文档内容
周二
1.(2024·红河州检测)已知复数z=(2+i)(1-i)，则|z|等于( )
A.√2 B.2
C.√5 D.√10
2.(2024·长沙适应性考试)已知直线y=a与函数f(x)=ex，g(x)=ln x的图象分别相交于A，B两点.设k 为曲线
1
y=f(x)在点A处切线的斜率，k 为曲线y=g(x)在点B处切线的斜率，则k k 的最大值为( )
2 1 2
1
A. B.1
e
C.e D.ee
3.(多选)(2024·承德模拟)如图所示，有一个棱长为4的正四面体PABC容器，D是PB的中点，E是CD上的
动点，则下列说法正确的是( )
π
A.直线AE与PB所成的角为
2
B.△ABE周长的最小值为4+√34
√6
C.如果在这个容器中放入1个小球(全部放入)，则小球半径的最大值为
3
2√6-2
D.如果在这个容器中放入4个完全相同的小球(全部放入)，则小球半径的最大值为
5
4.(2024·新余模拟)已知随机变量X服从正态分布N(3，22)，则D(3X+2)的值为 .
5.(2024·济南模拟)近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起.某企业着力推进技术革新，利润稳步提
高.统计该企业2019年至2023年的利润(单位：亿元)，得到如图所示的散点图.其中2019年至2023年对应
的年份代码依次为1，2，3，4，5.
(1)根据散点图判断，y=a+bx和y=c+dx2哪一个适宜作为企业利润y(单位：亿元)关于年份代码x的回归方程
类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)中的判断结果，建立y关于x的经验回归方程；
(3)根据(2)的结果，估计2024年的企业利润.^ ^ ^
参考公式：在经验回归方程y=bx+a 中，
n
Σ x y -nx y
i i
^
i=1 ^
^
= ，a=y- .
b bx
n
Σ
x2-nx2
i
i=1
5 5 5
参考数据： Σ
x2
=55， Σ
x4
=979， Σ y=390，
i i i
i=1 i=1 i=1
5 5
Σ xy=1 221， Σ
x2
y=4 607.9.
i i i i
i=1 i=1答案精析
1.D 2.A
3.ACD [A选项，连接AD，由于D为PB的中点，
所以PB⊥CD，
PB⊥AD，
又CD∩AD=D，AD，CD 平面ACD，
所以直线PB⊥平面ACD，⊂
又AE 平面ACD，
所以P⊂B⊥AE，故A正确；
B选项，把△ACD沿着CD展开与平面BDC在同一个平面内，连接AB交CD于点E，
则AE+BE的最小值即为AB的长，
由于AD=CD=2√3，AC=4，
CD2+AD2-AC2
cos∠ADC=
2CD·AD
(2√3) 2+(2√3) 2-42 1
= = ，
2×2√3×2√3 3
(π )
cos∠ADB=cos +∠ADC
2
2√2
=-sin∠ADC=- ，
3
所以AB2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB
( 2√2) 16√6
=22+(2√3)2-2×2×2√3× - =16+ ，
3 3
√ 16√6 √ √6
故AB= 16+ =4 1+ ，
3 3
√ √6
△ABE周长的最小值为4+4 1+ ，B错误；
3
C选项，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球，设球心为O，取AC的中点M，连接BM，PM，过点P作PF垂直于BM于点F，
则F为△ABC的中心，点O在PF上，过点O作ON⊥PM于点N，
因为AM=2，AB=4，
所以BM=√AB2-AM2=2√3，
同理PM=2√3，
1 2√3
则MF= BM= ，
3 3
4√6
故PF=√PM2-M F2= ，
3
设OF=ON=R，
4√6
故OP=PF-OF= -R，
3
因为△PNO∽△PFM，
ON OP
所以 = ，
MF MP
R 4√6
-R
即2√3= 3 ，
3 2√3
√6
解得R= ，C正确；
3
D选项，4个小球分两层(1个，3个)放进去，要使小球半径最大，则4个小球外切，且小球与三个平面相
切，
设小球半径为r，四个小球球心连线是棱长为2r的正四面体QVKG，
2√6
由C选项可知，其高为 r，
3
由C选项可知，PF是正四面体PABC的高，PF过点Q且与平面VKG交于S，与平面HIJ交于Z，
2√6
则QS= r，SF=r，
3
1
由C选项可知，正四面体内切球的半径是高的 ，如图，在正四面体PHJI中，QZ=r，QP=3r，
42√6 4√6 2√6-2
正四面体PABC的高为3r+ r+r= ，解得r= ，D正确.]
3 3 5
4.36
解析 由题意可得D(X)=22=4，则D(3X+2)=32D(X)=9×4=36.
5.解 (1)由散点图的变化趋势，知y=c+dx2适宜作为企业利润y(单位：亿元)关于年份代码x的回归方程类
型.
(2)令t=x2，则y=c+dt，
5
1
由题意得，t= Σ
x2
=11，
5 i
i=1
5
1
y= Σ y=78，
5 i
i=1
5
Σ t y -5t y
i i
^
i=1 4 607.9-5×11×78
= =
d 5 979-5×112
Σ
t2-5t2
i
i=1
317.9
= =0.85，
374
^ ^
=y- ×t=78-0.85×11=68.65，
c d
^
所以 y=68.65+0.85x2.
^
(3)令x=6， y=68.65+0.85×62=99.25，
估计2024年的企业利润为99.25亿元.
