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周五
π
1.(2024·葫芦岛模拟)已知向量a，b的夹角为 ，且|a|=2|b|=2，若(ka-b)⊥(a+b)，则k等于( )
3
2 1
A. B.
5 2
2 3
C. D.
3 4
答案 A
解析 因为(ka-b)⊥(a+b)，
所以(ka-b)·(a+b)=0，即ka2+(k-1)a·b-b2=0，
π
因为|a|=2|b|=2，向量a，b的夹角为 ，
3
1
所以|a|=2，|b|=1，a·b=2×1× =1，
2
2
所以4k+k-1-1=0，即k= .
5
2.(2024·晋城模拟)“五一”假期将至，某旅行社适时推出了“晋祠”“五台山”“云冈石窟”“乔家大
院”“王家大院”共五条旅游线路可供旅客选择，其中“乔家大院”线路只剩下一个名额，其余线路名额
充足.现有小张、小胡、小李、小郭这四人前去报名，每人只选择其中一条线路，四人选完后，恰好选择了
三条不同的线路.则不同的报名情况总共有( )
A.360种 B.316种
C.288种 D.216种
答案 C
解析 若四人中，没有人选择“乔家大院”线路，4=2+1+1，
则方法数有C2 ×A3
=144(种).
4 4
若四人中，恰有1人选择“乔家大院”线路，
则方法数有C1 (C2 ×A2
)=144(种).
4 3 4
所以他们报名的情况总共有144+144=288(种).
( π)
3.(多选)(2024·鹰潭模拟)如图所示，已知角α，β 0<α<β< 的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的
2
交点分别为A，B，M为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C，则( )A.∠AOB=β-α
β-α
B.|OM|=cos
2
(
α+β α+β)
C.点C的坐标为 cos ，sin
2 2
(
α+β β-α α+β β-α)
D.点M的坐标为 cos cos ，sin sin
2 2 2 2
答案 ABC
π
解析 对于A，因为∠AOx=α，∠BOx=β，0<α<β< ，所以∠AOB=β-α，正确；
2
β-α
对于B，依题意M为线段AB的中点，则OM⊥AB，则∠AOM= ，
2
β-α
又|OA|=1，所以|OM|=|OA|cos∠AOM=cos ，正确；
2
对于C，M为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C，则C为A´B的中点，
β-α α+β
所以∠COx=α+ = ，
2 2
(
α+β α+β)
又|OC|=1，所以点C的坐标为 cos ，sin ，正确；
2 2
β-α α+β
因为|OM|=cos ，∠MOx= ，
2 2
α+β β-α
所以x =cos cos ，
M 2 2
α+β β-α
y =sin cos ，
M 2 2
所以点M的坐标为
(
α+β β-α α+β β-α)
cos cos ，sin cos ，错误.
2 2 2 2
4.(2024·泰安模拟)已知抛物线C：y2=8x，点P在C的准线上，过C的焦点F的直线与C相交于A，B两点，
则|AB|的最小值为 ，若△ABP为等边三角形，则|AB|= .
答案 8 24
解析 由已知得F(2，0)，准线方程为x=-2，设直线AB的方程为x=my+2，A(x ，y )，B(x ，y )，弦AB的
1 1 2 2
中点M(x ，y )，如图所示，
0 0{x=my+2,
联立
y2=8x,
消去x并整理得y2-8my-16=0，
则y +y =8m，y y =-16，
1 2 1 2
所以x +x =m(y +y )+4=8m2+4，
1 2 1 2
x +x y + y
所以x = 1 2=4m2+2，y = 1 2=4m，即M(4m2+2，4m)，
0 2 0 2
所以|AB|=x +x +4=8m2+8.
1 2
故当m=0时，|AB| =8.
min
若△ABP为等边三角形，则m≠0，如图所示，
则设直线PM的方程为y-4m=-m(x-4m2-2)，即y=-mx+4m3+6m，
所以点P(-2，4m3+8m)，
√3
又|PM|= |AB|，
2
3
所以(4m2+4)2+(4m+4m3)2= (8m2+8)2，
4
解得m2=2，所以|AB|=8m2+8=24.
c2
5.(2024·浙江金丽衢十二校联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知 =
b2+c2-a2
sinC
.
sinB
(1)求角A；
3√3
(2)设边BC的中点为D，若a=√7，且△ABC的面积为 ，求AD的长.
4
解 (1)在△ABC中，由正弦定理得，sinC c c2 sinC
= ，因为 = ，
sinB b b2+c2-a2 sinB
c2 c
所以 = ，
b2+c2-a2 b
化简得b2+c2-a2=bc，
在△ABC中，由余弦定理得，
b2+c2-a2 1
cos A= = ，
2bc 2
π
又因为0
