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第 2 讲 力的合成与分解
知识排查
力的合成
1.合力与分力
(1)定义：如果一个力产生的效果跟几个共点力共同作用产生的效果相同，这一个
力就叫做那几个力的合力，原来那几个力叫做分力。
(2)关系：合力和分力是等效替代的关系。
2．共点力
作用在物体的同一点，或作用线的延长线交于一点的力。如下图1所示均是共点
力。
图1
3．力的合成
(1)定义：求几个力的合力的过程。
(2)运算法则
①平行四边形定则：求两个互成角度的共点力的合力，可以用表示这两个力的线
段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向。如
图2甲所示。
②三角形定则：把两个矢量首尾相接，从而求出合矢量的方法。如图2 乙所示。图2
力的分解
1.定义：求一个已知力的分力的过程。
2．运算法则：平行四边形定则或三角形定则。
3．分解方法：①按力产生的效果分解；②正交分解。如图3将结点O受力进行分
解。
图3
矢量和标量
1.矢量：既有大小又有方向的量，相加时遵从平行四边形定则。
2．标量：只有大小没有方向的量，求和时按代数法则相加。
小题速练
1．思考判断
(1)两个分力大小一定时，两分力方向间的夹角θ越大，合力越小。( )
(2)合力一定时，两等大分力间的夹角θ越大，两分力越大。( )
(3)力的分解必须按效果进行分解。( )
(4)位移、速度、加速度、力和时间都是矢量。( )
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．(多选)[人教版必修1·P ·T 改编]两个力F 和F 间的夹角为θ，两力的合力为
64 4 1 2
F。以下说法正确的是( )
A．若F 和F 大小不变，θ角越小，合力F就越大
1 2
B．合力F总比分力F 和F 中的任何一个力都大
1 2
C．如果夹角θ不变，F 大小不变，只要F 增大，合力F就必然增大
1 2
D．合力F的作用效果与两个分力F 和F 共同产生的作用效果是相同的
1 2
答案 AD3．[人教版必修1·P ·T 改编]有两个力，它们的合力为0。现在把其中一个向东6
64 2
N的力改为向南(大小不变)，它们的合力大小为( )
A．6 N B．6 N
C．12 N D．0
答案 B
4．[人教版必修1·P ·T 改编]一个竖直向下的180 N的力分解为两个分力，一个
66 2
分力在水平方向上并等于240 N，则另一个分力的大小为( )
A．60 N B．240 N C．300 N D．420 N
答案 C
共点力的合成
1．两个共点力的合成
|F －F |≤F ≤F ＋F ，即两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小，当两
1 2 合 1 2
力反向时，合力最小；当两力同向时，合力最大。
2．三个共点力的合成
(1)最大值：三个力共线且同向时，其合力最大，为F ＋F ＋F 。
1 2 3
(2)最小值：任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则三
个力的合力的最小值为零。如果第三个力不在这个范围内，则合力的最小值为最
大的一个力减去另外两个较小的力的大小之和。
3．力合成的方法
(1)作图法
(2)计算法
若两个力F 、F 的夹角为θ，如图4所示，合力的大小可由余弦定理得到：
1 2
图4
F＝
tan α＝。【例1】 射箭是奥运会上一个观赏性很强的运动项目，中国队有较强的实力。如
图5甲所示，射箭时，刚释放的瞬间若弓弦的拉力为100 N，对箭产生的作用力为
120 N，其弓弦的拉力如图乙中F 和F 所示，对箭产生的作用力如图中F所示，
1 2
则弓弦的夹角α应为(cos 53°＝0.6)( )
图5
A．53° B．127° C．143° D．106°
解析 弓弦拉力的合成如图所示，
由于F ＝F ，由几何知识得
1 2
2F cos ＝F ，有
1 合
cos ＝＝＝＝0.6
所以＝53°
即α＝106°，故D正确。
答案 D
1．有两个共点力，一个力的大小是10 N，另一个力的大小是4 N，它们合力的大
小可能是 ( )
A．40 N B．25 N C．15 N D．8 N
解析 6 N≤F ≤14 N，只有8 N在此范围内，D项正确。
合
答案 D
2．(多选)一物体静止于水平桌面上，两者之间的最大静摩擦力为5 N，现将水平面
内三个力同时作用于物体的同一点，三个力的大小分别为2 N、2 N、3 N。下列关于物体的受力情况和运动情况判断正确的是( )
A．物体所受静摩擦力可能为2 N
B．物体所受静摩擦力可能为4 N
C．物体可能仍保持静止
D．物体一定被拉动
解析 两个2 N的力的合力范围为0～4 N，然后与3 N的力合成，则三力的合力
范围为0～7 N，由于最大静摩擦力为5 N，因此可判定选项A、B、C正确，D错误
答案 ABC
力分解的两种常用方法
1．效果分解法
(1)根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向。
(2)再根据两个分力方向画出平行四边形。
(3)最后由三角形知识求出两个分力的大小和方向。
2．正交分解法
(1)选取坐标轴及正方向：正交的两个方向可以任意选取，选取的一般原则是
①使尽量多的力落在坐标轴上；
②平行和垂直于接触面；
③平行和垂直于运动方向。
(2)分别将各力沿正交的两个方向(x轴和y轴)分解，如下图所示。
(3)求各力在x轴和y轴上的分力的合力F 和F ，则有F ＝F ＋F ＋F ＋…，F
x y x 1x 2x 3x y
＝F ＋F ＋F ＋…。
1y 2y 3y
【例2】 (多选)如图6所示，电灯的重力G＝10 N，AO绳与顶板间的夹角为45°，
BO绳水平，AO绳的拉力为F，BO绳的拉力为F ，则( )
A B图6
A．F＝10 N B．F＝10 N
A A
C．F ＝10 N D．F ＝10 N
B B
解析 法一 效果分解法
在结点O，电灯的重力产生了两个效果，
一是沿AO向下的拉紧AO绳的分力F ，二是沿BO向左的拉紧BO绳的分力F ，
1 2
分解示意图如图所示。
则F＝F ＝＝10 N
A 1
F ＝F ＝＝10 N，故选项A、D正确。
B 2
法二 正交分解法
结点O受力如图所示，考虑到电灯的重力与OB垂直，正交分解OA绳的拉力更
为方便。
F＝G＝10 N
Fsin 45°＝F
A
Fcos 45°＝F
A B
代入数值得F＝10 N，F ＝10 N，
A B
故选项A、D正确。
答案 AD1．[例2的拓展]如图7所示，用两根承受的最大拉力相等、长度不等的细绳AO、
BO(AO>BO)悬挂—个中空铁球，当在球内不断注入铁砂时，则 ( )
图7
A．绳AO先被拉断 B．绳BO先被拉断
C．绳AO、BO同时被拉断 D．条件不足，无法判断
解析 依据力的作用效果将铁球对结点O的拉力分解如图所示。据图可知：F ＞
B
F。
A
又因为两绳承受的最大拉力相同，故当在球内不断注入铁砂时，BO绳先断，选项
B正确。
答案 B
2．(多选)如图8所示，质量为m的木块在推力F作用下，在水平地面上做匀速运
动。已知木块与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，那么木块受到的滑动
摩擦力为( )
图8
A．μmg B．μ(mg＋Fsin θ)
C．μ(mg－Fsin θ) D．Fcos θ
解析 木块匀速运动时受到四个力的作用：重力mg、推力F、支持力F 、摩擦力F。沿水平方向建立x轴，将F
N f
进行正交分解，如图所示(这样建立坐标系只需分解F)，由于木块做匀速直线运
动，所以在x轴上，向左的力等于向右的力(水平方向二力平衡)；在y轴上，向上
的力等于向下的合力。即F＝Fcos θ，F ＝mg＋Fsin θ，又F＝μF ，解得，F＝
f N f N f
μ(mg＋Fsin θ)，故选项B、D正确。
答案 BD
3．(多选)(2018·天津理综，7)明朝谢肇淛的《五杂组》中记载： “明姑苏虎丘寺塔
倾侧，议欲正之，非万缗不可。一游僧见之曰：无烦也，我能正之。 ”游僧每天
将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身。假设所用的木楔为
等腰三角形，木楔的顶角为θ，现在木楔背上加一力F，方向如图9所示，木楔两
侧产生推力F ，则( )
N
图9
A．若F一定，θ大时F 大
N
B．若F一定，θ小时F 大
N
C．若θ一定，F大时F 大
N
D．若θ一定，F小时F 大
N
解析 如图所示，根据力F的作用效果，把力F分解为垂直于木楔两侧方向的分
力F 、F ，则F ＝F ＝F ＝，由表达式可知，若F一定，θ越小，F 越大，A项错误，
1 2 1 2 N N
B项正确；若θ一定，F越大，F 越大，C项正确，D项错误。
N
答案 BC
力的合成与分解在实际生活中的应用
【例3】 如图10所示为剪式千斤顶，是用于顶起汽车的装置。当摇动把手时，螺
纹轴就迫使千斤顶的左右两臂靠拢，同时抬起重物。汽车对千斤顶的压力 F＝
1.0×105 N。设当千斤顶两臂间的夹角为120°时，其两臂受到的压力为F′；若继续摇动把手，将汽车顶起，两臂受到的压力将怎样变化 ( )
图10
A．F′＝1.0×105 N，变小
B．F′＝1.0×105 N，变大
C．F′＝2.0×105 N，变大
D．F′＝0.5×105 N，变小
解析 如图将汽车对千斤顶的压力F沿两臂分解为F 、F ，根据对称性可知，两
1 2
臂受到的压力大小相等。即F ＝F ＝F′。由2F′cos θ＝F得，F′＝＝1.0×105 N，C、
1 2
D错误；继续摇动把手，两臂靠拢，夹角减小，由F′＝分析可知，F不变，当θ减小
时，cos θ增大，F′减小，B错误，A正确。
答案 A
1．(2018·江西萍乡二模)刀、斧、凿等切削工具的刃部叫做劈，如图11所示是用斧
头劈木柴的示意图。劈的纵截面是一个等腰三角形，使用劈的时候，垂直劈背加
一个力F，这个力产生两个作用效果，使劈的两个侧面推压木柴，把木柴劈开。设
劈背的宽度为d，劈的侧面长为l，不计斧头的自身重力，则劈的侧面推压木柴的
力约为( )
图11
A.F B.F C.F D.F解析 斧头劈木柴时，设两侧面推压木柴的力分别为F 、F 且F ＝F ，利用几何
1 2 1 2
三角形与力的三角形相似有＝，得推压木柴的力F ＝F ＝F，所以B正确，A、C、
1 2
D错误。
答案 B
2．将四块相同的坚固石块垒成圆弧形的石拱，其中第3、4块固定在地基上，第1、
2块间的接触面是竖直的，每块石块的两个侧面间所夹的圆心角为30°，如图12
所示。假定石块间的摩擦力可以忽略不计，则第1、2块石块间的作用力和第1、3
块石块间的作用力的大小之比为( )
图12
A. B. C. D.
解析 如图所示，
对第1个石块进行受力分析，由几何关系知θ＝60°，所以有F ∶F ＝sin 60°
N21 N31
＝，故选项B正确。
答案 B
“活结”与“死结”模型
模 1.“死结”：理解为绳子的结点是固定的，“死结”两侧的是两根独
立的绳，两个弹力不一定相等。
型
2.“活结”：理解为绳子的结点可以移动，一般是由绳跨过滑轮或者绳
概
上挂一光滑挂钩而形成的。“活结”两侧的两个弹力一定相等，它们
述 合力的方向一定沿两绳的角平分线。
高考示例
(2017·天津卷，8)如图所示，轻质不可 (多选)(2016·全国卷Ⅰ，19)如
请判别个 伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆 图，一光滑的轻滑轮用细绳
是“死 M、N上的a、b两点， OO′悬挂于O点；结”哪个
是“活
(2016·全国卷Ⅱ，14)质量为m的物体
(2016·全国卷Ⅲ，17)如图，两
结”？) 用轻绳AB悬挂于天花板上。 个轻环a和b套在位于竖直
面内的一段固定圆弧上
【例4】 (多选)(2017·天津卷，8)如图14所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固
定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于
静止状态。如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是( )
图14
A．绳的右端上移到b′，绳子拉力不变
B．将杆N向右移一些，绳子拉力变大
C．绳的两端高度差越小，绳子拉力越小
D．若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移
解析 设两杆间距离为d，绳长为l，Oa、Ob段长度分别为l 和l ，则l＝l ＋l ，两
a b a b
部分绳子与竖直方向夹角分别为α和β，受力分析如图所示。绳子中各部分张力
相等，F ＝F ＝F，则α＝β。满足2Fcos α＝mg，d＝l sin α＋l sin α＝lsin α，即sin α
a b a b
＝，F＝，d和l均不变，则sin α为定值，α为定值，cos α为定值，绳子的拉力保持
不变，故选项A正确，C错误；将杆N向右移一些，d增大，则sin α增大，cos α减
小，绳子的拉力增大，故选项B正确；若换挂质量更大的衣服，d和l均不变，绳中
拉力增大，但衣服的位置不变，选项D错误。答案 AB
1．(2019·山西太原调研)如图15所示，轻绳OA一端固定在天花板上，另一端系一
光滑的圆环，一根系着物体的轻绳穿过圆环后，另一端固定在墙上B点，且OB处
于水平。现将A点缓慢沿天花板水平向右移动，且OB段的轻绳始终保持水平，则
OA、OB段轻绳所受的拉力的大小F 、F 的变化情况是( )
TA TB
图15
A．F 增大，F 不变 B．F 、F 均不变
TA TB TA TB
C．F 不变，F 增大 D．F 、F 均减小
TA TB TA TB
解析 因为圆环光滑，则OC、OB段轻绳所受的拉力的大小F 、F 始终相等，且
TC TB
等于物体的重力。又OB段轻绳始终保持水平，OC段轻绳始终保持竖直，则A点
缓慢右移，圆环也随之右移，角θ不变，由平衡条件可知OA段绳上所受的拉力不
变。选项B正确。
答案 B
2．(多选)如图16所示，轻杆BC一端用铰链固定于墙上，另一端有一小滑轮C，重
物系一绳经C固定在墙上的A点，滑轮与绳的质量及摩擦均不计，若将绳一端从
A点沿墙稍向上移，系统再次平衡后，则( )图16
A．绳的拉力增大
B．轻杆受到的压力减小，且杆与AB的夹角变大
C．绳的拉力大小不变
D．轻杆受的压力不变
解析 对C进行受力分析如图所示，根据力的平衡条件和对称性可知F ＝F ＝
AC CD
G。A点上移后绳上拉力大小不变，一直等于重物的重力，故选项A错误，C正确；
A点上移后AC与CD的夹角变大，则合力变小，即轻杆受到的压力减小，方向沿
杆方向并且沿∠ACD的角平分线，根据几何知识知∠BCD变大，即杆与AB夹角
变大，则选项B正确，D错误。
答案 BC
课时作业
(时间：30分钟)
基础巩固练
1．(多选)关于几个力及其合力，下列说法正确的是( )
A．合力的作用效果跟原来那几个力共同作用产生的效果相同
B．合力与原来那几个力同时作用在物体上
C．合力的作用可以替代原来那几个力的作用
D．求几个力的合力遵守平行四边形定则
解析 合力与分力是等效替代的关系，即合力的作用效果与那几个分力的共同作
用效果相同，合力可以替代那几个分力，但不能认为合力与分力同时作用在物体
上，选项A、C正确，B错误；力是矢量，所以求合力时遵守平行四边形定则，选项
D正确。
答案 ACD2．一体操运动员倒立并静止在水平地面上，下列图示姿势中，沿手臂的力F最大
的是( )
解析 将人所受的重力按照效果进行分解，由于大小方向确定的一个力分解为两
个等大的力时，合力在分力的角平分线上，且两分力的夹角越大，分力越大，故D
正确。
答案 D
3．(2019·广东肇庆模拟)如图1所示，被轻绳系住静止在光滑斜面上的小球，若按
力的实际作用效果来分解小球受到的重力G，则G的两个分力的方向分别是图
中的 ( )
图1
A．1和4 B．3和4 C．2和4 D．3和2
解析 小球的重力产生两个效果，一是拉伸绳子，二是压紧斜面，故应按这两个
方向分解，分别是3和4，故B正确，A、C、D错误。
答案 B
4．(多选)下图中按力的作用效果分解正确的是( )
解析 对B项图，物体的重力按效果分解成垂直接触面的力与垂直挡板的力，如图甲所示，故B错误；
甲 乙
对C项图，按照力的作用效果，拉力分解成如图乙所示，故C错误；A、D图中力
的分解是正确的。
答案 AD
5．(多选)如图2所示，某同学用同一弹簧测力计按图甲、乙两种方式测量某小桶
的重力，图甲中系小桶的轻绳较长。下列说法中正确的是( )
图2
A．图甲中弹簧测力计的示数比图乙中的大
B．两图中弹簧测力计的示数一样大
C．图甲中轻绳的拉力比图乙中的大
D．图乙中轻绳的拉力比图甲中的大
解析 用整体法可知两图中弹簧测力计的示数一样大，题图甲中轻绳间的夹角小
于题图乙中轻绳间的夹角，所以题图乙中轻绳的拉力比题图甲中的大，选项B、D
正确。
答案 BD
6．三个共点力大小分别是F 、F 、F ，关于它们合力F的大小，下列说法正确的是
1 2 3
( )
A．F大小的取值范围一定是0≤F≤F ＋F ＋F
1 2 3
B．F至少比F 、F 、F 中的某一个力大
1 2 3
C．若F ∶F ∶F ＝3∶6∶8，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
1 2 3
D．若F ∶F ∶F ＝3∶6∶2，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
1 2 3
解析 三个大小分别是F 、F 、F 的共点力合成后的最大值一定等于 F ＋F ＋
1 2 3 1 2F ，但最小值不一定等于零，只有当某一个力的大小在另外两个力的大小的和与
3
差之间时，这三个力的合力才可能为零，选项A、B、D错误，C正确。
答案 C
7．如图3所示是两个共点力的合力F跟它的两个分力之间的夹角θ的关系图象，
则这两个分力的大小分别是( )
图3
A．1 N和4 N B．2 N和3 N
C．1 N和5 N D．2 N和4 N
解析 设两个力分别为F 、F ，F >F ，当两个力的夹角为180°时，合力为1 N，即
1 2 1 2
F －F ＝1 N。当两个力的夹角为0°时，合力为5 N，即F ＋F ＝5 N，解得F ＝3
1 2 1 2 1
N，F ＝2 N，故A、C、D错误，B正确。
2
答案 B
8．(2019·黄石模拟)如图4所示，AB是半圆的直径，O为圆心，P点是圆上的一点，
在P点作用了三个共点力F 、F 、F 。若F 的大小已知，则这三个力的合力为(
1 2 3 2
)
图4
A．F B．2F C．3F D．4F
2 2 2 2
解析 以F 、F 为邻边作平行四边形，由几何特征，可知平行四边形是矩形，则合
1 3
力F ＝2F ，故F 、F 、F 的合力F＝3F ，C正确。
13 2 1 2 3 2
答案 C
9．如图5所示，某钢制工件上开有一个楔型凹槽，凹槽的截面是一个直角三角形
三个角的度数分别是∠A＝30°，∠B＝90°，∠C＝60°。在凹槽中放有一个光滑的
金属球，当金属球静止时，金属球对凹槽的AB边的压力为F 、对BC边的压力为
1F ，则的值为( )
2
图5
A. B. C. D.
解析 将金属球的重力 mg沿着垂直于AB边和垂直于BC边分解，F ＝mgcos
1
30°，F ＝mgsin 30°，所以＝，选项C正确。
2
答案 C
综合提能练
10．(多选)两个共点力F 、F 大小不同，它们的合力大小为F，则( )
1 2
A．F 、F 同时增大一倍，F也增大一倍
1 2
B．F 、F 同时增加10 N，F也增加10 N
1 2
C．F 增加10 N，F 减少10 N，F一定不变
1 2
D．若F 、F 中的一个增大，F不一定增大
1 2
解析 F 、F 同时增大一倍，由平行四边形定则知F也增大一倍，选项A正确；当
1 2
F 、F 方向相同时，F 、F 同时增加10 N，F增加20 N，选项B错误；当F 、F 方向
1 2 1 2 1 2
相反时，F 增加10 N、F 减少10 N，则F增加20 N或减少20 N，选项C错误；当
1 2
F 、F 共线反向时，当其中一个增大，合力F不一定增大，选项D正确。
1 2
答案 AD
11．如图6所示，物体静止于光滑水平面M上，水平恒力F 作用于物体，现要使
1
物体沿着OO′方向做直线运动(F 和OO′都在M平面内)。那么必须同时再加一个
1
力F ，则F 的最小值是( )
2 2
图6
A．F cos θ B．F sin θ
1 1
C．F tan θ D.
1解析 要使物体沿OO′方向做直线运动，则物体受到的合力F沿OO′方向，如图，
由三角形定则知，当F 方向垂直OO′时，F 有最小值，为F ＝F sin θ，故B正确，
2 2 2 1
A、C、D错误。
答案 B
12．当人体直立时，颈椎所承受的压力等于头部的重量；但当低头时，颈椎受到的
压力会随之变化。现将人低头时头颈部简化为如图7所示的模型：重心在头部的
P点，颈椎OP(轻杆)可绕O转动，人的头部在颈椎的支持力和沿PA方向肌肉拉
力的作用下处于静止。假设低头时颈椎OP与竖直方向的夹角为45°，PA与竖直
方向的夹角为60°，此时颈椎受到的压力约为直立时颈椎受到的压力的(≈1.414，
≈1.732)( )
图7
A．4.2倍 B．3.3倍 C．2.8倍 D．2.0倍
解析 设头部的质量为m，当人体直立时，颈椎所受的压力F＝mg；当低头时，设
颈椎所受到的压力为F ，以P点为研究对象，受力分析如图所示，由正弦定理得
1
＝，解得F ≈3.3mg，选项B正确。
1
答案 B
13．如图8所示，一个“Y”形弹弓顶部跨度为L，两根相同的橡皮条自由长度均为
L，在两橡皮条的末端用一块软羊皮(长度不计)做成裹片。若橡皮条的弹力与形变量的关系满足胡克定律，且劲度系数为k，发射弹丸时每根橡皮条的最大长度为
2L(弹性限度内)，则发射过程中裹片对弹丸的最大作用力为( )
图8
A．kL B．2kL C.kL D.kL
解析 根据胡克定律知，每根橡皮条的弹力F ＝k(2L－L)＝kL。设此时两橡皮条
弹
的夹角为θ，根据几何关系知sin＝。根据力的平行四边形定则知，弹丸被发射过
程中所受的最大作用力F＝2F cos＝2F ＝F ＝kL。选项D正确。
弹 弹 弹
答案 D
14．(多选)如图9所示，F 、F 合力方向竖直向下，若保持F 的大小和方向都不变，
1 2 1
保持F 的大小不变，而将F 的方向在竖直平面内转过60°角，合力的方向仍竖直
2 2
向下，则下列说法正确的是 ( )
图9
A．F 一定大于F
1 2
B．F 可能小于F
1 2
C．F 的方向与水平面成30°角
2
D．F 的方向与F 方向成60°角
1 2
解析 由于合力始终向下，可知F 与F ′的水平分力相同，故F 与F ′关于水平方
2 2 2 2
向对称，所以F 与水平方向成30°角，设F 与竖直方向成α。对各力进行分解可得：
2 1
F sin α＝F cos 30°，F cos α＞F sin 30°，解得F ＞F ，选项A、C正确。
1 2 1 2 1 2
答案 AC
