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周四
1.(2024·晋城模拟)已知向量a和b满足|a|=3，|b|=2，|a+b|=√7，则向量b在向量a上的投影向量为( )
1
A.- a B.-a
3
1
C. a D.a
3
( √3) (1)
2.(2024·丹东质检)已知函数f(x)=x3-x，a=f - ，b=f(log 3)，c=f ，则( )
3 2 2
A.a<c<b B.a<b<c
C.c<b<a D.c<a<b
3.(多选)(2024·浙江金丽衢十二校联考)为调研加工零件效率，调研员通过试验获得加工零件个数x与所用时
间y(单位：min)的5组数据为：(10，52)，(20，67)，(30，70)，(40，75)，(50，86)，根据以上数据可得经
^ ^
验回归方程为 y=0.76x+a ，则( )
^
A. =47.3
a
^ ^
B.经验回归直线 y=0.76x+a 必过点(30，70)
C.加工60个零件的时间大约为92.8 min
D.若去掉(30，70)，剩下4组数据的经验回归方程会有变化
x2 y2
4.(2024·马鞍山模拟)已知双曲线Γ： - =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，过点F 的直线与Γ的
a2 b2 1 2 2
右支交于A，B两点，若|AF |=8，|BF |=5，∠AF B=60°，则a= .
1 1 1
a a a 2n+3
5.(2024·浙江金丽衢十二校联考)已知数列{a }满足 1+ 2 +…+ n =3- (n∈N*)，记数列{a }的前n项和
n 2 22 2n 2n n
为S .
n
(1)求S ；
n
(2)已知k ∈N*且k =1，k =2，若数列{a }是等比数列，记{k }的前n项和为T ，求使得S ≥T 成立的n的
n 1 2 k n n n n
n
取值范围.答案精析
1.A 2.D 3.BC
3
4.
2
解析 依题意过点F 的直线与Γ的右支交于A，B两点，
2
且|AF |=8，
1
|BF |=5，
1
∠AF B=60°，
1
则0<a<5，|AF |=8-2a，
2
|BF |=5-2a，
2
所以|AB|=|AF |+|BF |
2 2
=13-4a，
可得(13-4a)2=82+52-2×5×8cos 60°，
3
解得a= 或a=5(舍去).
2
a a a
5.解 (1)∵ 1+ 2 +…+ n
2 22 2n
2n+3
=3- ， ①
2n
a a a 2n+1
∴ 1 + 2 +…+ n-1 =3- (n≥2)， ②
2 22 2n-1 2n-1
a 2n-1
①-②得， n = ，
2n 2n
得a =2n-1(n≥2).
n
a 5 1
当n=1时，①式为 1=3- = ，得a =1，也满足上式.
2 2 2 1
n(1+2n-1)
∴a =2n-1，数列{a }是等差数列，∴S = =n2.
n n n 2
(2)a =a =1，a =a =3，则数列{a }是以1为首项，3为公比的等比数列，
k 1 k 2 k
1 2 n
∴a =3n-1，又 a =2k -1，
k k n
n n3n-1+1
∴2k -1=3n-1，得k = ，
n n 2
1(1-3n
)
3n+2n-1
得T = +n = .
n 2 1-3 4
3n+2n-1
令S ≥T ，即n2≥ ，
n n 4
4n2-2n+1
即 ≥1. (*)
3n
当n=1，2，3时，经验证，(*)式满足要求.
4n2-2n+1
令f(n)= ，n≥4，则
3n
f(n+1)-f(n)
4(n+1) 2-2(n+1)+1
= -
3n+1
4n2-2n+1 4n(3-2n)
= ，
3n 3n+1
57
∴当n≥4时，f(n)≤f(4)= <1，
81
即当n≥4时，(*)式不成立.
∴使得S ≥T 成立的n的取值范围是{1，2，3}.
n n
