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周三
1.(2024·海口调研)已知b>0，设甲：a-b>1，乙：√a-√b>1，则甲是乙的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
1 4
2.(2024·荆州适应性考试)已知随机变量ξ~N(1，σ2)，且P(ξ≤0)=P(ξ≥a)，则 + (00，b>0)的左、右顶点分别为A 与 B，点D(3，√2) 在C上，
a2 b2
且直线AD与BD的斜率之和为√2 .
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P(3，0)的直线与C交于M，N两点(均异于点A，B)，直线MA与直线x=1交于点Q，求证： B，
N，Q三点共线.答案精析
1.B 2.B 3.ABD 4.7
5.(1)解 由题意得A(-a，0)，
9 2
{ - =1,
a2 b2
B(a，0)，且
√2 √2
+ =√2,
3+a 3-a
{a2=3,
∴
b2=1,
x2
∴双曲线C的方程为 -y2=1.
3
(2)证明 由 (1) 得A(-√3，0)，
B(√3，0)，
设直线 MN的方程为x=ty+3(t≠±√3)，M(x ，y )，N(x ，y )，
1 1 2 2
则⃗BN=(x -√3，y )，
2 2
{
x=ty+3,
由
x2
- y2=1,
3
得(t2-3)y2+6ty+6=0，
6t 6
∴y +y =- ，y y = ，
1 2 t2-3 1 2 t2-3
直线 AM的方程为
y
1
y= (x+√3)，
x +√3
1
y
1
令 x=1，则y= (1+√3)，
x +√3
1
(
(1+√3)y
)
∴Q 1， 1 ，
x +√3
1
(
(1+√3)y
)
∴⃗BQ= 1-√3， 1 ，
x +√3
1(1+√3)y
∵(x -√3)· 1 -(1-√3)y
2 x +√3 2
1
1
= [(x -√3)(1+√3)y -
x +√3 2 1
1
(1-√3)(x +√3)y ]
1 2
1
= [(ty +3-√3)(1+√3)y -(1-√3)(ty +3+√3)y ]
x +√3 2 1 1 2
1
1
= [(ty +3-√3)(1+√3)y +(√3-1)(ty +3+√3)y ]
x +√3 2 1 1 2
1
2√3
= (ty y +y +y )
x +√3 1 2 1 2
1
2√3 ( 6t 6t )
-
= =0，
x +√3 t2-3 t2-3
1
∴⃗BN∥⃗BQ，∴B，N，Q三点共线.
