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周三
1.(2024·海口调研)已知b>0，设甲：a-b>1，乙：√a-√b>1，则甲是乙的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 不妨设a=3，b=1，满足a-b>1，此时√a-√b=√3-1<1，充分性不成立，
√a-√b>1 √a>√b+1，两边平方得a>1+b+2√b，
又b>0，故⇒a-b>1+2√b>1，必要性成立，
故甲是乙的必要不充分条件.
1 4
2.(2024·荆州适应性考试)已知随机变量ξ~N(1，σ2)，且P(ξ≤0)=P(ξ≥a)，则 + (0<x<a)的最小值为(
x a-x
)
9
A.9 B.
2
C.4 D.6
答案 B
a
解析 因为随机变量ξ~N(1，σ2)，且P(ξ≤0)=P(ξ≥a)，则 =1，可得a=2，
2
1 4 1 4
+ = +
x a-x x 2-x
1(1 4 )
= + [x+(2-x)]
2 x 2-x
1( 2-x 4x )
= 1+4+ +
2 x 2-x
1( √2-x 4x )
≥ 5+2 ·
2 x 2-x
9
= ，
2
2 1 4 9
当且仅当x= 时，等号成立，所以 + (0<x<a)的最小值为 .
3 x a-x 2
3.(多选)(2024·鹰潭模拟)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，记g(x)=f'(x).若函数y=f(x+1)-x与
y=g(x+2)均为偶函数，则下列结论中正确的是( )
A.g'(2)=0f(x+1)
B.函数y= 的图象关于点(0，1)对称
x
C.g(x+2)=g(x)
2025
D. Σ g(k)=2 025
k=1
答案 ABD
解析 对于选项A，因为y=g(x+2)为偶函数，可得g(-x+2)=g(x+2)，
即g(-x)=g(x+4)，所以g'(-x)+g'(x+4)=0，即g'(2)=0，故选项A正确；
f(x+1)-x f(x+1)
对于选项B，因为y=f(x+1)-x为偶函数，所以y= = -1为奇函数，
x x
f(x+1)
则y= 的图象关于点(0，1)对称，故选项B正确；
x
对于选项C，y=f(x+1)-x为偶函数，其导函数y'=f'(x+1)-1=g(x+1)-1为奇函数，
可得g(-x+1)-1=-[g(x+1)-1]，即g(-x+1)=-g(x+1)+2，
得g(-x)=-g(x+2)+2，
所以g(-x)=g(x+4)=-g(x+2)+2，即g(x+2)=-g(x)+2，
则g(x+4)=-g(x+2)+2=-[-g(x)+2]+2=g(x)，
可知g(x)的周期为4，故选项C错误；
对于选项D，因为y=g(x+1)-1为定义域为R的奇函数，
将x=0代入，得g(0+1)-1=g(1)-1=0，得g(1)=1，
选项C中有等式g(x+2)=-g(x)+2，即g(x)+g(x+2)=2，
又g(x)的周期为4，
2025
所以 Σ g(k)=g(1)+506×4=2 025，
k=1
故选项D正确.
4.(2024·南京模拟)在平面四边形ABCD中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，AB=2，AD=√2，则四边形ABCD的
面积为 .
答案 7
解析 连接AC，依题意，设BC=x，CD=y(x，y>0)，则AC2=x2+4=y2+2，又tan∠DAB=tan 135°=tan(∠DAC+∠BAC)
tan∠DAC+tan∠BAC
= =-1，
1-tan∠DACtan∠BAC
x y
+
2 √2
即 =-1，
x y
1- ·
2 √2
即xy-2√2=√2x+2y，
即(x-2)(y-√2)=4√2，显然x≠2，
4√2 4√2
则y-√2= ，即y= +√2，
x-2 x-2
2
(4√2 )
又x2+2=y2，所以x2+2= +√2 ，
x-2
整理得x3-4x2+4x-16=0，
即(x-4)(x2+4)=0，解得x=4，所以y=3√2，
1
所以S = (AB·BC+AD·DC)
四边形ABCD 2
1
= ×(2×4+√2×3√2)=7.
2
x2 y2
5.(2024·太原模拟)已知双曲线C： - =1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A 与 B，点D(3，√2) 在C上，
a2 b2
且直线AD与BD的斜率之和为√2 .
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P(3，0)的直线与C交于M，N两点(均异于点A，B)，直线MA与直线x=1交于点Q，求证： B，
N，Q三点共线.
9 2
{ - =1,
a2 b2
(1)解 由题意得A(-a，0)，B(a，0)，且
√2 √2
+ =√2,
3+a 3-a
{a2=3, x2
∴ ∴双曲线C的方程为 -y2=1.
b2=1, 3
(2)证明 由 (1) 得A(-√3，0)，B(√3，0)，
设直线 MN的方程为x=ty+3(t≠±√3)，M(x ，y )，N(x ，y )，
1 1 2 2
则⃗BN=(x -√3，y )，
2 2{
x=ty+3,
由 x2 得(t2-3)y2+6ty+6=0，
- y2=1,
3
6t 6
∴y +y =- ，y y = ，
1 2 t2-3 1 2 t2-3
y
1
直线 AM的方程为y= (x+√3)，
x +√3
1
y
1
令 x=1，则y= (1+√3)，
x +√3
1
(
(1+√3)y
)
∴Q 1， 1 ，
x +√3
1
(
(1+√3)y
)
∴⃗BQ= 1-√3， 1 ，
x +√3
1
(1+√3)y
∵(x -√3)· 1 -(1-√3)y
2 x +√3 2
1
1
= [(x -√3)(1+√3)y -(1-√3)(x +√3)y ]
x +√3 2 1 1 2
1
1
= [(ty +3-√3)(1+√3)y -(1-√3)(ty +3+√3)y ]
x +√3 2 1 1 2
1
1 2√3
= [(ty +3-√3)(1+√3)y +(√3-1)(ty +3+√3)y ]= (ty y +y +y )
x +√3 2 1 1 2 x +√3 1 2 1 2
1 1
2√3 ( 6t 6t )
-
= =0，
x +√3 t2-3 t2-3
1
∴⃗BN∥⃗BQ，∴B，N，Q三点共线.
