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第20讲 新高考新结构命题下的
圆锥曲线解答题综合训练
（7 类核心考点精讲精练）
在新课标、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推进。这不仅仅是一
场考试形式的变革，更是对教育模式和教育理念的全面革新。
当前的高考试题设计，以“三维”减量增质为核心理念，力求在减少题目数量的同时，提升题目的质
量和考查的深度。这具体体现在以下三个方面：
（1）三考
题目设计着重考查学生的知识主干、学习能力和学科素养，确保试题能够全面、客观地反映学生的实
际水平。
（2）三重
强调对学生思维深度、创新精神和实际应用能力的考查，鼓励学生不拘泥于传统模式，展现个人的独
特见解和创造力。
（3）三突出
试题特别突出对学生思维过程、思维方法和创新能力的考查，通过精心设计的题目，引导学生深入思
考和探索，培养逻辑思维和创新能力。
面对新高考新结构试卷的5个解答题，每个题目的考查焦点皆充满变数，无法提前预知。圆锥曲线版
块作为一个重要的考查领域，其身影可能悄然出现在第 15题中，作为一道13分的题目，难度相对较为适
中，易于学生入手。同样不能忽视的是，圆锥曲线版块也可能被置于第18、19题这样的压轴大题中，此时
的分值将提升至17分，挑战学生的解题能力和思维深度，难度自然相应加大。
面对如此多变的命题趋势，教师在教学备考过程中必须与时俱进。不仅要深入掌握不同题目位置可能
涉及的知识点及其命题方式，更要能够灵活应对，根据试题的实际情况调整教学策略。本文基于新高考新
结构试卷的特点，结合具体的圆锥曲线解答题实例，旨在为广大师生提供一份详尽的圆锥曲线解答题综合
训练指南，以期在新高考中取得更好的成绩。考点一、 弦长及面积问题
1．（2024·浙江·二模）已知点 为抛物线 与圆 在第一象限的交点，另一交
点为 .
(1)求 ；
(2)若点 在圆 上，直线 为抛物线 的切线，求 的周长．
2．（2024·江西·模拟预测）已知双曲线 的离心率为2，顶点到渐近线的距离为
．
(1)求 的方程；
(2)若直线 交 于 两点， 为坐标原点，且 的面积为 ，求 的值．
3．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知双曲线 与椭圆 共焦点，点 、
分别是以椭圆半焦距为半径的圆 与双曲线 的渐近线在第一、二象限的交点，若点 满足
，（ 为坐标原点），
(1)求双曲线的离心率；
(2)求 的面积.4．（2024·河北·模拟预测）已知直线 过椭圆 的右焦点 ，且交 于
两点．
(1)求 的离心率；
(2)设点 ，求 的面积．
5．（2024·四川南充·一模）已知动点 与定点 的距离和P到定直线 的距离的比是常数
，记点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的标准方程；
(2)设点 ，若曲线C上两点M，N均在x轴上方，且 ， ，求直线FM的
斜率.
6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆 的左､右顶点分别为 ，左､右焦点分
别为 是椭圆 上一点， ，直线 的斜率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若过右焦点 的直线与椭圆 交于点 ，直线 交于点 ，求当 时， 的值.
考点二、 中点弦问题
1．（2024·贵州黔南·二模）已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ，过焦点 作直线 交抛物线
于 两点， 为抛物线 上的动点，且 的最小值为1.
(1)抛物线 的方程；
(2)若直线 交抛物线 的准线于点 ，求线段 的中点的坐标.
2．（2024·云南昆明·模拟预测）已知双曲线E： 的右焦点为 ，一条渐近线方程为
．
(1)求双曲线E的方程；
(2)是否存在过点 的直线l与双曲线E的左右两支分别交于A，B两点，且使得 ，若存在，
求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
3．（2024·浙江·模拟预测）已知双曲线C: ，圆 ，其中 .圆 与双曲线 有且仅有两个交点 ，线段 的中点为 .
(1)记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求 .
(2)当直线 的斜率为3时，求 点坐标.
4．（23-24高二上·黑龙江佳木斯·期中）已知椭圆 的两个焦点分别为 ，且椭圆 过
点 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 作直线 交椭圆于 两点， 是弦 的中点，求直线 的方程.
5．（2024·河北沧州·模拟预测）已知直线 与椭圆 相交于 两点，
为弦 的中点， 为坐标原点，直线 的斜率记为 .
(1)证明： ；
(2)若 ，焦距为 .
①求椭圆 的方程；
②若点 为椭圆 的右顶点， ，且直线 与 轴围成底边在 轴上的等腰三角形，求直
线 的方程.
x2 y2
6．（2024·山西长治·模拟预测）已知椭圆E: + =1(a>b>0)的右焦点为 ，且该椭圆过点
a2 b2
，直线l交椭圆E于A，B两点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若AB的中点坐标为 ，求直线l的方程；
(3)若直线l方程为 ，过A、B作直线 的垂线，垂足分别为P、Q，点R为线段PQ
的中点，求证：四边形ARQF为梯形.
考点三、 轨迹问题
1．（2024·广东·模拟预测）已知 ，直线 交于点 ，且直线 的斜率之积
为 ，点 的轨迹记为曲线 ．
(1)求 的方程．(2)不过点 的直线 与 交于 两点，且直线 与 的斜率之和为 ，试问直线 是否过定点？
若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
2．（2024·河北衡水·模拟预测）已知圆 ，过 的直线与圆 交于 两点，
过 作 的平行线交直线 于 点.
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)过 作两条互相垂直的直线 交曲线 于 交曲线 于 ，连接弦 的中点和 的中
点交曲线 于 ，若 ，求 的斜率.
3．（2024·浙江温州·三模）已知直线 与双曲线 相切于点 .
(1)试在集合 中选择一个数作为 的值，使得相应的 的值存在，并求出相应的 的值；
(2)过点 与 垂直的直线 分别交 轴于 两点， 是线段 的中点，求点 的轨迹方程.
4．（2024·云南·模拟预测）椭圆 的左､右焦点分别为 ，点 在椭圆 上运动（与左､右
顶点不重合），已知 的内切圆圆心为 ，延长 交 轴于点 .
(1)当点 运动到椭圆 的上顶点时，求 ；
(2)当点 在椭圆 上运动时， 为定值，求 内切圆圆心 的轨迹方程；
(3)点 关于 轴对称的点为 ，直线 与 相交于点 ，已知点 的轨迹为 ，过点 的直线
与曲线 交于 两点，试说明：是否存在直线 ，使得点 为线段 的中点，若存在，求出直线 的方
程；若不存在，请说明理由.
5．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知在平面直角坐标系 中，一直线与从原点 出发的两条象限角平分
线（一、四象限或二、三象限的角平分线）分别交于 ， 两点，且满足 ，线段 的中
点为 ，记点 的轨迹为 ．
(1)求轨迹 的方程；
(2)点 ， ， ，过点 的一条直线 与 交于 、 两点，直线 ， 分别交直线
于点 ， ，且满足 ， ，证明： 为定值.
6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知抛物线 的准线方程为 ，直线l与C交于A，
B两点，且 （其中O为坐标原点），过点O作 交AB于点D.(1)求点D的轨迹E的方程；
(2)过C上一点 作曲线E的两条切线分别交y轴于点M，N，求 面积的最小值.
考点 四 、 定点定直线问题
1．（2024·广东深圳·模拟预测）已知椭圆 ： 的离心率为 ，右顶点 与 的上，下
顶点所围成的三角形面积为 ．
(1)求 的方程；
(2)不过点 的动直线 与 交于 ， 两点，直线 与 的斜率之积恒为 ，证明直线 过定点，并求出
这个定点．
2．（2024·北京·三模）已知椭圆 的短轴长为 ，左、右顶点分别为 ，过右
焦点 的直线 交椭圆 于 两点（不与 重合），直线 与直线 交于点 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)求证：点 在定直线上.
3．（2024·江西九江·二模）已知双曲线 的离心率为 ，点 在 上．
(1)求双曲线 的方程；
(2)直线 与双曲线 交于不同的两点 ， ，若直线 ， 的斜率互为倒数，证明：直线 过定点．
4．（2024·贵州毕节·三模）在平面直角坐标系 中，O为坐标原点， ，动点P满足
，设点P的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)过点 的直线l与曲线 在y轴右侧交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点D，
满足 ．证明：点D在定直线上．
5．（2024·湖南·三模）已知抛物线 的焦点为F，过F且斜率为2的直线与E交于A，B
两点， .
(1)求E的方程；
(2)直线 ，过l上一点P作E的两条切线 ，切点分别为M，N.求证：直线 过定点，并求
出该定点坐标.
6．（2024·河北保定·二模）已知抛物线 的焦点为 ，过 作互相垂直的直线 ，分别
与 交于 和 两点（A，D在第一象限），当直线 的倾斜角等于 时，四边形 的面积为 ．
(1)求C的方程；(2)设直线AD与BE交于点Q，证明：点 在定直线上．
考点 五 、 定值问题
1．（2024·山东泰安·模拟预测）已知椭圆 的焦距为 ，点 在 上．
(1)求 的方程；
(2)点 是 的左顶点，直线 交 于 两点， 分别交直线 于点 ，线
段 的中点为 ，直线 与 轴相交于 点，直线 的斜率为 ，求证： 为定值．
2．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知 分别为椭圆 的左顶点和上顶点，过 点作一条斜率
存在且不为0的直线与 轴交于点 ，该直线与 的一个交点为 ，与曲线 的另一个交点为 ．
(1)若 平分 ，求 的内切圆半径；
(2)设直线 与 的另一个交点为 ，则直线 的斜率是否为定值？若是，求出该定值；否则，说明理
由．
3．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，且过A(−2,0)，
两点．
(1)求C的方程；
(2)设P，M，N三点在C的右支上， ， ，证明：
（ⅰ）存在常数 ，满足 ；
（ⅱ） 的面积为定值．
4．（2024·河南濮阳·模拟预测）已知双曲线 分别是 的左、右焦点．若
的离心率 ，且点 在 上．
(1)求 的方程；
(2)若过点 的直线 与 的左、右两支分别交于 两点，与抛物线 交于 两点，试问是否存
在常数 ，使得 为定值？若存在，求出常数 的值；若不存在，请说明理由．
5．（2024·山东济南·三模）如图所示，抛物线 的准线过点 ，(1)求抛物线的标准方程;
(2)若角 为锐角，以角 为倾斜角的直线经过抛物线的焦点 ，且与抛物线交于A、B两点，作线段
的垂直平分线 交 轴于点 ，证明: 为定值，并求此定值.
6．（2024·广西贵港·模拟预测）已知两条抛物线 ， ．
(1)求 与 在第一象限的交点的坐标．
(2)已知点A，B，C都在曲线 上，直线AB和AC均与 相切．
（ⅰ）求证：直线BC也与 相切．
（ⅱ）设直线AB，AC，BC分别与曲线 相切于D，E，F三点，记 的面积为 ， 的面积为
．试判断 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
考点 六 、 最值及范围问题
1．（2024·全国·模拟预测）已知 是坐标原点，抛物线 的焦点为 ，点
在 上，线段 是圆 的一条直径，且 的最小值为
．
(1)求 的方程；
(2)过点 作圆 的两条切线，与 分别交于异于点 的点 ，求直线 斜率的最大值．
2．（2024·全国·三模）如图，动直线 与抛物线 ： 交于A，B两点，点C是以
AB为直径的圆与 的一个交点（不同于A，B），点C在AB上的投影为点M，直线 为 的一条切
线.(1)证明： 为定值；
(2)求 与 的内切圆半径之和的取值范围.
3．（2024·内蒙古赤峰·二模）已知点P为圆 上任意一点， 线段PA的垂直平
分线交直线PC于点M，设点M 的轨迹为曲线H.
(1)求曲线H的方程;
(2)若过点M 的直线l与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且M 为线段ST的中点.
(i)证明：直线l与曲线H有且仅有一个交点；
(ii)求 的取值范围.
4．（2024·江苏南京·模拟预测）已知双曲线 一个顶点为 ，直线 过点
且交双曲线右支于 两点，记 的面积分别为 .当 与 轴垂直时，
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若 交 轴于点 ， ， .
①求证： 为定值；
②若 ，当 时，求实数 的取值范围.
5．（2024·重庆·三模）已知F，C分别是椭圆 的右焦点、上顶点，过原点的直线 交椭
圆 于A，B两点，满足 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设椭圆 的下顶点为 ，过点 作两条互相垂直的直线 ，这两条直线与椭圆 的另一个交点分别为
M，N，设直线 的斜率为 的面积为 ，当 时，求 的取值范围．
6．（2024·湖南邵阳·三模）已知椭圆 ： 的离心率为 ，右顶点 与 的上，下顶点所围成的三角形面积为 ．
(1)求 的方程．
(2)不过点 的动直线 与 交于 ， 两点，直线 与 的斜率之积恒为 ．
（i）证明：直线 过定点；
（ii）求 面积的最大值．
考点 七 、 新定义问题
1．（2024·山东青岛·三模）在平面内，若直线 将多边形分为两部分，多边形在 两侧的顶点到直线 的距
离之和相等，则称 为多边形的一条“等线”，已知 为坐标原点，双曲线 的左、
右焦点分别为 的离心率为2，点 为 右支上一动点，直线 与曲线 相切于点 ，且与 的渐近
线交于 两点，当 轴时，直线 为 的等线.
(1)求 的方程;
(2)若 是四边形 的等线，求四边形 的面积;
(3)设 ，点 的轨迹为曲线 ，证明: 在点 处的切线 为 的等线
2．（2024·湖南·二模）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如 表示过点 的直线，
直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切
线都是该直线族中的某条直线.
(1)若圆 是直线族 的包络曲线，求 满足的关系式；
(2)若点P(x ,y )不在直线族： 的任意一条直线上，求 的取值范围和
0 0
直线族 的包络曲线 ；
(3)在（2）的条件下，过曲线 上 两点作曲线 的切线 ，其交点为 .已知点C(0,1)，若 三
点不共线，探究 是否成立？请说明理由.
3．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）在平面直角坐标系 中，重新定义两点 之间的“距
离”为 ，我们把到两定点 的“距离”之和为常数
的点的轨迹叫“椭圆”．
(1)求“椭圆”的方程；
(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；
(3)设 ，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为 的左顶点为 ，过 作直线交
于 两点， 的外心为 ，求证：直线 与 的斜率之积为定值．4．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在平面直角坐标系 中，利用公式 ①（其中 ， ， ，
为常数），将点 变换为点 的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该
变换公式①可由 ， ， ， 组成的正方形数表 唯一确定，我们将 称为二阶矩阵，矩阵通
常用大写英文字母 ， ，…表示.
(1)如图，在平面直角坐标系 中，将点 绕原点 按逆时针旋转 角得到点 （到原点距离
不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵 ；
(2)在平面直角坐标系 中，求双曲线 绕原点 按逆时针旋转 （到原点距离不变）得到的双曲线
方程 ；
(3)已知由（2）得到的双曲线 ，上顶点为 ，直线 与双曲线 的两支分别交于 ， 两点（ 在第一象
限），与 轴交于点 .设直线 ， 的倾斜角分别为 ， ，求证： 为定值.
5．（2024·江西新余·二模）通过研究，已知对任意平面向量 ，把 绕其起点A沿逆时针方向旋
转 角得到向量 ，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转 角得到点P，
(1)已知平面内点 ，点 ，把点B绕点A逆时针旋转 得到点P，求点P的坐标：
(2)已知二次方程 的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆 绕原点O逆
时针旋转 所得的斜椭圆C，
（i）求斜椭圆C的离心率；
（ⅱ）过点 作与两坐标轴都不平行的直线 交斜椭圆C于点M、N，过原点O作直线 与直线
垂直，直线 交斜椭圆C于点G、H，判断 是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说
明理由.6．（2024·四川·一模）已知抛物线 ： 的焦点为 ，过点 的直线与 相交于点 ， ，
面积的最小值为 （ 为坐标原点）.按照如下方式依次构造点 ： 的坐标为 ，直
线 ， 与 的另一个交点分别为 ， ，直线 与 轴的交点为 ，设点 的横坐标为 .
(1)求 的值；
(2)求数列 的通项公式；
(3)数列 中，是否存在连续三项（按原顺序）构成等差数列？若存在，指出所有这样的连续三项；若不
存在，请说明理由.
