲对；
乙错，甲对，乙对，甲对，乙错，甲对；
乙对，甲对，乙错，甲对，乙错，甲对；
则
，
故甲在3轮比赛之内成功晋级的概率 .
2．（24-25高三上·四川内江·月考习）夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种
凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是 ，若在前一天选
择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为 ，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选
择银耳羹的概率为 ，如此往复．（提示：设 表示第 天选择绿豆汤）
(1)求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率
(2)求该同学第2天选择绿豆汤的概率；
(3)记该同学第 天选择绿豆汤的概率为 ，求出 的通项公式.
【答案】(1) ；(2) ；(3)答案见解析
【解析】（1）该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率为 ；
（2）设 表示第1天选择绿豆汤， 表示第2天选择绿豆汤，则 表示第1天选择银耳羹，
根据题意得， ，所以 ．
（3）设 表示第 天选择绿豆汤，则 ，
根据题意得， ，
由全概率公式得， ，
即 ，整理得， ，又 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列．
所以 ，所以 ..
题型八：概率与统计图表的综合应用
（24-25高三上·广东广州·模拟预测）在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了 名高中
学生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图.
(1)求 的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
(2)为进一步了解这 名高中学生户外运动的时间分配，在 ， 两组内的学生中，采用分层
抽样的方法抽取了 人，现从这 人中随机抽取 人进行访谈，记在 内的人数为 ，求 的分布列
和期望；
(3)以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取 名学生，用“ ”表示这 名学生中恰有 名学
生户外运动时间在 内的概率，当 最大时，求 的值.
【答案】(1) ，平均时间为 小时；(2)分布列见解析，期望 ；(3)
【解析】（1）由已知 ，解得 ，
所以平均数为.
（2）这 名高中学生户外运动的时间分配，
在 ， 两组内的学生分别有 人，和 人；
所以根据分层抽样可知 人中在 的人数为 人，在 内的人数为
人，
所以随机变量 的可能取值有 ， ，
所以 ， ，
则分布列为
期望 ；
（3）由频率分布直方图可知运动时间在 内的频率为 ，
则 ，
若 为最大值，则 ，
即 ，
即 ，解得 ，
又 ，且 ，则 .
1、概率与统计图表的综合应用题关键点：
（1）从题目条件或统计图表给出的信息，提炼出所需要的信息；
（2）①进行概率与统计的正确计算；②此类问题中的概率大多是古典概型、条件概
率，求解时注意运用对立事件的概率。
2、频率分布直方图（1）频率、频数、样本容量的计算方法
① ×组距＝频率．
② ＝频率， ＝样本容量，样本容量×频率＝频数．
③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于 ．
（2）频率分布直方图中数字特征的计算
①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．
②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．设中位数为 ，利用 左（右）侧矩形面积之和等
于 ，即可求出 ．
③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中
点的横坐标之和，即有 ，其中 为每个小长方形底边的中点， 为每个小长方
形的面积．
1．（24-25高三上·宁夏石嘴山·月考）某校为了解该校学生“停课不停学”的网络学习效率，随机抽查了高
一年级100位学生的某次数学成绩（单位：分），得到如下所示的频率分布直方图：
(1)估计这100位学生的数学成绩的平均值 ；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
(2)根据整个年级的数学成绩可以认为学生的数学成绩 近似地服从正态分布 ，经计算，（1）
中样本的标准差s的近似值为10，用样本平均数 作为 的近似值，用样本标准差s作为 的估计值，现
任抽取一位学生，求他的数学成绩恰在64分到94分之间的概率；（若随机变量 ，则
， ， ）
(3)该年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习，提高学生每天的作业质量及学习数学的积极
性，特意在微信上设计了一个每日作业小程序，每当学生提交的作业获得优秀时，就有机会参与一次小程
序中”玩游戏，得奖励积分”的活动，开学后可根据获得积分的多少向老师领取相应的小奖品.小程序页面
上有一列方格，共15格，刚开始有只小兔子在第1格，每点一下游戏的开始按钮，小兔子就沿着方格跳
一下，每次跳1格或跳2格，概率均为 ，依次点击游戏的开始按钮，直到小兔子跳到第14格（奖励0
分）或第15格（奖励5分）时，游戏结束，每天的积分自动累加，设小兔子跳到第 格的概率
为 ，试证明 是等比数列，并求 （获胜的概率）的值.【答案】(1) ；(2) ；(3)证明见解析，
【解析】（1） ；
（2）由 ，∴ ， ，
.
（3）小兔子开始在第1格，为必然事件， ，
点一下开始按钮，小兔子跳1格即移到第2格的概率为 ，即 ，
小兔子移到第 格的情况是下列两种，而且也只有两种情况.
①小兔子先跳到第 格，又点一下开始按钮跳了2格，其概率为 ；
②小兔了先跳到第 格，又点一下开始按钮跳了1格，其概率为 ；
∵ ，∴ ．
∴当 时，
数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
∴ ，
．
∴获胜的概率 ．
2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·月考习）某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日
的汽车销售情况进行了统计，如图所示.(1)求 的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；
(2)以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在 内的天数为 ，在恰
有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求 的分布列及数学期望；
(3)为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥
中， 、 均是边长为2的正三角形， ，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个
分别贴在 、 两个顶点，记顶点 、 上的数字分别为 和 ，若 为侧棱 上一个动点，满足
，当“二面角 大于 ”即为中奖，求中奖的概率.
【答案】(1) ，175；(2)分布列见解析， ；(3)
【解析】（1）由 .
因为： ， ，
所以每日汽车销售量的第60百分位数在 ，且为 .
（2）因为抽取的1天汽车销售量不超过150辆的概率为 ，
抽取的1天汽车销售量在 内的概率为 .
所以：在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，
抽取的1天汽车销售量在 内的概率为 .
由题意， 的值可以为：0，1，2，3.
且 ， ，
， .
所以 的分布列为：
0 1 2 3所以 .
（3）如图：取 中点 ，链接 ， ， ， ， .
因为 ， 都是边长为2的等边三角形，
所以 ， ， ， 平面 ，所以 平面 .
平面 ，所以 .
所以 为二面角 DE 平面角.
在 中， ，所以 .
若 ，在 中，由正弦定理： .
此时： ， .
所以，要想中奖，须有 .
由 是从写有数字1~8的八个标签中随机选择的两个，所以基本事件有 个，
满足 的基本事件有：
， ， ， ， ， ， ， ， 共9个，
所以中奖的概率为： .
题型九：概率与其他知识的交汇应用
（24-25高三上·广东深圳·月考习）甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作
答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分；然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋
级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为 ，乙答对题目的概率为p，答对与否相互独立，抽签决定首次答
题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为 .记甲乙两人的答题总次数为 .
(1)求p；(2)当 时，求甲得分X的分布列及数学期望；
(3)若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为 ，证明： .
【答案】(1) ；(2)分布列见解析， ；(3)证明见解析
【解析】（1）记 “第i次答题时为甲”， “甲积1分”，
则 ， ， ， ， ，
，
则 ，解得 ；
（2）由题意可知当 时，X可能的取值为0，1，2，
则由（1）可知 ，
， ，
X的分布列为：
0 1 2
随机变量X的数学期望为 .
（3）由答题总次数为n时甲晋级，不妨设此时甲的积分为 ，乙的积分为 ，
则 ，且 ，所以甲晋级时n必为偶数，令 ，
当n为奇数时， ，
则
，
又 时， 随着m的增大而增大，概率统计常与排列组合、函数、数列等知识交汇考查。求解此类问题要充分理解题意，根据题中已知条
件，联系所学知识对已知条件进行转化。这类问题的命题方向总的来说有两大类：
1、所给问题是以集合、函数、立体几何、数列、向量等知识为载体的概率问题，求解时需要利用相关知
识把所给问题转化为概率模型，然后利用概率知识求解；
2、所给问题是概率问题，求解时有时需要把所求概率转化为某一变量的该函数，然后利用函数、导数知
识进行求解；或者把问题转化为与概率变量有关的数列递推关系，再通过构造特殊数列求通项或求和。
1．（24-25高三上·湖南·月考习）若无穷正项数列 同时满足下列两个性质：①存在 ，使得
；② 为单调数列，则称数列 具有性质 .
(1)若 ，
（i）判断数列 是否具有性质 ，并说明理由；
（ii）记 ，判断数列 是否具有性质 ，并说明理由；
(2)已知离散型随机变量 服从二项分布 ，记 为奇数的概率为 .证明：数列 具有
性质 .
【答案】(1)（i）数列 不具有性质 ，数列 具有性质 ，理由见解析；
（ii）数列 具有性质 ，理由见解析；(2)证明见解析
【解析】（1）（i）因为 单调递增，但无上限，即不存在 ，使得 恒成立，
所以数列 不具有性质 .
因为 ，又数列 为单调递减数列，所以数列 具有性质 .
（ii）数列 具有性质 .
，
，
两式作差得 ，
即 ，所以 数列 满足条件①.
为单调递增数列，满足条件②.
综上，数列 具有性质 .
（2）因为 ，
若 为奇数的概率为 为偶数的概率为 ，
①
②，
，即 .
所以当 时， ，故 随着 的增大而增大，且 .
故数列 具有性质 .
2．（24-25高三上·海南省·开学考试）第十五届全国运动会将于2025年在广东、香港、澳门三地举办．
为了普及全运知识，某大学举办了一次全运知识闯关比赛，比赛分为初赛与复赛，初赛胜利后才能参加复
赛，初赛规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人
重新
闯关；三人中只要有人闯关成功即视作初赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参加初赛，他
们各自闯关成功的概率分别为 ，假定 互不相等，且每人能否闯关成功相互独立．
(1)若计划依次派甲、乙、丙进行初赛闯关， ，求该小组初赛胜利的概率；
(2)已知 ，若乙只能安排在第二个派出，要使初赛派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙
谁先派出；
(3)初赛胜利小组的三名成员都可以进入复赛，复赛规定：单人参赛，每个人回答三道题，全部答对获得
一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖，已知某学生进入了复赛，他
在复赛中前两道题答对的概率均为 ，第三道题答对的概率为 ．若他获得一等奖的概率为 ，设他获得
二等奖的概率为 ，求 的最小值．
【答案】(1) ；(2)甲先派出；(3)
【解析】（1）设事件 表示该小组获胜，
则 ，所以该小组初赛胜利的概率为 ，
（2）若依次派出甲乙丙进行闯关，设派出的人员数目为 ，
则 的可能取值为 ，
则 ， ， ，
此时 ，
若依次派出丙乙甲进行闯关，设派出的人员数目为 ，
则 的可能取值为 ，
则 ， ， ，
此时 ，
所以
，
因为 ，
所以 ，所以 ，
所以要使初赛派出人员数目的期望较小，先派出甲.
（3）由题意可得 ， ，
则 ，
令 ，
则 ，
令 ，
所以当 时， ， 为减函数，
当 时， ， 为增函数，
所以 ，
所以 的最小值为 .
题型十：利用概率解决决策类问题（24-25高三上·宁夏银川·月考习）2023年12月30号，长征二号丙/远征一号S运载火箭在酒泉卫星发射
中心点火起飞，随后成功将卫星互联网技术实验卫星送入预定轨道，发射任务获得圆满完成，此次任务是
长征系列运载火箭的第505次飞行，也代表着中国航天2023年完美收官.某市一调研机构为了了解当地学
生对我国航天事业发展的关注度，随机的从本市大学生和高中生中抽取一个容量为40的样本进行调查，
调查结果如下表：
关注度
学生群体 合计
关
不关注
注
大学生 20 28
高中生
合计 24
附：
0.0
0.10 0.025 0.010 0.005 0.001
5
6.63
2.706 3.841 5.024 7.879 10.828
5
， .
(1)完成上述列联表，依据小概率值 的独立性检验，能否认为关注航天事业发展与学生群体有关？
(2)该市为了提高本市学生对航天事业的关注，举办了一次航天知识闯关比赛，包含三个问题，有两种答
题方案选择：
方案一：回答三个问题，至少答出两个可以晋级；
方案二：在三个问题中，随机选择两个问题，都答对可以晋级.
已知小华同学答出三个问题的概率分别是 ， ， ，小华回答三个问题正确与否相互独立，则小华应该
选择哪种方案晋级的可能性更大？（说明理由）
【答案】(1)列联表见解析，关注航天事业发展与学生群体有关.
(2)小华应该选择方案二，理由见解析.
【解析】（1）完整列联表如下：
关注度
学生群体 合计
关
不关注
注
大学生高中生
合计
故 ，
故依据小概率值 的独立性检验，认为关注航天事业发展与学生群体有关.
（2）方案一：设事件“回答三个问题，小华晋级”为 ，
则 ；
方案二：设事件“三个问题中，随机选择两个问题，小华晋级”为 ，
则 ，
因为 ，故小华应该选择方案二.
决策问题的解决策略：决策的工具是有关概率，决策方案的最佳选择是将概率最大
（最小）作为最佳方案，可能需要借助函数的性质去实现。
1．（24-25高三上·贵州贵阳·月考习）某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，在 处
投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，在 处连续投2次两分球，每投进一次得2分，未投进不得
分，测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮（若前两次投篮后确定不能通过测试也终止投
篮）.甲同学为了通过测试，刻苦训练，投中3分球的概率为 ，投中2分球的概率为 ，且每次投篮结
果互不影响.
(1)若甲同学先投3分球，求他投篮2次就终止投篮的概率；
(2)为使通过测试的概率最大，甲同学应先投几分球？
(3)为使投篮累计得分期望最大，甲同学应先投几分球？
【答案】(1) ；(2)甲同学先投2分或先投3分是一样的；(3)先投2分球
【解析】（1）记甲同学先投3分球，投篮2次就终止投篮的事件为 ，
.
（2）记甲同学先投3分球通过测试的概率为 ，
则 ；
记甲同学先投2分球通过测试的概率为 ，则 ；
因为 ，故甲同学先投2分或先投3分是一样的.
（3）记甲同学先投3分球投篮累计得分为 ，先投2分球投篮累计得分为 ，
可能取
，
.
可能取 ，
，
，
.
故甲同学先投2分球投篮累计得分期望最大.
2．（24-25高三上·内蒙古赤峰·月考习）某校高三年级部组织高中生数学知识竞赛，竞赛分为个人赛和团
体赛，竞赛规则如下：个人赛规则：每位参赛选手只有一次挑战机会，电脑同时给出2道判断题
（判断对错）和4道选择题 （每个选择题的四个选项中有且仅有一个是正确的），要求参赛
者全都作答，若有4道或4道以上答对，则该选手挑战成功.团体赛规则：以班级为单位，每班参赛人数
不少于20人，且参赛人数为偶数，参赛方式有如下两种可自主选择其中之一参赛：方式一：将班级选派
的 个人平均分成n组，每组2人，电脑随机分配给同组两个人一道相同试题，两人同时独立答题，若
这两人中至少有一人回答正确，则该小组挑战成功，若这n个小组都挑战成功，则该班级挑战成功.方式
二：将班级选派的 个人平均分成2组，每组n个人，电脑随机分配给同组n个人一道相同试题，各人
同时独立答题，若这n个人都回答正确，则该小组挑战成功.若这两个小组至少有一个小组挑战成功则该
班级挑战成功.
(1)在个人赛中若一名参赛选手全部随机作答，求这名选手恰好答对一道判断题并且答对两道选择题的概
率；
(2)甲同学参加个人赛，他能够答对判断题 并且答对选择题 ，其余题目只能随机作答，求甲同学挑战
成功的概率；
(3)在团体赛中，假设某班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数 ，为使本班团
队挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明理由.【答案】(1) ；(2) ；(3)选择方式一
【解析】（1）设事件 ：选手答对1道选择题；事件 ：选手答对1都选择题，
则 ， ，
这名选手恰好答对一道判断题并且答对两道选择题的概率：
（2）甲同学挑战不成功可能得情况如下：
①只答对一道判断题 和选择题 ；
②除 和 外只答对一道填空题 或一道选择题（ 中任意一道）
∴甲同学挑战成功的概率：
（3）方式一：小组调整成功的概率： ，
该班级挑战成功的概率： ；
方式二：小组调整成功的概率： ，
该班级挑战成功的概率：
，
令
则
∵ ，则 ， ，
可得 ， ，
∴ ，即 ，∴ 单调递增，
又∵ ，且 ，
∴ ，
从而 ，即 ，所以为使本班调整成功的可能性更大，应该选方式一参赛.
1．（2024·全国·高考真题）某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
优级品 合格品 不合格品 总计
甲车间 26 24 0 50
乙车间 70 28 2 100
总计 96 52 2 150
(1)填写如下列联表：
优级品 非优级品
甲车
间
乙车
间
能否有 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有 的把握认为甲，乙两车间产
品的优级品率存在差异？
(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率 ，设 为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果
，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为
生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（ ）
附：
0.01
0.050 0.001
0
6.63
k 3.841 10.828
5
【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析
【解析】（1）根据题意可得列联表：
优级品 非优级品
甲车
26 24
间
乙车
70 30
间
可得 ，
因为 ，
所以有 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有 的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异.
（2）由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为 ，
用频率估计概率可得 ，
又因为升级改造前该工厂产品的优级品率 ，
则 ，
可知 ，
所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.
2．（2024·全国·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如
下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少
投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中
得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率
为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若 ， ，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)假设 ，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
【答案】(1) ；(2)（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛；
【解析】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投
中1次，
比赛成绩不少于5分的概率 .
（2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，
则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为 ，
若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为 ，
，
，
，应该由甲参加第一阶段比赛.
(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩 的所有可能取值为0，5，10，15，，
，
，
，
记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩 的所有可能取值为0，5，10，15，
同理
，
因为 ，则 ， ，
则 ，
应该由甲参加第一阶段比赛.
3．（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的
保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
赔偿次数 0 1 2 3 4
单数
假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公
司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记 为一份保单的毛利润，估计 的数学期望 ；
（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少 ，有索赔的保单的保费增加 ，试比较这种情况下一份保单毛
利润的数学期望估计值与（i）中 估计值的大小．（结论不要求证明）
【答案】(1) ；(2)(i)0.122万元；(ii) 这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值大于（i）中 估
计值
【解析】（1）设 为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，
由题设中的统计数据可得 .
（2）（ⅰ）设 为赔付金额，则 可取 ，
由题设中的统计数据可得 ，， ， ，
故
故 （万元）.
（ⅱ）由题设保费的变化为 ，
故 （万元），
从而 .
4．（2024·上海·高考真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学
生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：
时间范围学业成绩
优秀 5 44 42 3 1
不优秀 134 147 137 40 27
(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？
(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）
(3)是否有 的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？
（附： 其中 ， ．）
【答案】(1) ；(2) ；(3)有
【解析】（1）由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比 ，
则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为 ．
（2）估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为
．
则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时.
（3）由题列联表如下：
其他 合计
优秀 45 50 95
不优秀 177 308 485
合计 222 358 580
提出零假设 ：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关．其中 ．
．
则零假设不成立，
即有 的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．
5．（2024·上海·高考真题）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．
(1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；
(2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；
(3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，
单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．
【答案】(1) ；(2)一级果抽取6箱，二级果抽取2箱
(3)方差 克 ，平均数 克，预估平均质量为 克
【解析】（1）设A事件为恰好选到一级果和二级果各一箱，
样本空间的样本点的个数 ，
A事件的样本点的公式 ，
所以 ；
（2）因为一级果箱数：二级果箱数 ，
所以8箱水果中有一级果抽取 箱，二级果抽取 箱；
（3）设一级果平均质量为 ，方差为 ，二级果质量为 ，方差为 ，
总体样本平均质量为 ，方差为 ，
因为 ， ， ， ，
所以 克，
克 ．
预估平均质量为 克．
