文档内容
第二十二章 二次函数 （压轴卷）
（满分120分，考试时间120分钟，共26题）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号
填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：二次函数全章内容；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）下列函数是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的识别．掌握相关定义即可．二次函数的基本表示形式为 ．
二次函数最高次必须为二次．
【详解】解：A．最高次项为一次，不符合题意；
B．当 时，不是二次函数，不符合题意；
C． 不是整式，不符合题意；
D． 满足二次函数的定义，符合题意；
故选：D．
2．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知抛物线 ，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标为 D．当 时， 随 的增大而减小【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标、
增减性，进而求解．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：A．∵抛物线 的二次项系数 ，
∴该抛物线的图象开口向下，故此选项不符合题意；
B．该抛物线图象的对称轴是直线 ，故此选项不符合题意；
C．该抛物线图象的顶点坐标为 ，故此选项符合题意；
D．∵该抛物线图象的对称轴为 ，
∴当 时， 随 的增大而增大，故此选项不符合题意．
故选：C．
3．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）若点 ， ， 在抛物线 上，则
下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的
关键．把点的坐标分别代入抛物线解析式可求得 的值，比较大小即可．
【详解】解：∵点 ， ， 在抛物线 上，
∴
∴
故选C
4．（24-25九年级上·河南周口·期末）数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具．伞撑开后如图1所
示，由此发现数学知识抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨 ， 的交点O为坐标原点
建立平面直角坐标系，C为抛物线上的点，点A，B在抛物线上， ， 关于y轴对称．已知抛物线的表达式为 ，若点A到x轴的距离是 ，则A，B两点之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的应用，轴对称的性质，先求出点 到 轴的距离为 ，再结合轴对称
的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵点A到x轴的距离是 ，
∴令 ，则 ，
解得： 或 （不符合题意，舍去），
∴点 到 轴的距离为 ，
∵点A，B在抛物线上， ， 关于y轴对称，
∴ ，
故选：D．
5．（2025·江苏无锡·二模）在平面直角坐标系中，将抛物线 向上（下）或向左（右）平移
个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则 的最小值为（ ）
A．1 B．1 C． D．4
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，先求出抛物线与 轴、 轴的交点坐标，进而可得平移方向及
平移距离，据此即可求解，求出抛物线与坐标轴的交点坐标是解题的关键．【详解】解：∵抛物线 ，
当 时， ，
∴抛物线 与 轴的交点坐标为 ；
当 时， ，
解得 ， ，
∴抛物线 与 轴的交点坐标为 和 ，
∴将抛物线 向下平移4个单位长度，或者向左平移 个单位长度，或者向右平移
个单位长度，可以使平移后的抛物线恰好经过原点，
∴ 的最小值为 ，
故选：C．
6．（2025·江苏南京·二模）函数 的图像如图所示．类似的，函数 的图像是（
）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数的图象，由一次函数的图象判断出，根据二次函数得出与y
轴的交点在y轴负半轴，然后当 时， ，求出与x轴的交点即可判断，熟练掌握二次函
数图象的性质是解题关键．
【详解】解： ，
当 时， ，
与y轴的交点在y轴负半轴，
∴
当 时， ，
令 ，则 ，
解得： 或 ，
当 时， 与x轴正半轴有两个交点，
∴
只有选项D符合题意，
故选：D
7．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）二次函数 的对称轴为直线 ，若关于 的方程
（ 为实数）在 的范围内有实数解，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，由对称轴可得 ，得到二次函数 ，顶点坐标为 ，可得当 时， ；当 时， ，进而由方程 （ 为实数）在
的范围内有实数解，可得 的取值范围为抛物线顶点到直线 之间的区域，即可求解，理解二
次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数 的对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴二次函数 ，顶点坐标为 ，
当 时， ；当 时， ，
∵关于 的方程 （ 为实数）在 的范围内有实数解，
∴ 的取值范围为抛物线顶点到直线 之间的区域，即 ，
故选： ．
8．（2025·江苏无锡·一模）随着《三体》的热播，越来越多的人喜欢上了天文，如图1是北京三里屯里的
直立的雷达，它的横剖面如图2所示， ， ，雷达的反射面 和抛物线类似，在不考
虑厚度的情况下，反射面口径 m，最大深度 m．为了更好的跟踪信号，雷达的底座 绕着
点B顺时针旋转了一定的角度，如图3所示，当 时，且 ，此时水平面宽度 为
（ ）
A． B． C．9 D．10
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、勾股定理，以G为原点，点G所在水平直线为
轴，直线 为 轴，建立平面直角坐标系，则点 的坐标为 ，则抛物线的表达式为 ，由题意得出 ，求出抛物线的解析式为 ，由题意得出旋转前 与水平方向夹角为 ，设直线
的解析式为 ，待定系数法求出直线 的解析式为 ，联立 ，求出 ，
再由勾股定理计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，以G为原点，点G所在水平直线为 轴，直线 为 轴，建立平面直角坐标系，
则点 的坐标为 ，则抛物线的表达式为 ，
∵ ， ，
∴ ，
将 代入抛物线解析式得 ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ，
∵雷达的底座 绕着点B顺时针旋转了一定的角度，当 时，
∴旋转前 与水平方向夹角为 ，
设直线 的解析式为 ，
将 代入解析式得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，联立 ，
解得： ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：A．
9．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图所示是二次函数 的部分图像，该
函数图像的对称轴是直线 ，图像与y轴交点的纵坐标是2，则下列结论：① ；②方程
一定有一个根在 和 之间；③方程 一定有两个不相等的实数根：④
．其中，正确结论的个数有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图像与性质，二次函数图像与系数的关系以及二次函数与方程的关系，
熟练掌握二次函数的图像与性质并灵活运用是解题的关键；
根据抛物线的对称轴是直线 可判断结论①；根据抛物线与坐标轴的交点情况可判断结论②；
根据二次函数与方程的关系可判断结论③；根据抛物线与 轴的交点及当 时的函数值可判断结论④．
【详解】 二次函数图像的对称轴是直线 ，图像与y轴交点的纵坐标是2，
， ，，
，故结论①正确；
抛物线的对称轴为直线 ，与 轴的一个交点在2，3之间，
该抛物线与 轴的另一个交点在 ，0之间，故结论②错误；
根据函数图像可得，二次函数的最大值一定大于2，
抛物线与直线 一定有两个交点，
方程 一定有两个不相等的实数根，故结论③正确；
抛物线与 轴的另一个交点在 ，0之间，
当 时， ，
，
．故结论④正确．
正确的有①③④，共3个．
故选：C．
10．（2025·四川泸州·二模）在抛物线 中，有 ．已知点 ，
是平面上两点，连接 ，若抛物线 的图象与线段 有交点时，则 的取值范
围是（ ）．
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的性质，涉及用参数表示函数表达式、根据函数与线段的位置关系列不等式求
解参数范围．解题关键在于根据抛物线开口方向分情况讨论，通过将线段端点横坐标代入抛物线表达式，
结合函数与线段有交点的条件列出不等式求解．本题可先根据已知条件 ，用 表示出 和 ，从
而得到抛物线的表达式．然后将线段 两端点的横坐标代入抛物线表达式，结合抛物线与线段 有交
点这一条件，分 和 两种情况讨论，列出不等式求解 的取值范围．【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴抛物线 的表达式为
∴抛物线 的对称轴为 ，
当 时： 抛物线开口向上，要使抛物线与线段 有交点，
当 时， ；当 时，
把 代入 得： ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，结合 ，此条件满足．
把 代入 得： ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴
当 时： 抛物线开口向下，要使抛物线与线段 有交点，
当 时， ；当 时，
把 代入 得 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 把 代入 得 ，∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，结合 ，此条件满足．
综上， 的取值范围是 或
故选：D
第II 卷（非选择题）
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（2025·江苏宿迁·一模）写出抛物线经过原点的一个二次函数的解析式为 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查二次函数各系数的意义，熟练掌握二次函数各项系数的意义是解题的关键，根据题意抛
物线经过原点，可得 中 ，从而得到答案．
【详解】解： 抛物线经过原点，
∵
中 ，
∴
．
∴
故答案为： ．
12．（2025·江苏徐州·模拟预测）将抛物线 先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，
所得抛物线的表达式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了函数图象的平移，根据图象的平移规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数
解析式即可．
【详解】解：将抛物线 先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的解析式为 ．
故答案为： ．
13．（2025·山东滨州·中考真题）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个
喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 处达到最高，高度为 ，水柱落地处离池中
心 ，水管高度应为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．设抛物线的解析式为 ，用待定系数法
求得抛物线的解析式，再令 ，求得 的值，即可得出答案．
【详解】解：设抛物线的解析式为 ，
由题意可知抛物线的顶点坐标为 ，与 轴的一个交点为 ，
，
解得： ，
抛物线的解析式为： ，
当 时， ，水管的高度为 ，
故答案为： ．
14．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，二次函数 与一次函数 的图象交于点 和
原点O，则关于x的不等式 的解集是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了根据二次函数与一次函数的交点确定不等式的解集，由图象并结合交点坐标即可得解，
采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵二次函数 与一次函数 的图象交于点 和原点O，
∴由图象可得：关于x的不等式 的解集是 ，
故答案为： ．
15．（25-26九年级上·江苏·期中）已知二次函数 的顶点坐标 ，则关于 的
一元二次方程 的两个根分别是 和 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由题意得，二次
函数的对称轴是直线 ，根据对称性可得 ，再结合 求出 的值即可．
【详解】解：已知二次函数 的顶点坐标 ，
∴对称轴是直线 ，由题意得，点 与点 关于直线 对称，
∴ ，即 ，
解得 ．
故答案为： ．
16．（2025九年级下·江苏徐州·专题练习）将抛物线 在 轴上方的部分记为 ，在 轴上及
其下方的部分记为 ，将 沿 轴向下翻折得到 ， 和 两部分组成的图象记为 ．若直线
与 恰有 个交点，则 的取值范围为 ．
【答案】 或
【分析】根据抛物线 的顶点 的 坐标，画出函数图象，并将 轴上方的部分进行翻折，
得到图象 ，结合图象即可得出 的取值范围．
【详解】解：把二次函数 整理成顶点坐标式，
可得： ，
抛物线 的顶点坐标是 ，
翻折后可得图象，如下图所示，
由图象可知，当 时，图象 与 有两个交点，
当 时，图象 与 有两个交点．
综上所述， 的取值范围为 或 ．
故答案为： 或 ．17．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）在“探索二次函数 的系数 与图象的
关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点： ．同学们分别画出了经过
这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式 ，则 的最小值等于
．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式以及求函数值等知识，熟练掌
握以上知识点是解答本题的关键．
首先确定二次函数可能经过 、 、 或者 、 、 或者 、 、 ，画出图象后，只有经过 、 、
三点的二次函数，当 时， 的值最小，然后用待定系数法求出二次函数解析式，求出当
时的函数值即可．
【详解】解： 、 、 的纵坐标相同，
二次函数不会同时经过 、 、 三点，
分三种情况讨论： 经过 、 、 ； 经过 、 、 ； 经过 、 、 ；
经过 、 、 三点的二次函数，当 时， 的值最小，把 代入 ，得：
，
解得： ，
二次函数的解析式为 ，
当 时， ，
故 的最小值等于 ，
故答案为： ．
18．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，直线 与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线
经过B、C两点．点F是抛物线上的一动点，设 ，对应的点F有且只有两个，则
m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求解抛物线的解析式、二次函数的基本性质以及二次函数图象与其他函数
图象相结合问题，先根据待定系数法求出抛物线的解析式，对 的位置进行分类讨论，当 点在直线
的下方的抛物线上时，一定有两个对应的 点满足 ，所以当 点在直线 的上方的抛物线上时，
此时无 点满足 才符合题意，故只需讨论当点 在直线 的上方的情况即可求解，熟练利用做辅助线，利用数形结合的方程是解题的关键．
【详解】解：由 知点 ，点 ，
将 ， 代入 ，
可得 ，
解得 ，
，
由题意得，当 点在直线 的下方的抛物线上时，一定有两个对应的 点满足 ，所以当 点在
直线 的上方的抛物线上时，此时无 点满足 才符合题意，故只需讨论当点 在直线 的上
方的情况，
如图，过点 作 轴的垂线交 于点 ，如图所示，
设点 ，
则点 ，
当 时， 的最大值为 ，当 取大于 时，在 上方无法找到 点，
综上所述：当 时，对应的点 有且只有两个．
故答案为：
三、解答题（8小题，共66分）
19．（25-26九年级上·浙江·模拟检测）已知二次函数 ．
(1)当 时，求函数的值；
(2)当函数值为2时，求自变量x的值．
【答案】(1)2
(2) 或
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数上点的坐标特征，解题的关键是代入后正确的计算，
（1）将给定的自变量值代入函数表达式，通过计算即可得到对应的函数值；
（2）把给定的函数值代入函数表达式，得到一个关于自变量的一元二次方程，然后通过因式分解等方法
求解方程的根，即自变量的值即可．
【详解】（1）解：当 时， ，
∴当 时，函数的值为2；
（2）解：当 时，即 ，
解得 ，或 ，
∴当函数值为2时，自变量x的值为 或 ．
20．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）已知二次函数 ．
(1)直接写出二次函数图象的顶点坐标、对称轴及开口方向；
(2)请在所给的坐标系中画出此二次函数的图象．【答案】(1)顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，开口向上
(2)见解析
【分析】本题考查二次函数图象，掌握相关知识是解决问题的关键。
（1）把函数表示为顶点式即可解答；
（2）利用列表，描点，连线画出函数图象即可。
【详解】（1）解： ，
顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，开口向上；
（2）解：列表如下：
0 2 4 6
0 0
图象如下：
21．（25-26九年级上·江西宜春·期末）如图， 抛物线 与x轴负半轴交于点B，正半轴交于
点A，与y轴正半轴交于点C， 求 的面积．
【答案】【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求抛物线与x轴的交点坐标，面积问题(二次函数综
合)，用待定系数法求出抛物线的表达式是本题解题的关键．
用待定系数法求出抛物线的表达式，再求出抛物线与x轴的交点坐标，然后求 的面积．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∵抛物线 与x轴负半轴交于点B，正半轴交于点A，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ，
当 时， ，
∴点C的坐标为 ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ．
22．（2025九年级上·黑龙江哈尔滨·竞赛）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调
查反映，如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件，已知商品的进价为每件40元，设商品的定价
为每件x元，每星期的售出数量为y件．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)如何定价才能使利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)每件定价为65元时利润最大，最大利润是6250元
【分析】本题主要考查二次函数的最值，掌握二次函数的图象性质是解题关键．（1）定价为每件 元，比原价60元上涨了 元，每涨价1元少卖出10件，所以少卖出的件数为
件，原销量为300件，因此售出数量 等于原销量减去少卖出的件数；
（2）利润等于每件的利润乘以售出数量．每件的利润为定价 元减去进价40元，即 元；售出数量
为 件．因此利润 可表示为 ，展开后得到二次函数，根据二次函数的性
质，当 时，函数取得最大值；
【详解】（1） ，
即 ；
（2）设利润为 元，
则 ，
对于二次函数 ，其中 ，
对称轴为 ，
将 代入 ，
得 ．
∴每件定价为65元时利润最大，最大利润是6250元．
23．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）已知抛物线 （a，b为常数，且 ）．
(1)当 ， 时，直接写出顶点坐标_______；当 ， 时，直接写出顶点坐标_______．
(2)抛物线的顶点坐标随a、b的取值而改变，若 ，当抛物线的顶点在最低位置时：
①求a与b满足的关系式；
②抛物线上有两点 ， ，当 时，求m的取值范围．
【答案】(1) ；
(2)① ；②【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，二次函数的图象与
性质等，利用配方法将二次函数解析式化为顶点式是解题的关键．
（1）代入a与b的值，利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可求顶点坐标；
（2）①利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，进而可得顶点纵坐标为 ，再结合题中条件推
出a与b满足的关系式；
②结合函数图象即可求m的取值范围．
【详解】（1）当 ， 时，抛物线解析式为 ，顶点坐标为 ；
当 ， 时，抛物线解析式为 ，顶点坐标为 ．
（2）① ，顶点纵坐标为 ，
若 ，则 ，
当抛物线的顶点在最低位置时， 取最小值，
， ，
a与b满足的关系式为 ；
②由（1）知， ，抛物线的解析式为 ，对称轴为 ，作图如下：由对称性可知， 和 对应的函数值相同，都等于 ．
当 时，必有 ．
24．（2025·广东阳江·一模）如图，对称轴为 的抛物线 与 轴相交于 、 两
点，其中点 的坐标为 ．
(1)求点 的坐标．
(2)已知 ， 为抛物线与 轴的交点．
①若点 在抛物线上，且 ，求点 的坐标．
②设点 是线段 上的一动点，作 轴交抛物线于点 ，试问 是否存在最大值，若不存在，
说明理由；若存在，求出此时 点的坐标和 面积的最大值．
【答案】(1)点 的坐标为
(2)①点 的坐标为 或 ；②存在， 点的坐标为 ； 的面积的最大值是
【分析】本题主要考查了求出二次函数关系式，求一次函数关系式，二次函数图象的性质，二次函数与几
何图形，
对于（1），根据抛物线的对称性解答即可；
对于（2）①，当 时，结合抛物线 的对称轴为直线 ，可得 ，进而求出
，可得二次函数关系式，再求出抛物线与 轴的交点 的坐标，然后设 点坐标，根据
，可得 ，求出x，即可得出答案；
先求出直线 的解析式，再设 点坐标为 ，则 点坐标为 ，即可得出 ，可得 点的坐标，结合 可得答案.
【详解】（1）解：∵对称轴为直线 的抛物线 与 轴相交于A、 两点，
、 两点关于直线 对称.
点A的坐标为 ，
点 的坐标为 ；
（2）解： 时， 抛物线 的对称轴为直线 ，
∴ ，
解得 ，
将 代入 ，
得 ，
解得： ，
则二次函数的解析式为 ，
抛物线与 轴的交点 的坐标为 ，
，
设 点坐标为 .
∵ ，
，
，
．
当 时， ；
当 时， ，
点 的坐标为 或 ；设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入解析式，
得 ,
解得： ，
即直线 的解析式为 ．
设 点坐标为 ，则 点坐标为 ，
，
当 时， 有最大值 ，
当 时，三角形的面积有最大值，此时 点的坐标为 ；
，
点的坐标 ； 的面积的最大值是 ．
25．（2025·青海西宁·一模）已知，如图，抛物线 与y轴交于点C，与x轴交于A，
B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为 ， ．(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使得 的周长最小，如果存在，求出点E；
(3)若点D是x轴下方抛物线上的动点，设点D的横坐标为m， 的面积为S，求出S与m的函数关系
式，并直接写出自变量m的取值范围；请问当m为何值时，S有最大值？最大值是多少．
【答案】(1)
(2)在抛物线的对称轴上存在一点E，使得 的周长最小，点E的坐标是
(3)当 时，S有最大值，
【分析】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式，二次函数求最值等知识，根
据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
（1）由点B的坐标及 ，求出C点的坐标，把点B、C的坐标分别代入 ，即可得
到抛物线的解析式；
（2）根据两点之间线段最短可得E点是 与对称轴的交点．利用待定系数法求出直线 的解析式，将
抛物线的对称轴方程 代入求出y的值，即可得到点E的坐标．
（3）点D在抛物线 上，其横坐标为m，则纵坐标为 ．由 求出
关于S的函数关系式，由m的取值范围可求出当 时，S有最大值为8．
【详解】（1）解：∵点B的坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴C点的坐标为 ．将点B、C的坐标分别代入 ，得
，
解得 ．
∴抛物线的解析式为 ．
（2）解：如图所示：连接 与抛物线的对称轴交于点E，此时 的周长最小．
∵ ，点B的坐标为 ，
∴ ．
设直线 的解析式为 ，
∵ ， ，
∴ ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ．
∵ 的对称轴是直线 ，
∴当 时， ，∴点E的坐标是 ；
（3）解：∵点D在抛物线 上，其横坐标为m，则纵坐标为 ．
∵ ， ，
∴ ，
即 ．m的取值范围是 ．
将 化成顶点式为 ．
∴当 时，S有最大值， ．
26．（2025·湖南郴州·模拟预测）如图，抛物线 与x轴交于A， 两点，与y轴交于
点 ，直线 过B，C两点．
(1)求抛物线的表达式，并求出直线 的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直
接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
(3)若点P是抛物线上一动点，过点P作直线 轴交 于点D，过点P作 于点E，当
时，求点P的横坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为 ，直线 的解析式为
(2)存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是直角三角形， Q点坐标为 或(3)P点横坐标为 或
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设 ，分别求出 ，分三种情况讨论：当 为斜边时，
此时t无解；当 为斜边时， ；当 为斜边时， ；
（3）设 与y轴的交点为G，由题可知D点是 的中点，则 ，设 ，则
， ，设 ， ，得到
，求出m的值即可求解．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行
线的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：将点 ，点 ，分别代入 ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ；
（2）解：存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
∵ ，∴抛物线的对称轴为直线 ，
设 ，
当 时， ，
解得 或 ，
∴ ，
∴ ，
当 为斜边时， ，
此时t无解；
当 为斜边时， ，
解得 ，
∴ ；
当 为斜边时， ，
解得 ，
∴ ；
综上所述：Q点坐标为 或 ；
（3）解：设 与y轴的交点为G，
∵ ，
∴点D是 的中点，
∵ 轴，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，
则 ，
解得 ，
则
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 （舍）或 ，∴P点横坐标为 ；
当点D在点P的右侧时，
设 与y轴的交点为G，
∵ 轴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，
则 ，
解得 ，则
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 （舍）或 ，
∴P点横坐标为 ；
综上所述，点P的横坐标为 或 ．
