计数原理与概率统计——2025届高考数学二轮复习易错重难提升新高考版（含解析）_02高考数学_2025年新高考资料_二轮复习

（9）计数原理与概率统计 ——2025 届高考数学二轮复习易错重难提升【新高考版】 易混重难知识 1.分层抽样 一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一 定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是分层抽样. 抽样比 . 2.用样本的数字特征估计总体的数字特征 数字特征 样本数据 频率分布直方图 取最高的小长方形底边中点的横坐 众数 出现次数最多的数据 标 将数据按大小依次排列，处 把频率分布直方图划分为左右两个 在最中间位置的一个数据 中位数 面积相等的部分，分界线与x轴交 （或最中间两个数据的平均 点的横坐标 数） 每个小长方形的面积乘小长方形底 平均数 样本数据的算术平均数 边中点的横坐标之和 方差和标准差反映了数据波动程度的大小. 方差： ； 标准差： . 3.百分位数 （1）把100个样本数据按从小到大排序，得到第p个和第p+1个数据分别为 .可以发现， 区间 内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分.一般地，我们取这两个数的平均数 ，并称此数为这组数据的第p百分位数，或p%分位数. （2）一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据 小于或等于这个值，且至少有 的数据大于或等于这个值. 4. 名称 定义 符号表示 若事件A发生，则事件B一定发生，这时称 包含关系 （或 ） 事件B包含事件A（或事件A包含于事件B） 如果事件 B包含事件 A，事件 A也包含事件 相等关系 B，即 且 ，则称事件 A与事件 B A=B 相等 事件A与事件B至少有一个发生，这样的一 并事件 个事件中的样本点或者在事件 A中，或者在 （或 ） （和事 事件 B中，则称这个事件为事件 A与事件 B 件） 的并事件（或和事件） 事件A与事件B同时发生，这样的一个事件 交事件 中的样本点既在事件A中，也在事件B中， （或 ） （积事 则称这样的一个事件为事件 A与事件B的交 件） 事件（或积事件） 若 为不可能事件，那么称事件 A与事件 互斥事件 B互斥 且 若 为不可能事件， 为必然事件， 对立事件 （U为全 那么称事件A与事件B互为对立事件 集） 5.古典概型的概率公式 （1）在基本事件总数为n的古典概型中，每个基本事件发生的概率都是相等的，即每个基本 事件发生的概率都是 . （2）对于古典概型，任何事件的概率为 . 6.相互独立事件 （1）对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件.（2）若A与B相互独立，则 ， . （3）若A与B相互独立，则A与 ， 与B， 与 也都相互独立. （4）若 ，则A与B相互独立. 7.二项式定理 公式 叫做二项式定理.公式中右边的 多项式叫做 的二项展开式，其中各项的系数 叫做二项式系数，式中的 叫做二项展开式的通项，用 表示，即通项为展开式的第 项. 8.均值与方差的性质 （1） . （2） . 9.条件概率及其性质 （1）一般地，设A，B为两个事件，且 ，称 为在事件A发生的条件 下，事件B发生的概率. （2）条件概率的性质： （i） ； （ii）如果B和C是两个互斥事件，则 . 10.全概率公式 一般地，设 是一组两两互斥的事件， ，且 ，则对任意的事件 ，有 ，称此公式为全概率公式. 11.正态分布的定义及表示： 如果对于任何实数 ，随机变量X满足 ，则称X的分布为正 态分布，记作 . 12.回归直线方程 ①最小二乘法：通过求 的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据 的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法. ②回归方程：方程 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据 的回归方程，其中 是待定参数. ，其中 称为样本点的 中心. 13.独立性检验 利用独立性假设、随机变量 来确定是否有一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法称 为两个分类变量的独立性检验. 易错试题提升 1.从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的 数字之积是4的倍数的概率为( ) A. B. C. D. 2.某班12名同学某次测试的数学成绩(单位：分)分别为62，57，72，85，95，69，74，91， 83，65，78，89，则这12名同学这次测试的数学成绩的第60百分位数是( )A.74 B.78 C.83 D.91 3. 展开式中 的系数为( ) A.42 B.48 C.84 D.96 4.现有4名男生和3名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游的旺季，他们在景区附 近订购了一家酒店的5间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，但最多住2人，男女 不同住一个房间，则女生甲和女生乙恰好住在同一间房的概率是( ) A. B. C. D. 5.为了给学生树立正确的劳动观，使学生懂得劳动的伟大意义，某班从包含甲、乙的6名学 生中选出3名参加学校组织的劳动实践活动，在甲被选中的情况下，乙也被选中的概率为( ) A. B. C. D. 6.“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，尽管我国粮食生产连年丰收，但对粮食安全还是始终要有 危机意识.某市有关部门为了宣传“节约型社会”，面向该市市民开展了一次网络问卷调查， 目的是了解人们对这一倡议的关注度和支持度，得到参与问卷调查中的2000人的得分数据. 据统计此次问卷调查的得分X（满分：100分）服从正态分布 ，则 （附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ， ）( ) A.0.34135 B.0.47725 C.0.6827 D.0.8186 7.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个数学问题之一，2013年华人数学家张益唐 证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，可以直观的描述为：存在无穷多个素数p，使得 是素数.素数对 称为孪生素数对.从8个数对 ， ， ， ， ，， ， 中任取3个，设取出的孪生素数对的个数为X，则 ( ) A. B. C. D.3 8.某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结 果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是( ) A. B.估计这批产品该项质量指标的众数为45 C.估计这批产品该项质量指标的中位数为60 [50,70) D.从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在 的概率约为0.5 9.（多选）已知二项式 的展开式中二项式系数和为64，则下列结论中正确的是( ) A.二项展开式中各项的系数之和为36 B.二项展开式中二项式系数最大的项为 C.二项展开式中无常数项 D.二项展开式中含x3 项的系数为240 10.（多选）进入冬季哈尔滨旅游火爆全网，下图是2024年1月1日到1月7日哈尔滨冰雪大 世界和中央大街日旅游人数的折线图，则( )A.中央大街日旅游人数的极差是1.2 B.冰雪大世界日旅游人数的中位数是2.3 C.冰雪大世界日旅游人数的平均数比中央大街大 D.冰雪大世界日旅游人数的方差比中央大街大 11.为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽 取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其线性回归方 10 10 x 225 y 1600 i i ˆ 程为 ，已知 i1 ， i1 ，b4 .若该班某学生的脚长为24厘米，估计 其身高为__________厘米. 12.2023年9月第19届亚运会将在杭州举办，在杭州亚运会三馆（杭州奥体中心的体育馆、 游泳馆和综合训练馆）对外免费开放预约期间将含甲、乙在内的5位志愿者分配到这三馆负 责接待工作，每个场馆至少分配1位志愿者，且甲、乙分配到同一个场馆，则甲分配到游泳 馆的概率为____________. 13.中医药，是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，是反映中华民族对生 命，健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系，是中华民 族的瑰宝.某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量x(单位：克)与药物功效 y(单位：药物单位)之间具有关系 .检测这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲 的平均值为6克，标准差为2，则估计这批中医药的药物功效的平均值为________________. 14.孔子曰：温故而知新，可以为师矣.数学学科的学习也是如此，为了调查“数学成绩是否优 秀”与“是否及时复习”之间的关系，某校志愿者从高二年级的所有学生中随机抽取60名学 生进行问卷调查，得到如下样本数据： 数学成绩不优秀（人 数学成绩优秀（人数） 数）及时复习（人数） 25 5 不及时复习（人数） 10 20 （1）试根据小概率值 的独立性检验，能否认为“数学成绩优秀”与“及时复习” 有关系？ （2）在该样本中，用分层抽样的方法从数学成绩优秀的学生中抽取7人，再从这7人中随机 抽取3人.设抽取3人中及时复习的人数为X，求X的分布列与数学期望. 附： ，其中 . 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 15.为积极响应“反诈”宣传教育活动的要求，提高市民“反诈”意识，某市进行了一次网络 “反诈”知识竞赛，共有10000名市民参与了知识竞赛，现从参加知识竞赛的市民中随机地 抽取100人，得分统计如下： 成绩 （分） 频数 6 12 18 34 16 8 6 (1)现从该样本中随机抽取两名市民的竞赛成绩，求这两名市民中恰有一名市民得分不低于70 分的概率； (2)若该市所有参赛市民的成绩X近似服从正态分布 ，试估计参赛市民中成绩超过 79分的市民数（结果四舍五入到整数）； (3)为了进一步增强市民“反诈”意识，得分不低于80分的市民可继续参与第二轮答题赠话费 活动，规则如下： ①参加答题的市民的初始分都设置为100分； ②参加答题的市民可在答题前自己决定答题数量 ，每一题都需要用一定分数 来获取答题资格（即用分数来买答题资格），规定答第k题时所需的分数为 ； ③每答对一题得2分，答错得0分； ④答完n题后参加答题市民的最终分数即为获得的话费数（单位：元）.已知市民甲答对每道题的概率均为0.6，且每题答对与否都相互独立，则当他的答题数量n为 多少时，他获得的平均话费最多？ 参考数据：若 ，则 ， ，答案以及解析 1.答案：C 解析：从6张卡片中无放可随机抽取2张，共有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共15种情况，其中数字 6 2  之积为4的倍数的有 (1,4) ， ， (2,6) ， ， (4,5) ， ，6种情况，故概率为15 5 . 故选C. 2.答案：C 解析：将这组数据按从小到大的顺序排列为57，62，65，69，72，74，78，83，85，89， 91，95. 因为 ， 所以这12名同学这次测试的数学成绩的第60百分位数是83. 故选：C. 3.答案：A 解析： ， 的第 项为 ，（ ）， ， 的 系数为42. 故选：A. 4.答案：C 解析：3名女生需要住2个房间或3个房间. 若3名女生住2个房间，则不同的方法种数为 ；若3名女生住3个房间，则不同的方法种数为 . 其中，女生甲和女生乙恰好住在同一间房的方法种数为 ， 所以女生甲和女生乙恰好住在同一间房的概率是 .故选C. 5.答案：B 解析：法一：令事件A为甲被选中，事件B为乙被选中，则 ， ，故 .故选B. 法二：令事件A为甲被选中，事件B为乙被选中， . 6.答案：D 解析：因为随机变量X服从 ，所以 ， ，所以 ， ，所以 ， ，所以 .故选D. 7.答案：C 解析：解法一：由题知8个数对中的孪生素数对为 ， ， ， ，共4个孪 生素数对，所以X的可能取值为0，1，2，3，则 ， ， ， ， 所以 ，故选C. 解法二：由题知8个数对中的孪生素数对为 ， ， ， ，共4个孪生素数 对，则X服从超几何分布 ，故 . 8.答案：C 解析：A项： ，解得 ，A正确； B项：频率最大的一组为第二组，中间值为45，所以估计这批产品该项质量指标的众数为 45，B正确； C项：由于质量指标大于60的频率之和为 ，所以60不是中位数， C错误； D项：由于质量指标在 的频率之和为 ，用频率估计概率，故从 这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在 的概率约为 ，D正确.故选C. 9.答案：ABD 解析：A项，展开式中二项式系数和为 ，对于 ，令 可得 其展开式的系数和为 ，故A项正确； B项，展开式的通项为 ， ，二项式系数最大的项为 ，故B项正确； C项，令 ，得 ，即二项展开式中有常数项，故C项错误； D项，令 ，得 ，所以 ，故D项正确.故选ABD. 10.答案：BC 解析：对于A，根据所给折线图可以看出中央大街日旅游人数的最大值为2.8万人，最小值为 0.9万人，所以极差为 万人，故A错误； 对于B，从图中可以看出，冰雪大世界日旅游人数的数据按照从小到大可排列为1.7，1.8， 1.9，2.3，2.4，2.6，2.9中位数为2.3，所以B正确； 对于C，冰雪大世界日旅游人数的平均数为 万， 中央大街日旅游人数的平均数为 万，所以冰雪大世界日 旅游人数的平均数比中央大街大，故C正确； 对于D，冰雪大世界日旅游人数的方差为 中央大街日旅游人数的方差为 ， 所以冰雪大世界日旅游人数的方差比中央大街小，故D错误. 11.答案：166 解析：易得 ， .， ，将 代入 ，得 ，解得 ， . yˆ 42470166 当 时， . 12.答案： 解析：甲、乙分配到同一个场馆有以下两种情况： （1）场馆分组人数为1，1，3时，甲、乙必在3人组，则方法数为 种； （2）场馆分组人数为2，2，1时，其中甲、乙在一组，则方法数为 种， 即甲、乙分配到同一个场馆的方法数为 . 若甲分配到游泳馆，则乙必然也在游泳馆，此时的方法数为 ， 故所求的概率为 . 故答案为： . 13.答案：20 解析：设这 个样本中成分甲的含量分别为 ， ， ， ， ， ，平均值为 ， 则 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， 于是 ，则 . 故答案为：20 14.答案：（1）“数学成绩优秀”与“及时复习”有关系 （2）见解析 解析：（1）零假设为 ：“数学成绩优秀”与“及时复习”没有关系.根据数据计算， ， 可以推断 不成立，即认为“数学成绩优秀”与“及时复习”有关系，该推断犯错误的概率 不超过0.001. （2）根据分层抽样方法得，选取的7人中，及时复习的有5人，不及时复习的有2人.X的所 有可能取值为1，2，3. ， ， ， 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 所以X的数学期望 . 15.答案：(1) (2)1587 (3) 或 解析：（1）从该样本中随机抽取两名市民的竞赛成绩，基本事件总数为 ， 设“抽取的两名市民中恰有一名市民得分不低于70分”为事件A，则事件A包含的基本事件的个数为 ，因为每个基本事件出现的可能性都相等， 所以 ， 即抽取的两名市民中恰有一名市民得分不低于70分的概率为 ； （2）因为 ，所以 ， 故参赛市民中成绩超过79分的市民数约为 ； （3）以随机变量 表示甲答对的题数， 则 且 ， 记甲答完n题所加的分数为随机变量X， 则 ，所以 ， 依题意为了获取答n道题的资格， 甲需要的分数为： ， 设甲答完n题后的最终得分为 ， 则 . 由于 ，所以当 或 时， 取最大值. 即当他的答题数量为 或 时，他获得的平均话费最多.