文档内容
第二十二章 二次函数（提高卷）
（满分120分，考试时间120分钟，共26题）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号
填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：二次函数全章内容；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）下列函数属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的定义．一般地，形如 （a，b，c为常数，且 ）的函数是二
次函数．据此对各选项的函数化简后进行判断即可．
【详解】解：A、函数 不符合二次函数的形式，故不是二次函数；
B、函数 化简为 ，不符合二次函数的一般形式，故不是二次函数；
C、函数 化简为 ，是二次函数；
D、函数 不符合二次函数的形式，故不是二次函数．
故选：C
2．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）抛物线 的对称轴是直线（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的对称轴，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据 ，其对称轴为 解题即可．
【详解】解：
那么其对称轴为 ，
故选：A．
3．（25-26九年级上·四川广安·期中）将抛物线 向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的
抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移，利用左加右减，上加下减的口诀即可解答，解决本题的关
键是熟知抛物线平移的口诀．
【详解】解：抛物线 向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式是
，
故选：B．
4．（2025九年级上·北京·专题练习）已知二次函数 （ ， ， ， 为常数）的 与 的
部分对应值如表：
判断方程 的一个解 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的知识点是图象法求一元二次方程的近似根，解题关键是正确理解二次函数图象和一元二次方程关系．
仔细看表，可发现 的值 和 最接近 ，再看对应的 的值即可得解．
【详解】解：由表可以看出，当 取 与 之间的某个数时， ，
即这个数是 的一个根，
的一个解 的取值范围为 ．
故选： ．
5．（2024九年级下·山西·专题练习）山西省太原市金源区稻花城蔬菜大棚自实施以来，既提高了蔬菜的产
能，又增加了村民的经济收入．如图，这是某蔬菜大棚的截面图（近似看成二次函数的图象——抛物线），
其中大棚的一边靠墙，此时大棚跨径 ，顶端 到墙体 的距离为 ，顶端 到 的距离为
，则大棚与墙的交点 到原点 的距离 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数的解析式是解题关键．设抛物线的解析式为
，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出 时， 的值，由此即可得．
【详解】解：由题意，设抛物线的解析式为 ，点 的坐标为 ，
将 代入得： ，
解得 ，
则抛物线的解析式为 ，
将 代入得： ，即 ，
则 ，故选：D．
6．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知抛物线 与直线 交于 ，
两点，则关于x的不等式 的解集是（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查利用函数图象解一元二次不等式及根据对称性求交点，根据抛物线 与直线
交于 ， 两点，可得直线 与抛物线 交于点 ，
两点，根据图象即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线 与直线 交于 ， 两点，
∴直线 与抛物线 交于点 ， 两点，
图象如图所示，当 时， ，
∴ 的解集是 ，
故选：D．
7．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期中）如图为二次函数 的图象，则下列说法：①
，② ，③ ，④若 ， 是抛物线上的两点，则 ，其中说法正
确的有（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数图象上点的坐标特征，二
次函数 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交
点的个数确定．根据抛物线的开口方向，抛物线与y轴的交点，对称轴的位置，可判断①，根据对称轴可
判断②，根据特殊点可判断③，利用抛物线的增减性判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴ ，
∵抛物线与x轴交点横坐标分别是 和3，∴抛物线对称轴为： ，
∴ ，故②正确；
∵ ， ，
∴ ，
∵抛物线交于y轴的正半轴，
∴ ，
∴ ，故①错误；
由图可知，当 时， ，
∴ ，故③正确；
∵ ，且 ， 这两个点都在对称轴左侧，
∴根据抛物线开口向下，在对称轴的左侧，函数值随x的增大而增大可得， ，④正确．
所以②③④都正确．
故选：D．
8．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）已知点A，B的坐标分别为 和 ，抛物线
的顶点在线段 上运动，与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若点C的横
坐标最小值为 ，则点D的横坐标最大值为（ ）
A． B． C．2 D．5
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数的平移及性质，当点C的横坐标取到最小值 时，抛物线的顶点平移到点
上，此时对称轴为直线 ，由对称性可知此时点D的坐标为 ，当点D横坐标最大时，
抛物线的顶点平移到点 上，顶点从点A平移至点B，向右平移3个单位长度，所以点D也向右平移
3个单位长度，即可求出点D的横坐标最大值．
【详解】解：如图，当点C的横坐标取到最小值 时，抛物线的顶点平移到点 上，
此时对称轴为直线 ，
由对称性可知此时点D的坐标为 ，
当点D横坐标最大时，抛物线的顶点平移到点 上，顶点从点A平移至点B，向右平移3个单位长度，
所以点D也向右平移3个单位长度，
此时点D坐标为 ，横坐标最大，
故选：D.
9．（25-26九年级下·湖南株洲·自主招生）已知关于x的方程 有两个实
数根 、 ，且 ， ，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数与x轴的交点坐标，设
，根据二次函数的图像与x轴的交点分别在直线 的两侧时，关于x
的方程 有两个实数根 、 ，且 ， ，分两种情况：当
，即 时，当 ，即 时，分别画出图形，进行求解即可．
【详解】解：设 ，∴抛物线的对称轴为： ，
由题意得，二次函数的图像与x轴的交点分别在直线 的两侧时，关于x的方程
有两个实数根 、 ，且 ， ，
当 时，则 ，
当 ，即 时，二次函数 的图像，如图所示：
∴ ，
解得： ，
∴当 时，关于x的方程 有两个实数根 、 ，且 ，
；
当 ，即 时，二次函数 的图像，如图所示：
∴ ，
解得： ，
∴此时没有符合题意的m值存在；综上分析可知：当 时，关于x的方程 有两个实数根 、 ，
且 ， ．
故选：C．
10．（2024·湖南·模拟预测）定义：将抛物线 （ ， ）沿x轴向下翻折得到
的图象称为“逆翻折曲线”，如图是一条“逆翻折曲线”，则下列结论：① ；②
；③当 或 时y随x的增大而增大；④关于x的方程 有三个实数
根．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据题意判断出 ， ，由对称轴为直线 得到 ，即可判断①；然后根
据图象经过点 得到 ，进而可判断②；然后求出函数与x轴的另一个交点为 ，结合图
象即可判断③；首先求出抛物线 沿x轴向下翻折后顶点坐标对应的点的坐标为 ，
然后结合图象求解即可．
【详解】解：①根据题意得， ，
抛物线 与y轴交于正半轴，
∴ ，∵对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，故①错误；
根据题意得，抛物线 经过点
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故②正确；
∵对称轴为直线 ，与x轴的一个交点为
∴函数与x轴的另一个交点为 ，
∴由图象可得，当 或 时y随x的增大而增大，故③正确；
根据题意得，抛物线
∴抛物线 的顶点坐标为
∴抛物线 沿x轴向下翻折后顶点坐标对应的点的坐标为 ，
∴由图象可得， 与直线 有三个交点，
∴关于x的方程 有三个实数根，
∴关于x的方程 有三个实数根，故④正确．
综上所述，其中正确结论的个数为3．
故选：C．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象的对称变换，二次函数和x轴的交点问题，二次函数和一元二次方程的关系，解题的关键是掌握以上知识点．
第II 卷（非选择题）
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（25-26九年级上·青海西宁·期中）已知 是二次函数，则实数 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．
根据二次函数的定义可得 且 ，即可求解．
【详解】解：∵ 是二次函数，
∴ 且 ，
解得 ，
故答案为： ．
12．（25-26九年级上·北京东城·阶段练习）若点 是二次函数 图象上的两
点，那么 与 的大小关系是 ．(填 、 或 )
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，将图象上的点的坐标代入函数关系计算是解决本题的关键．
分别将 、 代入 计算即可判断大小关系．
【详解】解：将 代入 ，得：
，
将 代入 ，得：
，
∵ ，∴ ，
故答案为： ．
13．（25-26九年级上·全国·期中）如图，小明参加了运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度y（米）
与水平距离x（米）间的函数关系式为 ，则小明将铅球推出的距离为 米．
【答案】9
【分析】本题考查了二次函数的应用，求出抛物线与x轴的交点的横坐标即可求解，理解题意是解题的关
键．
【详解】解：当 时，
，
∴ ， （不合题意，舍去），
∴小明将铅球推出的距离为9米．
故答案为：9．
14．（25-26九年级上·全国·期末）已知抛物线 与直线 有两个交点 ， ，
抛物线 与直线 的一个交点是 ，则 的值是 ．
【答案】2或6
【分析】本题主要考查了抛物线的平移，解题关键是正确掌握平移的规律．
根据抛物线 向左平移m个单位得到抛物线 ，而 ， 向左
平移2或6个单位得到点 ，即可求解．【详解】解：由抛物线 向左平移m个单位得到抛物线 ，而 ，
向左平移2或6个单位得到点 ，
得 或6．
故答案为：2或6.
15．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）函数 为常数，且 在自变量 的值满足 时，
其对应的函数值 的最大值为 ，则 的值为 ．
【答案】 /0.25
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函
数的性质解答．
先转化二次函数解析式为 ，利用二次函数的增减性即可求得a的值．
【详解】解：∵二次函数 ，且 ，
∴该函数的对称轴是直线 ，
该函数图象大致如下：
∴该二次函数在 时，y随x的增大而减小，
又∵二次函数在自变量 的值满足 时，其对应的函数值 的最大值为 ，
∴可知当 时，函数值 的最大值为 ，
∴ ，解得 ，
则 的值为 ．故答案为： ．
16．（24-25九年级上·广东广州·期末）直线 与抛物线 在 范围内有
唯一公共点，则 的取值范围为 ．
【答案】 或
【分析】主要考查了二次函数综合应用，通过对直线、抛物线解析式的求解，及直线与抛物线的位置关系，
可以提高学生解决压轴题的水平．联立方程组 得到 ，看成是两个函数联立而
成的，画出函数图象，运用数形结合法求解即可．
【详解】联立 ，
得： ，
即， ，
可以看成是两个函数 联立而成的，
，
当 时，此函数必过定点 ，
即过 ， 的直线 与过 ， 的直线 间的范围就是满足条件的直线运动的位置，如图，将 代入 得 ，
解得， ，
将 代入 得， ，
解得， ，
当 时，直线与抛物线在 内有两个交点，
，
，
当 时，直线为 ，抛物线为 ，此时，在 范围内有唯一公共点，
故答案为： 或 ．
17．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为 ，
，二次函数 （a，b是常数）的图像的顶点在线段 上，则 的最小值为 ．【答案】
【分析】本题考查了求一次函数解析式，二次函数的性质，求二次函数的最值，先求出直线 的解析式
为： ，求出顶点坐标为 ，根据二次函数 （a，b是常数）的图象的顶点
在线段 上，得出 ，根据二次函数的最值求出结果即可．
【详解】解：设直线 的解析式为： ，把 ， 代入得：
，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
∵二次函数 ，
∴顶点坐标为 ，
∵二次函数 （a，b是常数）的图象的顶点在线段 上，
∴ ，
即 ，
∴当 时，b取最小值 ．故答案为： ．
18．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）在“探索二次函数 的系数 与图象的
关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点： ．同学们分别画出了经过
这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式 ，则 的最小值等于
．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式以及求函数值等知识，熟练掌
握以上知识点是解答本题的关键．
首先确定二次函数可能经过 、 、 或者 、 、 或者 、 、 ，画出图象后，只有经过 、 、
三点的二次函数，当 时， 的值最小，然后用待定系数法求出二次函数解析式，求出当
时的函数值即可．
【详解】解： 、 、 的纵坐标相同，
二次函数不会同时经过 、 、 三点，
分三种情况讨论： 经过 、 、 ； 经过 、 、 ； 经过 、 、 ；
经过 、 、 三点的二次函数，当 时， 的值最小，把 代入 ，得：
，
解得： ，
二次函数的解析式为 ，
当 时， ，
故 的最小值等于 ，
故答案为： ．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（2025九年级上·浙江·专题练习）某抛物线过点 并且与直线 的交点的纵坐标为
5，求此抛物线的解析式．
【答案】
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法．关键是根据条件确定抛物线解析式的形式，
再求其中的待定系数．一般式： ；顶点式 ，其中顶点坐标为 ；
交点式 ．设抛物线的解析式为 ，求出抛物线与直线的交点为 ，将 代入抛物线解析式可得
a的值．
【详解】解：∵抛物线过点 ，
∴设抛物线的解析式为 ，
∵抛物线与直线 的交点的纵坐标为5，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线与直线 的交点坐标为 ，
将 代入抛物线解析式可得 ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为 ，即 ．
20．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数 的图象经过点 ， ．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求这个图象的顶点坐标和对称轴．
【答案】(1)
(2)顶点坐标 ，对称轴
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式，二次函数的顶点坐标与对称轴，
熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）利用待定系数法解题即可；
（2）将其表达式变成顶点式，然后根据 ，其对称轴为 ，顶点坐标为 解题
即可．
【详解】（1）解： 已知二次函数 的图象经过点 ， ，
，，
；
（2）解： ，
顶点坐标 ，对称轴 ．
21．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）A公司电商平台，在2024年国庆期间举行了商品打折促销活动，
经市场调查发现，周销售量 （件）与售价 （元/件）之间的函数图象如图所示．
(1)求 关于 的函数解析式；
(2)若该商品进价为30元/件，当售价 为多少元时，周销售利润 最大？并求出此时的最大利润．
【答案】(1) 与 的函数表达式为
(2)当 时，周销售利润 最大，最大利润为 元；
【分析】本题考查二次函数的应用，一次函数的应用，解本题的关键是理解题意，掌握二次函数的性质和
销售问题中利润公式．
（1）设 ，把 和 代入可得解析式．
（2）根据利润 （售价 进价） 数量，得 ，再化成顶点式，顶点的纵坐标是最大
值．
【详解】（1）解：设 与 的函数表达式为 ，将点 和 代入得：
，解得： ，
与 的函数表达式为 ；
（2）由题意得： ，
，
当 时，周销售利润 最大，最大利润为 元．
22．（2025·陕西西安·模拟预测）春节将至，为营造节日氛围，幸福小区物业准备在小区主通道上悬挂灯
带，通道两侧有立柱，物业在通道的上方拉了笔直的水平钢丝，钢丝两边固定在立柱上，悬挂的灯带为抛
物线形，灯带的最低点距离钢丝 米．以钢丝为x轴，左侧立柱为y轴，钢丝与立柱的固定点为原点建立
直角坐标系（如图所示）．
(1)小青设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝与立柱的固定点O，另一端固定在钢丝上的点A处，
米，求出此时抛物线的表达式．
(2)小玲设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝上的点B处， 米，另一端固定在立柱上的C处，为了
美观，灯带的最低点和小青设计的相同（顶点相同），求出O与C的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】该题考查了二次函数的应用，求出函数解析式是解题的关键．
（1）根据题意设此时抛物线的表达式为 ，代入 求解即可．
（2）根据题意设此时抛物线的表达式为 ，代入 求出解析式，再令 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵ 米，灯带的最低点距离钢丝 米，
∴ ，设此时抛物线的表达式为 ，
将 代入得 ，解得： ，
∴此时抛物线的表达式为 ．
（2）解：∵ 米，灯带的最低点和小青设计的相同（顶点相同），
∴ ，
设此时抛物线的表达式为 ，
将 代入得 ，解得： ，
∴此时抛物线的表达式为 ．
令 ，则 ，
∴O与C的距离是 ．
23．（2025·山西·模拟预测）请仔细阅读并完成相应的任务.
用图象法解一元二次不等式：
方法如下：
步骤一：设
步骤二：先将二次函数： 化为顶点式，确定抛物线的顶点位置；
步骤三：列表
x … 0 1 2 3 …
y … ___ 3 ____ 3 0 …
步骤四：描点，连线（因为 ，所以抛物线开口向下）.
步骤五：观察函数图象可知，当 或 时， .所以任务：
(1)“步骤二”中二次函数一般式化为顶点式是______；
(2)将材料中的表格补充完整，并画出图像；
(3)请直接写出一元二次不等式 的解集是______．
(4)参照上面材料的分析过程，请你写出一条与函数观点有关的体会或感悟．
【答案】(1)
(2)表格和图像见解析
(3)
(4)可以利用函数的图像，数形结合求解不等式或方程（答案不唯一）
【分析】本题考查二次函数图像性质，可利用二次函数图像性质求解一元二次不等式：
（1）配方即可得到答案；
（2）在二次函数解析式中，令 和 求出对应y的值，补全表格，在坐标系中描出点，用光滑曲线
连接这些点即可；
（3）根据图像，不等式的解对应二次函数图像在x轴上方时x的范围；
（4）可以数形结合求解不等式或方程（答案不唯一）．
【详解】（1）解： ，
故答案为： ；
（2）解：对于 ，
当 时， ；
当 时， ；
∴表格补全为：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
图象如下：；
（3）解： ，
则函数图像取在x轴上方的部分，对应x的范围是 ，
故答案为： ；
（4）解：可以利用函数的图像，数形结合求解不等式或方程（答案不唯一）．
24．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图①，桥拱截面 可视为抛物线的一部分，在某一时刻，
桥拱内的水面宽 ，桥拱顶点B到水面的距离是 ．
(1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
(2)一只宽为 的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点 时，桥下水位刚好在 处，
有一名身高 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设
船底与水面齐平）．
【答案】(1)
(2)不会，理由见解析
【分析】本题考查二次函数的应用，根据实际问题抽象出数学模型是解题的关键．
（1）根据顶点坐标设出顶点式，再将 代入求解；
（2）先计算出工人距O点的距离，进而求出对应的函数值，与工人的身高比较大小即可．
【详解】（1）解： ，桥拱顶点B到水面的距离是 ，
顶点B的坐标为 ，设 ，
将 代入，得： ，
解得 ，
，
桥拱部分抛物线的函数表达式 ；
（2）解：工人的头顶不会触碰到桥拱，理由如下：
打捞船宽为 ，距O点 ，工人站立在打捞船正中间，
工人距O点的距离为： ，
将 代入 ，得： ，
，
工人的头顶不会触碰到桥拱．
25．（2025·江苏淮安·二模）已知二次函数 经过点 （m是常数，且 ）．
(1)用m的代数式表示字母b，则 ______；
(2)当m=3时，求函数的顶点坐标；
(3)当 时，函数y的值总小于等于9，求m的取值范围；
(4)如图，在矩形 中， ， ，点C、D在y轴上，抛物线 的
一部分图象经过矩形 的内部，若点 ， 是矩形内部的抛物线上的两个点，且满足
， ，请直接写出满足条件的m的取值范围______．【答案】(1)
(2)
(3)
(4) 或
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与矩形的综合应用，解题的关键是熟练掌握二
次函数的性质，利用数形结合的思想求解问题．
（1）将点 代入二次函数表达式即可求得答案；
（2）利用配方法或公式法即可求得顶点坐标；
（3）分三种情况：① 时，②当 时，③当 时，分别运用二次函数的性质列不等式求
解即可；
（4）设抛物线交y轴于M，交 于N，则 ， ，根据题意列不等式组求解即
可．
【详解】（1）解：将点 代入二次函数 ，得： ，
化简得： ，
故答案为： ；
（2）解：当 时， ，
∴ ，
∴函数的顶点坐标为 ；
（3）解：∵ ，
∴该抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
① 时， ，
解得： ，
∴ ；
②当 时，由 ，得 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
由 ，得 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
∴当 时，都成立；
③当 时，当 时函数 取得最大值，
∴ ，
解得： ，
∴ 都成立；
综上，m的取值范围为 ；
（4）解：∵ ，
∴ ，
如图，设抛物线交y轴于M，交 于N，
则 ， ，
∵点 ， 是矩形内部的抛物线上的两个点，且满足 ， ，
∴ 或 ，解得： 或 ；
故答案为： 或 ．
26．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线 的图
象与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，且抛物线的顶点 的坐标为 ，连接 ，拋
物线的对称轴与 交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上 、 两点之间的部分（不包含 、 两点），是否存在点 ，使得 ，若存
在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图②，将拋物线在 上方的图象沿 折叠后与 轴交于点 ， 为直线 =1上一个动点，在平面
内是否存在一个点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是以 为对角线的矩形，若存在，求出
点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
(3) 点坐标为 或 ．
【分析】（1）利用二次函数的顶点式运算求解即可；
（2）求出直线 的解析式，过点 作 轴交对称轴于点 ，过点 作 轴交直线 于点
，分别表达出 ， ， 的坐标，再利用三角形面积公式列式运算即可；
（3）设点 关于直线 的对称点为 ，利用折叠和等腰三角形的性质求得 ．设 ，求得， ， ，从而得出 ，求得n的值，进一步得出
结果．
【详解】（1）解：∵拋物线的顶点 的坐标为 ，
∴设抛物线的解析式为 ，
∵抛物线过点 ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：存在，理由如下：
由（1）知抛物线的解析式为 ，
令 ，则 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，代入 和 可得：
，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
∵抛物线的对称轴与 交于点 ，
∴把 代入 可得： ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 轴交对称轴于点 ，过点 作 轴交直线 于点 ，如图所示：设点G的坐标为 ，则 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ；
（3）解：由（2）知， ，又 ，
∴ ，
设点 关于直线 的对称点为 ，如图所示，
则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 是等腰直角三角形，∴ ，
由抛物线的对称性可知， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 是以B、E、M、N为顶点的矩形的对角线，
∴ ，
设 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 或 ，
当 时， ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
综上所述： 点坐标为 或 ．
【点睛】本题为二次函数综合题，考查了二次函数的图形性质，二次函数点的坐标特征，待定系数法求函
数解析式，三角形面积，等腰三角形的判定及性质，矩形的性质等知识点，熟悉掌握各知识点是解题的关
键．
