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解答题：空间向量与立体几何
题型一：空间异面直线夹角的求解
（23-24高三上·河北衡水·月考）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是平行四边
形，且 是等边三角形， .
(1)求证： 平面 ；
(2)若 是等腰三角形，求异面直线 与 所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【解析】（1）因为底面 是平行四边形，且 是等边三角形，
所以四边形 是菱形，则有 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
（2）设 ，
∵ 是等腰三角形，∴ ， ，
以O为坐标原点，射线 ， 分别为x轴，y轴的正半轴建立空间直角坐标系 ，
如图，
则 ， ，B(1,0,0)， ，
所以 ， ，
设 与 所成角为 ，
所以 ，
即 与 所成角的余弦值为 .
1、求异面直线所成角一般步骤：
（1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．
（2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角．
（3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．
（4）取舍：因为异面直线所成角 的取值范围是 ，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异
面直线所成的角．
2、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：
（1）直接平移法(可利用图中已有的平行线)；
（2）中位线平移法；
（3）补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．
3、异面直线所成角：若 分别为直线 的方向向量， 为直线 的夹角，则.
1．（24-25高三上·江西南昌·开学考试）如图，圆锥 的轴截面 是边长为4的等边三角形， 是
的中点， 是底面圆周上一点， .
(1)求 的值；
(2)求异面直线 与 所成角的余弦值.
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1） 中， ， ， ，
根据余弦定理， .
（2）如图，以点 为原点， 为 轴和 轴，
过点 作 为 轴，建立空间直角坐标系，
， ， ， ，
, ，
设异面直线 与 所成角为 ，
则所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
2．（24-25高三上·上海·期中）如图，在直三棱柱 中， ， .
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与 所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）由题知 面 ，又 面 ，所以 ，
又 ， ， 面 ，所以 面 ，
又 面 ，所以 ，
又 ，所以四边形 是正方形，得到 ，
又 ， 面 ，所以 平面 .
（2）如图，建立空间直角坐标系，因为 ，
则 ， ，
得到 ， ，
设直线 与 所成角为 ，则 ，
所以直线 与 所成角的余弦值为 .题型二：空间直线与平面夹角的求解
（24-25高三上·江苏南京·期中）如图，在四棱锥 中，平面 ⊥平面 ， ，
， ， ， ， ，
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）因为平面 平面 ，且平面 平面 ，
且 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又 ，且 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）
取 中点为 ，连接 ， ，
又因为 ，所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，则 ，以O为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐
标系 ，
则 ， ， ， ， ，
， ， ，
设 是平面 的一个法向量，
则 ，得 ，
令 ，则 ， ，所以 ，
设 与平面 所成的角为 ，
则 ，
所以 与平面 所成的角的正弦值为 .
1、垂线法求线面角（也称直接法）：
（1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面 做垂线，确
定垂足O；
（2）连结斜足与垂足为斜线AB在面 上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；
（3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。
3、公式法求线面角（也称等体积法）：
用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。
ℎ
公式为：sinθ= ，其中θ是斜线与平面所成的角，ℎ是垂线段的长，l是斜线段的长。
l
方法：已知平面 β 内一个多边形的面积为S，它在平面α 内的射影图形的面积为 S
射影
，
S
平面α 和平面 β 所成的二面角的大小为 θ ，则COSθ= 射影 .这个方法对于无棱二面角的求解很简便。
S4、直线与平面所成角：设 是直线 的方向向量， 是平面 的法向量，直线与平面的夹角为 .则
.
1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·月考）在三棱柱 中， ， ， ，
， 为 中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）连接 ，
因为 ， 为 中点，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ；
（2）以 为坐标原点， 所在直线为 ，
过 作 的平行线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为 ，所以 ，
则 ，
则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，所以平面 的一个法向量为 ，
又 ，所以 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
2．（24-25高三上·云南大理·月考）如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，侧棱
底面 ， .点 是棱 的中点，点 为棱 上的一点，且
.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【解析】（1）在 中， ，即 ，
又 ，则有 ，即 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面
（2）由（1）可知， ， ， ，
故以D为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，依题意得， ， ， ， ， ，
设点 ，由 ， ， 三点共线，则有 ，
又 ， ，
，解得 ， ， ，故 ，
设平面 的法向量为⃗n=(x,y,z)， ， ，
由 ，得 ，即 ，
取平面 的一个法向量 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ， ，
所以 ， ， ，
故 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
题型三：空间平面与平面夹角的求解
（24-25高三上·湖北·期中）如图，球 的半径为 ， 为球面上三点，若三角形 为直角三角形，
其中 .延长 与球 的表面交于点 .(1)求证： 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成的角分别为 ，试求二面角 的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【解析】（1）因为 是球的直径，所以 .
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）因为直线 与平面 所成的角分别为 ，所以 .
不妨令 ，则 ，
由题设，易知 ，
以 为坐标原点， 所在直线为 轴，过点 作 的平行线为 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 .
所以 ，
设平面 的法向量为 ，平面 法向量为 ，
由 ，取 ，得 ，由 ，取 ，得 ，
设二面角 的平面角为 ，则 ，易知 .
1、几何法
（1）定义法（棱上一点双垂线法）：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直
于棱的射线．
（2）三垂线法（面上一点双垂线法）：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作
垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面
角
（3）垂面法（空间一点垂面法）：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所
成的角就是二面角的平面角。
（4）射影面积法求二面角
2 、 向 量 法 ： 若 分 别 为 平 面 的 法 向 量 ， 为 平 面 的 夹 角 ， 则
.
1．（24-25高三上·福建南平·期中）如图，在四棱锥 中，点 在平面 上射影是 的外
心，且 是棱 的中点，且 平面 .
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求二面角 的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）分别取 的中点为 ，连接 ，延长 至 ，使得 ，
连接 ，如下图：
在 中， 为中位线，则 ，
在 中，由 ，则 为外心，即 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）在 中， ，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ， ，
以 为原点，分别以 所在的直线为 轴，建立空间直角坐标系，如下图：
在 中， ，则 ， ，
在 中， ，则 ，
则 ，
取 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，则 ，所以平面 的一个法向量为 ；设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，则 ，所以平面 的一个法向量为 ；
设二面角 的大小为 ，
，
则 .
2．（24-25高三上·北京·月考）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ，
，M为线段 的动点.
(1)若直线 平面 ，求证： 为 的中点：
(2)求证：平面 平面
(3)若平面 与平面 夹角的余弦值为 ，求 的值.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)
【解析】（1）证明：如图所示，连接 ，交 于点 ，连接 ，
因为直线 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又因为四边形 为正方形，所以点 为 的中点，所以 为 的中点.
（2）证明：因为四边形 为正方形，可得 ，
又因为 平面 ，且 平面 ，所以 ，
因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 .
（3）解：因为四边形 为正方形，且 平面 ，所以 两两垂直，
以 为坐标原点，以 所在的直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，设 ，可得 ，则 ，
设 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，可得 ，所以 ，
连接 ，由四边形 为正方形，可得 ，
因为 平面 ，且 平面 ，所以 ，
又因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
所以向量 为平面 的一个法向量，
则 ，解得 或 （舍），
所以 .
题型四：空间点、线、面间的距离求解
（24-25高三上·贵州贵阳·月考）如图， 是正三角形 的一条中位线， ，将 沿 折起，
得到四棱锥 .(1)证明： 平面 ；
(2)若 求点 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）证明：因为 ，
所以 .
又因为 平面 ，所以 平面 .
（2）解：如图，点 为坐标原点，建立空间直角坐标系，
三角形的边长为2，
则 .
设 ，因为 ，
所以
所以 .
因为 ，所以 ，
所以 .
设 平面 ，所以
故 .
又 ，
所以点 到平面 的距离为 .
1、几何法求点面距
（1）定义法（直接法）：找到或者作出过这一点且与平面垂直的直线，求出垂线段的长度；
（2）等体积法：通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离；
（3）转化法：转化成求另一点到该平面的距离，常见转化为求与面平行的直线上的点到面的距离．
2、向量法求空间距离：
（1）点面距：已知平面 的法向量为 , 是平面 内的任一点， 是平面 外一点,过点 作则平面
的垂线 ，交平面 于点 ，则点 到平面 的距离为
⃗
⃗
ABn
（2）直线 与平面 之间的距离：d ⃗ ，其中 ， ⃗ 是平面 的法向量。
a |n| Aa,B n
⃗
⃗
ABn
（3）两平行平面 之间的距离：d ⃗ ，其中 ， ⃗ 是平面 的法向量。
, |n| A,B n
1．（24-25高三上·广东广州·月考）已知四棱柱 中，底面ABCD为梯形， ，
平面 ， ，其中 ， . ， 分别是线段 和线段 上的
动点，且 ， .(1)求证： 平面 ；
(2)若 到平面 的距离为 ，求 的长度.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，又 ，
所以 两两垂直，
以 为原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，如图，
因为 ， ，
则 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，所以 ，即 ，令 ，则 ，
所以 ，
所以 ，所以 平面 ，
（2）若 到平面 的距离为 ，则 ，
又 ，
所以 ，
整理可得 ，解得 或 （舍去），
所以 ，所以 .
2．（24-25高三上·福建福州·月考）如图，在直四棱柱 中，底面四边形 为梯形，
， ， ， ．
(1)证明： ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求直线BD到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）因为 ， ，所以 ，
可得 ，又 为直四棱柱，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
且 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
可得 ，因为 ，所以 ；
（2）由（1），以 为原点， 所在的直线分别为 轴的正方向建立
空间直角坐标系，设 ，
则 ，
，
设⃗n=(x,y,z)为平面 的一个法向量，
则 ，即 ，令 ，则 ， ，
所以 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
因为直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
所以 ，
解得 ， ，
因为平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，所以直线BD到平面 的距离
可转化为点B到平面 的距离， ，
.题型五：空间几何体的体积求解
（23-24高三上·海南海口·月考）如图，在长方体 中， ， ， 分别
为 ， 的中点．
(1)证明： ；
(2)求三棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）连接 ，因为A B C D 为正方形，所以 ，
1 1 1 1
又在长方体 中， 平面A B C D ，
1 1 1 1
且 平面A B C D ，故 ．
1 1 1 1
又 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，故 ．
（2）由 ， ， 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
， ， ．
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
即 ，令 ，得 ．
又 ，则点 到平面 的距离 ．
又 ，所以 的面积为 ，所以三棱锥 的体积为 ．
1、处理空间几何体体积的基本思路
（1）转：转换底面与高，将原本不容易求面积的底面转换为容易求面积的底面，或将原来不容易看出的
高转换为容易看出并容易求解的高；
（2）拆：将一个不规则的几何体拆成几个规则的几何体，便于计算；
（3）拼：将小几何体嵌入一个大几何体中，如有时将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原
乘一个四棱柱，还台位锥，这些都是拼补的方法。
2、求体积的常用方法
（1）直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算；
（2）割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成
规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算；
（3）等体积法：选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面
作为三棱锥的底面进行等体积变换
1．（24-25高三上·广东深圳·月考）如图，将长方形 （及其内部）绕 旋转一周形成圆柱，其中
， ，劣弧 的长为 ， 为圆 的直径，平面 与平面 的交线为 .(1)证明： ；
(2)若平面 与平面 夹角的正切值为 ，求四棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）法一：
， 平面 ， 平面 ，
平面 ，
又 平面 ，平面 平面 ，
；
法二：
圆面 圆面 ，平面 圆面 ，
平面 圆面 ， ，
又 ， ；
（2）法一：
以 为原点， 分别为 轴，垂直于 轴直线为 轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则 ， ，
劣弧 的长为 ，
， ，
， ，
设平面 的法向量为 ，
由 ，即 ，
令 ，则 ， ，平面 的法向量为 ，
设平面 与平面 夹角为 ，
则 ，
则 ，
即 ， (负值舍去)，
即 到平面 距离为 ，
则 .
法二：
如图，过 作 ，即平面 与平面 的交线为 ，
作 于 ，连接 ，
平面 ， 平面 ， ，
又 ， 平面 ，
平面 ， ，
是平面 与平面 夹角，
的长为 ，
， ，
，
则 ， ，即 到平面 距离为 ，
.
2．（24-25高三上·河南·开学考试）如图，四棱锥 中，底面四边形 为凸四边形，且
， ， ．
(1)证明： ；
(2)已知平面 与平面 夹角的余弦值为 ，求四棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见解析；(2)16
【解析】（1）因为 ， ，
所以 ，所以 ，
同理 ，又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
连接 ，因为 ， ， ，
所以 ，所以 ．
又 ，由等腰三角形三线合一，得 ．
因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ．
（2）因为 ， ，所以 ，所以 ，又 ， ，故 ， ， 两两垂直，
故以 为坐标原点，
， ， 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ，所以 ， ，
由（1）知 平分 ，设 ，所以 ．
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，得 ， ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，得 ， ，所以 ，
设平面 与平面 夹角的大小为 ，
则 ，
两边平方并化简得 ，解得 或 ．
因为 ， ，所以点 到 的距离为 ，
因为四边形 为凸四边形，所以 ，所以 不合题意，
即 ，则 ，可得 ，
所以 ．题型六：空间几何体的翻折问题
（23-24高三下·山东·模拟预测）如图，在菱形 中， ， 是 的中点，将 沿直线
翻折使点 到达点 的位置， 为线段 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)若平面 平面 ，求直线 与平面 所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【解析】（1）取线段 的中点为 ，连接 ，
因为 为线段 的中点，所以 ，且 ；
又 是 的中点，所以 ，且 ；
所以 ，且 ，故四边形 为平行四边形；
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 直线 平面 ；
（2）因为 是 的中点，所以 ，所以 ；
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 .以 为原点， 分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
设 ，则 ， ， ， ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 即 ，
取 ，则 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角为 .
翻折问题的两个解题策略
1、确定翻折前后变与不变的关系：画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数
量关系的变与不变．一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折
痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的
关系则要在立体图形中解决
2、确定翻折后关键点的位置：所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点．因为这些点的位置移动，
会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化．
只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明
与计算
1．（24-25高三上·云南昆明·期中）已知在长方形 中， ， ，点 是边 的中点，如
图甲所示.将 沿 翻折到 ，连接 ， ，得到四棱锥 ，其中 ，如
图乙所示.(1)求证：平面 平面 ；
(2)求平面 和平面 夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2) ．
【解析】（1）连接 ，因为 是 中点，所以 ，
从而 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
， 平面 ，
所以 平面 ，又因为 平面 ，
所以平面 平面 ；
（2）取 的中点 ，连接 ，则 ，又平面 平面 ，平面 平面
，
所以 平面 ，
，
以 为原点，过 平行于 的直线为 轴， 为 轴，
过 平行于 的直线为 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ， ， ， ， ，
，
设平面 的一个法向量是 ，
则 ，取 得 ，
设平面 的一个法向量是 ，
则 ，取 ，得 ，
，所以平面 和平面 夹角的余弦值为 ．
2．（2024·河北承德·二模）如图1，在直角 中， 为 中点， ，取 中
点 ，连接 ，现把 沿着 翻折，形成三棱锥 如图2，此时 ，取 中点 ，
连接 ，记平面 和平面 的交线为 为 上异于 的一点.
(1)求证： 平面 ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的长度.
【答案】(1)证明见解析；(2) 或
【解析】（1）由题意知 为等腰直角三角形，又 为 的中点，
所以 ， ， ，
由 ，解得 ，
当 时，有 ，即 ，
而 平面 ，故 平面 ；
（2）以 为 轴， 轴，过 作平面 的垂线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
又 ，
所以所以 ， ，
所以 ，
于是 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，不妨取 ，解得 ，
设 ，则 ， ，
因为 为 中点， 为 中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
平面 和平面 的交线为 ， 平面 ，
所以 ，又 为 上异于 的一点，所以 ，即 与 共线，
设为 ，则 ，
故 ，
因此 .
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，化简得 ，解得 或 ，
当 时 ，则 ，
当 时 ，则 ，
因此 或 .
题型七：空间动点存在性问题的探究
（24-25高三上·四川德阳·月考）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 平面 为
棱 上的动点.
(1)若 为 中点，证明： 平面 ；
(2)若 ，在线段 上是否存在点 使得面 与面 夹角余弦值为 ，若存
在，求出点 位置，若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析
【解析】（1）连接 ，交 于点 ，
因为底面 为矩形，故 为BD的中点，
又因为 为 的中点，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .（2）底面 为矩形，所以 ，
平面 ，又 平面 ，
，
如图，以 为原点， 所在直线为 轴、 轴， 轴建立空间直角坐标系，
由题意得 ， ，
设 ，设 ，
所以 ，可得 ，
所以 ，
， ， ，
设面 的法向量为 ，
则 ，
取 ，则 ，
为平面 的一个法向量，
设面 的法向量为 ，
则 ，
取 ，则 ，
可取 ，
设面 与面 夹角为 ，
则 ，
化简得 ，即 ，
解得 或 （舍），所以在线段 上存在点 使得面 与面 夹角余弦值为 ，
此时 ，即点 为 （靠近点 ）的三等分点.
借助于空间直角坐标系，把几何对象上动态点的坐标用参数(变量)表示，将几何对象坐标化，这样根据所
要满足的题设要求得到相应的方程或方程组．若方程或方程组在题设范围内有解，则通过参数的值反过来
确定几何对象的位置；若方程或方程组在题设范围内无解，则表示满足题设要求的几何对象不存在．
1．（24-25高三上·江西南昌·月考）如图，在矩形纸片 中， ，沿 将 折起，
使点 到达点 的位置，且满足平面 ⊥平面 .
(1)求证：平面 平面 ，并求 的长度；
(2)若 是线段 上（不包括端点）的一个动点，是否存在点 ，使得直线 与平面 的夹角为 ？
若存在，求 的长度；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明过程见解析， ；
(2)存在点 ，使得直线 与平面 的夹角为 ， ，理由见解析
【解析】（1）过点 作 ⊥ 于点 ，
因为平面 ⊥平面 ，交线为 ， ⊥ ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ⊥ ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ，由勾股定理得 ；
（2）存在点 ，使得直线 与平面 的夹角为 ，此时 ，理由如下：
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，
垂直于平面 的直线为 轴，建立空间直角坐标系，
由（1）知， ， ，故 ，
由勾股定理逆定理得 ⊥ ，且 ，
所以 ，
过点 作 ⊥ 于点 ，
由（1）知，平面 平面 ，故 ⊥平面 ，
且 ， ，
所以 ，
其中 ，设 ， ，
设 ，则 ，
解得 ，故 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ，
所以 ，与平面 的夹角为 ，故 与 夹角为 或 ，
又 ，
所以 ，即 ，
解得 ，则 .
2．（24-25高三上·湖南·月考）如图，侧面 水平放置的正三棱台 ，侧棱
长为 为棱 上的动点.
(1)求证： 平面 ；
(2)是否存在点 ，使得平面 与平面 的夹角的余弦值为 ？若存在，求出点 ；若不存在，
请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2)存在，点 为 中点
【解析】（1）延长三条侧棱交于一点 ，如图所示，
由于 ，所以 ，
所以 ，所以 ，同理 .
又 ， 平面 ，
所以 平面 ，即 平面 .（2）由（1）知 ，如图建立空间直角坐标系，
则 ， ，
所以 ， .
设 ，
则 ，
设平面 和平面 的法向量分别为 ，
所以
取 ，
则 .
整理得 ，即 ，所以 或 （舍），
故存在点 （点 为 中点时），满足题意.
1．（24-25高三上·江苏扬州·月考）已知三棱锥 底面 ，
点 是 的中点，点 为线段 上一动点，点 在线段 上.(1)若 平面 ，求证： 为 的中点；
(2)若 为 的中点，求直线 与平面 所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）连接 ，因为 平面 平面 ，
平面 平面 ，所以 ，
又因为 是 的中点，所以 是 中点；
（2）方法一：因为 底面 ，如图建立坐标系 ，
则 ，可得 ， ，
设平面 的法向量为⃗n=(x,y,z)，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，又 ，则 ，
因此直线 与平面 所成角的余弦值为 .
方法二：过点 作 交 于 ，连接 ，因为 底面 底面 ，则 ，
且 平面 ，则 平面 ，
由 平面 ，可得 ，且 ，
平面 ，所以 平面 ，
可知 即为直线 与平面 所成角，
在 中， ，则 ，所以 ，
又 ， ，则 ，
所以直线 与平面 所成角的余弦值为 .
2．（24-25高三上·江苏苏州·月考）如图，在平行四边形 中， ，以 为
折痕将 折起，使点M到达点D的位置，且 .
(1)证明：平面 平面 .
(2)Q为线段 上一点，P为线段 上一点，且 ，求点P到平面ABQ的距离.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）由题意平行四边形ABCM中， ，则 ，又 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，而 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）由于 ， 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ，
以 为 轴，平行于 的直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
又Q为线段 上一点，P为线段 上一点，且 ，
则 ， ，
，
设平面 的一个法向量是 ，
则 ，取 ，则 ，
又 ，
则 到平面 的距离等于 ，
3．（24-25高三上·浙江宁波·模拟考试）在三棱锥 中，侧面 是边长为2的等边三角形，
， ， .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）取 的中点为 ，连接 ，
因为 是边长为2的等边三角形，所以 ， ，
在直角三角形 中， ， 为 中点，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，即 ，又 为平面 内两条相交直线，
所以 平面 ，又 在平面 内，
所以平面 平面 .
（2）
由（1）知过 作 的平行线作为 轴， 分别为 轴，
则 ，
所以 ， ,
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，可得 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，可得 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 .
4．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）在梯形 中， ， ， ，
为 的中点，线段 与 交于 点（如图1）.将△ 沿 折起到△ 位置，使得
（如图2）.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)线段 上是否存在点 ，使得 与平面 所成角的正弦值为 ?若存在，求出 的值；若不
存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2)存在，
【解析】（1）证明：∵在梯形 中， ，
， ， 为 的中点，
∴ ， ， ，
∴ 是正三角形，四边形 为菱形，
∴ ， ，
∵ ，
又∵ 平面ABC，
∴ 平面ABC，
∵ 平面 ，
∴平面 ⊥平面ABC.（2）存在， ，理由如下：
∵ 平面 ，OP⊥AC，
∴ ， ， 两两互相垂直，
如图，以点 为坐标原点， ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系.
则 ， ， ， ，
∴ ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则
，即 ，令 ，则 ， ，
，
设 ，
∵ ， ，
∴ ，
设 与平面 所成角为 ，则 ，
即 ， ，解得 ，
∴线段 上存在点 ，且 ，使得 与平面 所成角的正弦值为 .
5．（24-25高三上·北京·期中）如图，在四棱锥 中，直线 平面 . ，
， ， ， ，平面 平面 ，F为线段 的中点，E为
线段 上一点.(1)证明： ；
(2)证明： ；
(3)是否存在点E，使得点E到平面 的距离是 ，若存在求出 的值，若不存在请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)存在， .
【解析】（1）证明：因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以 ；
（2）因为 ，F为线段 的中点，
所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ；
（3）取 的中点 ，连接 ，过 作 ‖ ，交 于 ，
因为F为线段 的中点， ，所以 ‖ ，
因为 ，所以 ，所以 ，
由（2）可知 平面 ， 平面 ，
所以 ，
所以 两两垂直，所以以 所在的直线分别为 轴建立空间直角坐标系，
如图所示，
因为 ‖ ， ， ，
所以四边形 为矩形，
所以 ，
因为 ，所以 ,
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ， ，所以 为等边三角形，所以 ， ，
设 ，则 ，
因为 ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，则
，令 ，则 ，
若点E到平面 的距离是 ，则 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，所以 .
6．（24-25高三上·浙江·月考）在四棱锥 中， ， ， 底面 ，点O在
上，且 .
(1)求证： ；(2)若 ， ，点 在 上， 平面 ，求 的值；
(3)若 ，二面角 的正切值为 ，求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2) ；(3) .
【解析】（1）连接 ，
因为 底面 ， 平面 ，
所以 ，即 ，
又 ， ，所以 ，
所以 ，故
又 ，
所以 ， ，
又 ，所以 ，
因为 底面 ， 平面 ，
所以 ，
又 ，
所以 ；
（2）连接 交 于点 ，连 ，
因 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 ，故 ，
因为 ， ，
所以 ，故四边形 是圆内接四边形，
又 ，所以 ，
因 ， ，点 为 的中点，所以 ， ，
故 ，设 ，
则 ， ，
在 中，
由余弦定理可得 ，
所以 ，于是 ；
（3）以点 为原点， ， ， 为 ， ， 轴正方向建立如图所示的坐标系，
则 ,
所以 ,
设⃗n =(x ,y ,z )为平面 的法向量,
1 1 1 1
所以 ，
故 ，令 ，则 ，所以 为平面 的一个法向量，
过点 作 于 ，
因为 底面 ， 平面 ，
所以 ， ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
故二面角 的平面角为 ，
由已知 ，
所以 ，于是 ， ，
又 ，所以 ，又 ，
所以 ，故 ，
所以点 的横坐标为 ，纵坐标为 ，
所以点 的坐标为 ，
所以 ，
设 平面 的法向量，
所以 ，
两式相减得 ，
令 ，则 ，
所以 为平面 的一个法向量，,
所以 ，
观察可得二面角 的平面角为锐角，
所以二面角 的余弦值为 .1．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥 中， ， ， ,点 在
上，且 ， ．
(1)若 为线段 中点，求证： 平面 ．
(2)若 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）取 的中点为 ，接 ，则 ，
而 ，故 ，故四边形 为平行四边形，
故 ，而 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）
因为 ，故 ，故 ，
故四边形 为平行四边形，故 ，所以 平面 ，
而 平面 ，故 ，而 ，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
则
设平面 的法向量为 ，则由 可得 ，取 ，
设平面 的法向量为 ，
则由 可得 ，取 ，
故 ，
故平面 与平面 夹角的余弦值为
2．（2024·全国·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形
ADEF均为等腰梯形， ， ， ， 为 的
中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）因为 为 的中点，所以 ，
四边形 为平行四边形，所以 ，又因为 平面 ，
平面 ，所以 平面 ；
（2）如图所示，作 交 于 ，连接 ，
因为四边形 为等腰梯形， ，所以 ，
结合（1） 为平行四边形，可得 ，又 ，
所以 为等边三角形， 为 中点，所以 ，
又因为四边形 为等腰梯形， 为 中点，所以 ，
四边形 为平行四边形， ，
所以 为等腰三角形， 与 底边上中点 重合， ，
，因为 ，所以 ，所以 互相垂直，
以 方向为 轴， 方向为 轴， 方向为 轴，建立 空间直角坐标系，
， ， ，
，设平面 的法向量为⃗m=(x ,y ,z )，
1 1 1
平面 的法向量为⃗n=(x ,y ,z )，
2 2 2
则 ，即 ，令 ，得 ，即⃗m=(√3,3,1)，
则 ，即 ，令 ，得 ，
即 ， ，则 ，
故二面角 的正弦值为 .
3．（2024·全国·高考真题）如图，平面四边形ABCD中， ， ， ， ，
，点E，F满足 ， ，将 沿EF翻折至 ，使得 ．
(1)证明： ；
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）由 ，
得 ，又 ，在 中，
由余弦定理得 ,
所以 ，则 ，即 ，
所以 ，又 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
故 ；
（2）连接 ，由 ，则 ，
在 中， ，得 ，
所以 ，由（1）知 ，又 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ，则 两两垂直，建立如图空间直角坐标系 ，
则 ，
由 是 的中点，得 ，
所以 ，
设平面 和平面 的一个法向量分别为 ，
则 ， ，
令 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
设平面 和平面 所成角为 ，则 ，
即平面 和平面 所成角的正弦值为 .4．（2024·广东江苏·高考真题）如图，四棱锥 中， 底面ABCD， ，
．
(1)若 ，证明： 平面 ；
(2)若 ，且二面角 的正弦值为 ，求 ．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）（1）因为 平面 ，而 平面 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
而 平面 ，所以 .
因为 ，所以 ， 根据平面知识可知 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
（2）如图所示，过点D作 于 ，再过点 作 于 ，连接 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ，而平面 平面 ，
所以 平面 ，又 ，所以 平面 ，
根据二面角的定义可知， 即为二面角 的平面角，
即 ，即 ．
因为 ，设 ，则 ，由等面积法可得， ，
又 ，而 为等腰直角三角形，所以 ，
故 ，解得 ，即 ．5．（2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱 中， 平面 ， ，
． 分别为 的中点，
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角余弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析；(2) ；(3)
【解析】（1）取 中点 ，连接 ， ，
由 是 的中点，故 ，且 ，
由 是 的中点，故 ，且 ，
则有 、 ，
故四边形 是平行四边形，故 ，
又 平面 ， 平面 ，
故 平面 ；
（2）以 为原点建立如图所示空间直角坐标系，有A(0,0,0)、 、 、 、C(1,1,0)、 ，
则有 、 、 ，
设平面 与平面 的法向量分别为 、 ，
则有 ， ，
分别取 ，则有 、 、 ， ，
即 、 ，
则 ，
故平面 与平面 的夹角余弦值为 ；
（3）由 ，平面 的法向量为 ，
则有 ，
即点 到平面 的距离为 .
