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第 3 讲 共点力的平衡条件和应用
知识排查
受力分析
1.受力分析：把研究对象(指定物体)在特定的物理环境中受到的所有力都找出来，
并画出受力示意图的过程。
2．受力分析的一般顺序
(1)画出已知力。
(2)分析场力(重力、电场力、磁场力)。
(3)分析弹力。
(4)分析摩擦力。
共点力的平衡条件
1.平衡状态
物体处于静止或匀速直线运动的状态，即a＝0。
2．平衡条件
F ＝0或
合
如图甲所示，小球静止不动，如图乙所示，物块匀速运动。
则：小球F ＝0 F sin θ＝F ，F cos θ＝mg。
合 N 推 N
物块F ＝F － F ＝ 0，F ＝F ＋ F － m g ＝ 0。
x 1 f y 2 N
平衡条件的推论1.二力平衡：如果物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，这两个力必定大小
相等，方向相反。
2．三力平衡：如果物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与
其余两个力的合力大小相等，方向相反。
3．多力平衡：如果物体在多个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与
其余几个力的合力大小相等，方向相反。
小题速练
1．思考判断
(1)对物体受力分析时，只能画该物体受到的力，其他物体受到的力不能画在该物
体上。( )
(2)物体沿光滑斜面下滑时，受到重力、支持力和下滑力的作用。( )
(3)加速度等于零的物体一定处于平衡状态。( )
(4)速度等于零的物体一定处于平衡状态。( )
(5)若三个力F 、F 、F 平衡，若将F 转动90°时，三个力的合力大小为F 。( )
1 2 3 1 1
答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√
2．(多选)如图1所示，竖直放置的轻弹簧一端固定在地面上，另一端与斜面体P
连接，P的斜面与固定挡板MN接触且处于静止状态，则斜面体P此刻所受的外
力可能有( )
图1
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解析 若斜面体P受到的弹簧弹力F等于其重力mg，则MN对P没有力的作用，
如图甲所示，P受到2个力，A项正确；若弹簧弹力大于P的重力，则MN对P有
压力F ，只有压力F ，则P不能平衡，一定存在一个向右的力，只能是MN对P
N N
的摩擦力F，P此时受到4个力，如图乙所示，C项正确。
f答案 AC
3．天然平衡岩带给我们的那种仿佛时间停止的静态之美成为很多艺术家的灵感
源泉，他们不断尝试着复制这种不可思议的平衡之美。达莱尔·雷特便是这样一位
艺术家，在其最为著名的作品中，雷特将一块大石头放在石化木顶端一块微小的
基岩上。这块大石头并非呈现出直立姿态，则是倾斜着身子。则关于大石头的受
力下述正确的是( )
图2
A．大石头一定受到三个力的作用
B．基岩对大石头的支持力一定竖直向上
C．基岩对大石头的支持力等于石头重力
D．基岩对大石头的作用力一定竖直向上
解析 由于大石头和支持它的石化木之间的接触面情形未知，可能水平也可能有
倾斜，但大石头处于平衡状态，基岩对大石头的作用力一定竖直向上，选项D正
确。
答案 D
受力分析
1．受力分析的基本思路2．受力分析的三个常用判据
(1)条件判据：不同性质的力产生条件不同，进行受力分析时最基本的判据是根据
其产生条件。
(2)效果判据：有时候是否满足某力产生的条件是很难判定的，可先根据物体的运
动状态进行分析，再运用平衡条件或牛顿运动定律判定未知力。
(3)特征判据：从力的作用是相互的这个基本特征出发，通过判定其反作用力是否
存在来判定该力是否存在。
【例1】 (多选)如图3所示，在水平力F作用下，A、B保持静止。若A与B的接触
面是水平的，且F≠0，则B的受力个数可能为 ( )
图3
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
解析 先对A、B整体受力分析，受重力、推力、支持力；当推力平行斜面向上的分
力大于重力的下滑分力时，有上滑趋势；当推力平行斜面向上的分力小于重力的
下滑分力时，有下滑趋势；当推力平行斜面向上的分力等于重力的下滑分力时，
无滑动趋势；再对A受力分析，受推力、重力、支持力和向左的静摩擦力，共4个
力；最后对B受力分析，受重力、A对B的压力和向右的静摩擦力，斜面对B的支
持力，若B物体相对斜面有滑动趋势，则还要受到斜面的静摩擦力，若相对斜面
无滑动趋势，则不受斜面的静摩擦力，即物体B可能受4个力，也可能受5个力，
故选项B、C正确。
答案 BC
【拓展1】 (多选)在[例1]中，若力F作用在B上，则B的受力个数可能为( )图4
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
解析 B物体一定受重力、斜面的支持力、A的压力和力F，斜面对B可能有摩擦
力，也可能没有，故B可能受4个力或5个力，选项B、C正确。
答案 BC
【拓展2】 在[拓展1]中，水平推力改为水平拉力(水平向左)，如图5所示，整个系
统处于静止状态，则以下说法正确的是( )
图5
A．物块A的受力个数为4个
B．物块B的受力个数为4个
C．地面对物块C的支持力小于三者重力之和
D．地面对物块C的摩擦力大小等于F，方向水平向右
解析 对A进行受力分析，根据平衡条件知A只受重力和支持力2个力的作用，
选项A错误；对B进行受力分析，有重力、压力、C施加的垂直斜面斜向上的支持
力、拉力F，根据平衡条件还有C施加的平行斜面斜向上的摩擦力，共5个力的作
用，选项B错误；以A、B、C整体为研究对象进行受力分析，根据平衡条件知地面
对物块C的支持力等于三者重力之和，选项C错误；对A、B、C整体进行受力分
析，根据平衡条件知地面对物块C的摩擦力大小等于F，方向水平向右，选项D
正确。
答案 D
1．一建筑塔吊如图6所示向右上方匀速提升建筑物料，若忽略空气阻力，则下列
有关物料的受力图正确的是( )图6
解析 由题意可知，物料匀速运动，合力为零，对物料受力分析知，拉力T与重力
mg平衡，故选项A、B、C错误，D正确。
答案 D
2．用两根细线把A、B两小球悬挂在水平天花板上的同一点O，并用细线连接A、
B两小球，然后用力F作用在小球A上，如图7所示，此时三根细线均处于直线状
态，且OB细线恰好处于竖直方向，两小球均处于静止状态。不考虑小球的大小，
则力F的方向不可能为 ( )
图7
A．水平向右 B．竖直向上
C．沿AO方向 D．沿BA方向
解析 因为OB细线竖直，所以B球只受重力和细线OB的拉力而平衡，细线AB
的弹力为零，A球受重力G 、细线OA的拉力T 和力F作用，当T 为零时，F竖
A OA OA
直向上，且
F＝G ；当T 不为零时，根据平衡条件可知：G 与力F的合力与T 是一对平衡
A OA A OA
力，所以力F的方向不可能沿AO方向，只有选项C符合题意。
答案 C
共点力作用下物体的平衡
1．平衡中的研究对象选取
(1)单个物体；(2)能看成一个物体的系统；(3)一个结点。2．静态平衡问题的解题“五步骤”
【例2】 (多选)如图8所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心。一质量
为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点。设滑块所受支持力为F ，OP
N
与水平方向的夹角为θ。重力加速度为g，下列关系正确的是( )
图8
A．F＝ B．F＝mgtan θ
C．F ＝ D．F ＝mgtan θ
N N
解析 方法一 合成法
滑块受力如图甲，由平衡条件知＝tan θ，
所以F＝，F ＝。
N
方法二 效果分解法
将重力按产生的效果分解，如图乙所示，F＝G ＝，F ＝G ＝。
2 N 1
方法三 正交分解法
将滑块受的力沿水平、竖直方向分解，如图丙所示，
mg＝F sin θ，F＝F cos θ，
N N
联立解得F＝，F ＝。
N
方法四 封闭三角形法
如图丁所示，滑块受的三个力组成封闭三角形，解直角三角形得F＝，F ＝。
N
答案 AC
1．一个质量为3 kg的物体，被放置在倾角为α＝30°的固定光滑斜面上，在如图9
所示的甲、乙、丙三种情况下处于平衡状态的是(g＝10 m/s2)( )
图9
A．仅甲图 B．仅乙图
C．仅丙图 D．甲、乙、丙图
答案 B
2．(2019·黑龙江哈师大附中等三校一模)如图10所示，在粗糙的水平面上，固定
一个半径为R的半圆柱体M，挡板PQ固定在半圆柱体M上，挡板PQ的延长线
过半圆柱截面圆心O，且与水平面成30°角。在M和PQ之间有一个质量为m的
光滑均匀球体N，其半径也为R。整个装置处于静止状态，重力加速度为g。则下
列说法正确的是( )
图10
A．N对PQ的压力大小为mg
B．N对PQ的压力大小为mgC．N对M的压力大小为mg
D．N对M的压力大小为mg
解析 对球N受力分析，设M对N的支持力为F ，PQ对N的支持力为F ，由几
1 2
何关系可知，F 和F 与竖直方向的夹角相等，均为30°，则F ＝F ＝＝mg，由牛顿
1 2 1 2
第三定律可知选项D正确，A、B、C错误。
答案 D
3．将轻绳和轻弹簧的一端分别固定在圆弧上的A、B两点，另一端固定在小球a
上，静止时，小球a恰好处于圆心O处，如图11甲所示，此时绳与水平方向夹角
为30°，弹簧恰好水平，现将轻弹簧与轻绳对调，将a球换成b球后，小球仍位于
O点，如图乙所示，则a、b两个小球的质量之比为( )
图11
A．1∶1 B.∶1 C．2∶ D．3∶2
解析 在甲图和乙图中，由于弹簧的长度是相等的，所以两种情况下的弹簧的弹
力是相等的。
甲图中：＝tan 30°＝
乙图中：＝sin 30°＝
所以：＝＝＝2∶，C项正确。
答案 C共点力作用下的动态平衡问题
1．动态平衡
(1)所谓动态平衡问题，是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，
而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态，常利用图解法解决此类问题
(2)基本思路
化“动”为“静”，“静”中求“动”。
2．分析动态平衡问题的方法
方法 步骤
(1)列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式；
解析法
(2)根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况
(1)根据已知量的变化情况，画出平行四边形边、边角的变化；
图解法
(2)确定未知量大小、方向的变化
(1)根据已知条件画出两个不同情况对应的力的三角形和空间几
相似三角形法 何三角形，确定对应边，利用三角形相似知识列出比例式；
(2)确定未知量大小的变化情况
【例3】 (2018·上海青浦区二模)如图12所示，A是一均匀小球，B是一圆弧形滑
块，最初A、B相切于圆弧形滑块的最低点，一切摩擦均不计，开始B与A均处于
静止状态，用一水平推力F将滑块B向右缓慢推过一段较小的距离，在此过程中
( )
图12
A．墙壁对球的弹力不变
B．滑块对球的弹力增大
C．地面对滑块的弹力增大
D．推力F减小
解析 对小球受力分析，小球受到重力、滑块的弹力和墙壁的弹力，如图所示，重
力的大小和方向都不变，墙壁的弹力方向不变。滑块的弹力和墙壁的弹力的合力不变，大小等于重力，由图可知，滑块对球的弹力在增大，墙壁对球的弹力在增大
故A错误，B正确；对滑块和小球整体进行受力分析，整体受重力、支持力、墙壁
的弹力及推力，竖直方向上滑块和小球的重力大小等于地面对滑块的弹力，滑块
和小球的重力都不变，所以地面对滑块的弹力不变，水平方向上推力F大小等于
墙壁对球的弹力，所以推力F增大，故C、D错误。
答案 B
平衡中的“三看”与“三想”
(1)看到“缓慢”，想到“物体处于动态平衡状态。”
(2)看到“轻绳、轻环”，想到“绳、环的质量可忽略不计”。
(3)看到“光滑”，想到“摩擦力为零”。
1．(多选)如图13所示，倾斜的木板上有一静止的物块，水平向右的恒力F作用在
该物块上。在保证物块不相对木板滑动的情况下，现以过木板下端点O的水平轴
为转轴，使木板在竖直面内顺时针缓慢旋转一个小角度。在此过程中下面说法正
确的是( )
图13
A．物块所受支持力一定变大
B．物块所受支持力和摩擦力的合力一定不变
C．物块所受摩擦力可能变小
D．物块所受摩擦力一定变大解析 设木板与水平面的夹角为θ，对物块进行受力分析可知物块受竖直向下的
重力mg、恒力F和垂直木板向上的支持力F 以及沿木板向上的静摩擦力F，由
N f
于物块始终处于静止状态，故垂直木板方向合力为零，则物块所受支持力与摩擦
力的合力与重力和F的合力相平衡，故物块所受支持力和摩擦力的合力不变。根
据平衡条件有，在垂直木板方向有F ＋Fsin θ＝mgcos θ，由题意可知θ逐渐增大
N
故F 逐渐减小，由于摩擦力与支持力的合力不变，当θ逐渐增大时，摩擦力与该
N
合力的夹角逐渐减小，所以摩擦力一定变大，故A、C错误，B、D正确。
答案 BD
2．(2019·商丘模拟)如图14所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个
光滑的小孔。质量为m的小球套在圆环上，一根细线的下端系着小球，上端穿过
小孔用手拉住。现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移，在移动过程中，手对细线的
拉力F和圆环对小球的弹力F 的大小变化情况是( )
N
图14
A．F不变，F 增大 B．F不变，F 减小
N N
C．F减小，F 不变 D．F增大，F 减小
N N
解析 小球沿圆环缓慢上移可看成小球始终受力平衡，对小球进行受力分析，作
出受力示意图如图所示，由图可知△OAB∽△G′FA即：
＝＝，当A点上移时，半径不变，AB长度减小，故F减小，F 不变，故C正确。
N
答案 C
3．[注意“活结”和“死结”的区别] (多选)(2018·江西上饶二模)如图15所示，
顶端附有光滑定滑轮的斜面体静止在粗糙水平地面上，三条细绳结于O点。一条
绳跨过定滑轮平行于斜面连接物块P，一条绳连接小球Q，P、Q两物体处于静止状态，另一条绳OA在外力F的作用下，处于水平方向，现缓慢改变绳OA的方向
至θ<90°，且保持结点O位置不变，整个装置始终处于静止状态。下列说法正确的
是 ( )
图15
A．绳OA的拉力先减小后增大
B．绳OB的拉力一直增大
C．地面对斜面体有向右的摩擦力
D．地面对斜面体的支持力不断减小
解析 缓慢改变绳OA的方向至θ＜90°的过程中，OA拉力的方向变
化如图所示，从3位置到2位置到1位置可见OA的拉力先减小后增
大，OB的拉力一直减小，故A正确，B错误；以斜面和P、Q整体为研
究对象受力分析，根据平衡条件可知斜面受地面的摩擦力与 OA绳水
平方向的分力等大、反向，故摩擦力方向向左，C错误；以斜面体和P整体为研究
对象受力分析，绳OB对其竖直向下的分力减小，则地面对斜面的支持力减小，故
D正确。
答案 AD
平衡中的临界、极值问题
1．临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态
“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰
好”等语言叙述。
2．极值问题
平衡物体的极值，一般是指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
【例4】 如图16所示，重力都为G的两个小球A和B用三段轻绳连接后悬挂在
O点上，O、B间的绳子长度是A、B间的绳子长度的2倍，将一个拉力F作用到小
球B上，使三段轻绳都伸直且O、A间和A、B间的两段绳子分别处于竖直和水平方向上，则拉力F的最小值为( )
图16
A.G B.G C．G D.G
解析 对A球受力分析可知，因O、A间绳竖直，则A、B间绳上的拉力为0。对B
球受力分析如图所示，则可知当F与O、B间绳垂直时F最小，F ＝Gsin θ，其中
min
sin θ＝＝，则F ＝G，故选项A正确。
min
答案 A
1．如图17，倾角为45°的斜面体A放在水平地面上，A与地面间的动摩擦因数为
0.75，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，光滑半球体B静止在竖直墙和斜面体之间，
已知A、B所受重力都为G，若在B的球心处施加一竖直向下的力F，要保持斜面
体静止不动，F的最大值是( )
图17
A．G B．1.5G C．2G D．2.5G
解析 对斜面体和半球体整体受力分析如图甲所示，施加力F之后，可知斜面体
对地面的正压力为2G＋F，最大静摩擦力为f ＝μ(2G＋F)；对半球体受力分析如
m图乙所示，未施加力F时有，竖直墙壁的弹力大小F ＝Gtan 45°，施加力F之后，
1
竖直墙壁弹力大小变为F ′＝(G＋F)tan 45°，要使斜面体静止不动，水平方向上受
1
力平衡，即(G＋F)tan 45°≤μ(2G＋F)，解得F≤2G，选项C正确。
甲 乙
答案 C
2．(多选)(2019·安徽安庆二中质检)如图18所示，质量为M的木楔倾角为θ，在水
平面上保持静止。当将一质量为m的木块放在斜面上时正好匀速下滑，如果用与
斜面成α角的力F拉着木块沿斜面匀速上滑。重力加速度为g，下列说法中正确
的是( )
图18
A．当α＝2θ时，F有最小值
B．F的最小值为mgsin 2θ
C．在木块匀速上滑过程中，地面对M的静摩擦力方向水平向右
D．在木块匀速上滑过程中，地面对M的静摩擦力方向水平向左
解析 选木块为研究对象，当没加外力F时正好匀速下滑，设木块与斜面间的动
摩擦因数为μ，此时平行于斜面方向必有mgsin θ＝μmgcos θ。当加上外力F时，对
木块受力分析如图，则有F＝μF ，平行于斜面方向有F＋mgsin θ＝Fcos α，垂直
f N f
于斜面方向有F ＋Fsin α＝mgcos θ，联立解得F＝＝，故当α＝θ时，F有最小值，
N
最小值为F ＝mgsin 2θ，故A错误，B正确；选M和m组成的整体为研究对象，
min
设水平面对木楔M的摩擦力是F′，水平方向受力平衡，则有F′＝Fcos (θ＋α)，可
f f
知摩擦力的方向水平向左，故C错误，D正确。答案 BD
涉及极值的临界问题的三种解答方法
(1)图解法
根据平衡条件作出力的矢量图，如只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形
然后根据矢量图进行动态分析，确定最大值和最小值。(如例4的求解方法)
(2)假设推理法
先假设某种临界情况成立，然后根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。
(3)数学方法
根据物体的平衡条件列方程，在解方程时采用数学知识求极值。通常用到的数学
知识有二次函数求极值、讨论公式求极值、三角函数求极值以及几何法求极值等
(如T2的求解方法)
科学思维系列——整体法、隔离法在平衡问题中的应用
1．整体法与隔离法
整体法 隔离法
将加速度相同的几个物体作为一个 将研究对象与周围物体分隔开的
概念
整体来分析的方法 方法
选用 研究系统外的物体对系统整体的作 研究系统内物体之间的相互作用
原则 用力或系统整体的加速度 力
2.整体法
整体法是研究力学问题的又一重要方法，它是将几个相互关联的物体看成一个整
体(系统)，把这一整体作为研究对象。这种研究方法与隔离法各有长处，如果不求
系统的内力，则用整体法更简便。
【典例】 (2018·杭州七校联考)如图19所示，甲、乙两个小球的质量均为m，两球
间用细线连接，甲球用细线悬挂在天花板上。现分别用大小相等的力F水平向左向右拉两球，平衡时细线都被拉紧。则平衡时两球的可能位置是下面的 (
)
图19
解析 用整体法分析，把两个小球看做一个整体，此整体受到的外力为竖直向下
的重力2mg、水平向左的力F(甲受到的)、水平向右的力F(乙受到的)和细线1的
拉力，两水平力相互平衡，故细线1的拉力一定与重力2mg等大反向，即细线1
一定竖直；再用隔离法，分析乙球受力的情况，乙球受到向下的重力mg，水平向
右的拉力F，细线2的拉力F 。要使得乙球受力平衡，细线2必须向右倾斜。选项
2
A正确。
答案 A
【拓展1】 把[典例]图中的乙球放在光滑的斜面上如图所示，甲、乙两个质量相
同的球用线连接，甲球用线挂在天花板上，乙球放在光滑斜面上，系统保持静止
(线的质量不计)，以下图示正确的是( )
答案 B
【拓展2】 在[典例]中，如果作用在乙球上的力大小为F，作用在甲球上的力大小为2F，则此装置平衡时的位置可能是( )
解析 将甲、乙两个小球作为一个整体，受力分析如图所示，设上面的绳子与竖
直方向的夹角为α，则根据平衡条件可得tan α＝；再单独研究乙球，设下面的绳
子与竖直方向的夹角为β，根据平衡条件可得tan β＝，因此β>α，因此甲球在竖直
线的右侧，而乙球在竖直线的左侧，选项C正确。
答案 C
【拓展3】 在[典例]中，用力F拉小球b，使两个小球都处于静止状态，且细线Oa
与竖直方向的夹角保持θ＝30°，如图20所示，重力加速度为g，则F达到最小值
时Oa绳上的拉力为( )
图20
A.mg B．mg C.mg D.mg
解析 以两个小球组成的整体为研究对象，分析受力，作出F在三个方向时整体
的受力图，根据平衡条件得知：F与T的合力与重力mg总是大小相等、方向相反，
由力的合成图可知，当F与绳子Oa垂直时，F有最小值，即图中2位置，F有最小
值，根据平衡条件得F＝2mgsin 30°＝mg，T＝2mgcos 30°＝mg，选项A正确。答案 A
课时作业
(时间：35分钟)
基础巩固练
1．(2018·湖南永州三模)科技的发展正在不断地改变着我们的生活，图1甲是一款
放在水平桌面上的手机支架，其表面采用了纳米微吸材料，用手触碰无粘感，接
触到平整光滑的硬性物体时，会牢牢吸附在物体上。图乙是手机静止吸附在该手
机支架上的侧视图，若手机的重力为G，下列说法正确的是( )
图1
A．手机受到的支持力大小为Gcos θ
B．手机受到的摩擦力大小大于Gsin θ
C．纳米材料对手机的作用力方向竖直向上
D．纳米材料对手机的作用力大小为Gsin θ
解析 手机处于静止状态，受力平衡，根据平衡条件可知，在垂直支架方向有F
N
＝Gcos θ＋F ，大于Gcos θ，故A错误；在平行斜面方向，根据平衡条件，有f＝
吸
Gsin θ，故B错误；手机处于静止状态，受力平衡，根据平衡条件可知，纳米材料对
手机的作用力大小等于重力，方向与重力方向相反，竖直向上，故C正确，D错误。
答案 C
2．如图2所示，光滑斜面的倾角为θ＝37°，一个可以看成质点的小球在轻质细线
的拉力作用下静止在斜面上，细线与斜面间的夹角也为37°，若小球的重力为G，
sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则手对细线的拉力等于( )图2
A．G B. C. D.
解析 对小球受力分析，小球受到重力、细线的拉力F、斜面的支持力作用，在沿
斜面方向上，Fcos 37°＝Gsin 37°，解得F＝Gtan 37°＝G，故选项C正确。
答案 C
3．(2017·全国卷Ⅱ，16)如图3所示，一物块在水平拉力F的作用下沿水平桌面做
匀速直线运动。若保持F的大小不变，而方向与水平面成60°角，物块也恰好做匀
速直线运动。物块与桌面间的动摩擦因数为( )
图3
A．2－ B. C. D.
解析 当F水平时，根据平衡条件得F＝μmg；当保持F的大小不变，而方向与水
平面成60°角时，由平衡条件得Fcos 60°＝μ(mg－Fsin 60°)，联立解得μ＝，故选
项C正确。
答案 C
4．(多选)如图4所示，小球a的质量为小球b质量的一半，分别与轻弹簧A、B和
水平轻绳相连接并处于平衡状态。轻弹簧A与竖直方向夹角为60°，轻弹簧A、B
伸长量刚好相同，则下列说法正确的是( )
图4
A．轻弹簧A、B的劲度系数之比为3∶1
B．轻弹簧A、B的劲度系数之比为2∶1
C．轻绳上拉力与轻弹簧A上拉力的大小之比为2∶1
D．轻绳上拉力与轻弹簧A上拉力的大小之比为∶2
解析 设轻弹簧A、B伸长量都为x，小球a的质量为m，则小球b的质量为2m。
对小球b，由平衡条件，弹簧B中弹力为k x＝2mg；对小球a，由平衡条件，竖直方
B向k x＋mg＝k xcos 60°，联立解得k ＝3k ，选项A正确，B错误，水平方向，轻绳
B A A B
上拉力F＝k xsin 60°，所以F∶F＝F∶k x＝sin 60°＝，选项C错误，D正确。
A A A
答案 AD
5．如图5所示，在竖直的墙面上用铰链固定一可绕O点自由转动的轻杆，一定长
度的轻绳两端固定在轻杆的A、C两点，轻质动滑轮B跨过轻绳悬吊一定质量的
物块。开始轻杆位于水平位置，轻绳对A、C两点的拉力大小分别用F 、F 表示，
1 2
忽略滑轮与轻绳间的摩擦。则下列说法正确的是( )
图5
A．当轻杆处于水平位置时F ＞F
1 2
B．若将轻杆沿顺时针方向转过一个小角，则F 增大、F 增大
1 2
C．若将轻杆沿逆时针方向转过一个小角度，则F 增大、F 增大
1 2
D．无论将轻杆怎样转动，F 、F 均减小
1 2
解析 以滑轮B为研究对象，受竖直向下的拉力(大小等于悬吊物块的重力)、AB
绳和BC绳的拉力，由于ABC为一根轻绳，则绳子上拉力大小处处相等，A错误；
由力的平衡条件可知F 、F 的合力大小等于悬吊物块的重力，若将轻杆沿顺时针
1 2
方向转过一个小角度，则∠ABC减小，轻绳的拉力F 、F 均减小，B错误；若将轻
1 2
杆沿逆时针方向转过一个小角度，则∠ABC减小，轻绳的拉力F 、F 均减小，C错
1 2
误，D正确。
答案 D
6．灯笼，又称灯彩，是一种古老的中国传统工艺品。每年的农历正月十五元宵节
前后，人们都挂起红灯笼，来营造一种喜庆的氛围。如图6是某节日挂出的一只
灯笼，轻绳a、b将灯笼悬挂于O点。绳a与水平方向的夹角为θ，绳b水平。灯笼
保持静止，所受重力为G，绳a、b对O点拉力分别为F 、F ，下列说法正确的是(
1 2
)图6
A．F ＝，F ＝
1 2
B．F ＝Gsin θ，F ＝Gtan θ
1 2
C．F 和F 的合力与灯笼对地球的引力是一对平衡力
1 2
D．F 和F 的合力与地球对灯笼的引力是一对相互作用力
1 2
解析 以结点O为研究对象，受力分析如图所示，由灯笼受力平衡可知，T＝G，
而F 与F 的合力与T等大反向，即F 与F 的合力大小等于灯笼的重力大小。则
1 2 1 2
可知F ＝，F ＝，选项A正确，B错误；F 与F 的合力与竖直方向绳的拉力是一对
1 2 1 2
平衡力，选项C错误；地球对灯笼的引力与灯笼对地球的引力是一对相互作用力，
选项D错误。
答案 A
7. (2019·陕西汉中质检)如图7，半圆形金属框竖直放在粗糙的水平地面上，套在
其上的光滑小球P在水平外力F的作用下处于静止状态，P与圆心O的连线与水
平面的夹角为θ，现用力F拉动小球，使其缓慢上移到框架的最高点，在此过程中
金属框架始终保持静止，下列说法中正确的是( )
图7
A．框架对小球的支持力先减小后增大
B．水平拉力F先增大后减小
C．地面对框架的支持力先减小后增大D．地面对框架的摩擦力一直减小
解析 以小球为研究对象，分析受力情况如图所示。根据动态三角形可知：框架
对小球的支持力不断减小，故A错误；水平拉力F一直减小，故B错误，以框架与
小球组成的整体为研究对象，整体受到重力、地面的支持力、地面的摩擦力以及
力F的作用，由以上分析知，水平拉力F一直减小，所以地面对框架的摩擦力始
终在减小，地面对框架的支持力保持不变，故D正确，C错误。
答案 D
8．(多选)如图8所示，质量分别为m 、m 的A、B两个楔形物体叠放在一起，B靠
A B
在竖直墙壁上，在水平力F的作用下，A、B静止不动，则( )
图8
A．A物体受力的个数可能为3
B．B受到墙壁的摩擦力方向可能向上，也可能向下
C．力F增大(A、B仍静止)，A对B的压力也增大
D．力F增大(A、B仍静止)，墙壁对B的摩擦力也增大
解析 隔离A物体，若A、B间没有静摩擦力，则A受重力、B对A的支持力和水
平力F三个力作用，选项A正确；将A、B看作一个整体，整体在竖直方向上受到
重力和摩擦力，所以墙对B的摩擦力方向只能向上，选项B错误；若F增大，则F
在垂直B斜面方向的分力增大，所以A对B的压力增大，选项C正确；对A、B整
体受力分析，由平衡条件知，竖直方向上有f＝G ＋G ，因此当水平力F增大时，
A B
墙壁对B的摩擦力不变，选项D错误。
答案 AC
9．(多选)如图9所示，一条细线一端与地板上的物体B相连，另一端绕过质量不计的定滑轮与小球A相连，定滑轮用另一条细线悬挂在天花板上的O′点，细线与
竖直方向所成的角度为α，则( )
图9
A．如果将物体B在地板上向右移动稍许， α角将增大
B．无论物体B在地板上左移还是右移，只要距离足够小，α角 将不变
C．增大小球A的质量，α角一定减小
D．悬挂定滑轮的细线的弹力不可能等于小球A的重力
解析 小球A受重力和拉力，根据平衡条件有F ＝mg。如果将物体B在地板上向
T
右移动稍许，则∠AOB增大，滑轮受三个拉力作用如图所示，根据平衡条件，
∠AOB＝2α，故α一定增大，故A正确，B错误；增大小球A的质量，系统可能平
衡，故α可能不变，故C错误；由于∠AOB＝2α<90°，弹力F与两个拉力F 的合力
T
平衡，而F ＝mg，故悬挂定滑轮的细线的弹力不可能等于小球A的重力，故D正
T
确。
答案 AD
综合提能练
10．(2017·全国卷Ⅲ，17)一根轻质弹性绳的两端分别固定在水平天花板上相距80
cm的两点上，弹性绳的原长也为80 cm。将一钩码挂在弹性绳的中点，平衡时弹
性绳的总长度为100 cm；再将弹性绳的两端缓慢移至天花板上的同一点，则弹性
绳的总长度变为(弹性绳的伸长始终处于弹性限度内)( )
A．86 cm B．92 cm C．98 cm D．104 cm
解析 设弹性绳的劲度系数为k。挂钩码后，弹性绳两端点移动前，左、右两段绳的伸长量ΔL＝＝10 cm，两段绳的弹力F＝kΔL，对钩码受力分析，如图甲所示，
sin α＝，cos α＝。根据共点力的平衡条件可得，钩码的重力为G＝2kΔLcos α。将弹
性绳的两端缓慢移至天花板上的同一点时，受力图如图乙所示。设弹性绳伸长量
为ΔL′，弹力为F′＝kΔL′，钩码的重力为G＝2kΔL′，联立解得ΔL′＝ΔL＝6 cm。弹
性绳的总长度变为L ＋2ΔL′＝92 cm，故选项B正确，A、C、D错误。
0
甲 乙
答案 B
11．(多选)如图10所示，将一充有氢气的气球系在一个石块上，风沿水平方向吹，
气球受到的风力大小为F ＝kS 2(k是阻力系数，S是迎风横截面积)，石块开始静
风 v
止于水平地面上，则( )
图10
A．若风速逐渐增大，气球会连同石块一起离开地面
B．无论风速多大，气球连同石块都不会离开地面
C．若风速逐渐增大，气球会连同石块一起沿地面向左滑动
D．无论风速多大，气球连同石块都不会被吹动
解析 用解析法分析动态变化。如图，整体分析气球与石块，开始时受力平衡，水
平风力增大，不改变竖直方向的各个力，则石块不会离开地面，故选项A错误，B
正确；开始时系统平衡，有F ＝F，当F 增大到大于石块受到的最大静摩擦力
风 f 风
时，系统会沿地面向左滑动，故选项C正确，D错误。答案 BC
12．如图11所示，质量为m(可以看成质点)的小球P，用两根轻绳OP和O′P在P
点拴结后再分别系于竖直墙上相距0.4 m的O、O′两点上，绳OP长0.5 m，绳O′P
长0.3 m，今在小球上施加一方向与水平成θ＝37°角的拉力F，将小球缓慢拉起。
绳O′P刚拉直时，OP绳拉力为T ，绳OP刚松弛时，O′P绳拉力为T ，则T ∶T 为
1 2 1 2
(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)( )
图11
A．3∶4 B．4∶3 C．3∶5 D．4∶5
解析 绳O′P刚拉直时，由几何关系可知此时OP绳与竖直方向夹角为37°，小球
受力如图甲，则T ＝mg。绳OP刚松弛时，小球受力如图乙，则T ＝mg。则T ∶T
1 2 1 2
＝3∶5，选项C正确。
答案 C
13．(多选)(2019·河北衡水中学模拟)将一个半球体置于粗糙水平地面上，半球的
正上端有一光滑的小滑轮，柔软光滑的轻绳绕过滑轮，两端分别系有质量为m ＝
1
0.4 kg、m ＝0.2 kg 的物体A、B(两物体和滑轮均可看成质点，故可认为轻绳与半
2
球体表面处处平行)时，整个装置处于静止状态，装置的截面图如图12所示。已知
此时A与半球的球心O的连线与水平线的夹角θ＝53°，B与半球的球心O的连
线与水平线的夹角α＝37°，其他条件不变，取g＝10 m/s2，则(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)( )
图12
A．轻绳中的拉力大小为1.2 N
B．半球体对B的支持力大小为1.6 N
C．A受到的摩擦力大小为0.8 N
D．地面对半球体的摩擦力为零
解析 两物体
的受力示意图如图所示，对A有T ＝F ＝m gcos θ＝2.4 N，对B有T ＝m gcos α＝
1 1 1 2 2
1.6 N，F ＝m gsin α＝1.2 N，选项A、B均错误；T ＝T ，A受到的摩擦力大小为F
N2 2 1 2 1
－T ＝0.8 N，选项C正确；对两物体及半球体整体进行受力分析，由整体受力平
1
衡知，地面对半球体的摩擦力为零，选项D正确。
答案 CD
14．(多选)(2016·全国卷Ⅰ)如图13所示，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点
另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块
b。外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态。若F方向不变，大小在一定范围
内变化，物块b仍始终保持静止，则( )
图13
A．绳OO′的张力也在一定范围内变化
B．物块b所受到的支持力也在一定范围内变化
C．连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化D．物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化
解析 由于物体a、b均保持静止，各绳间角度保持不变，对a受力分析得，绳的
拉力F ＝m g，所以物体a受到绳的拉力保持不变。由滑轮性质知，滑轮两侧绳的
T a
拉力相等，所以连接a和b绳的张力大小、方向均保持不变，选项C错误；a、b受
到绳的拉力大小、方向均不变，所以OO′的张力不变，选项A错误；对b进行受力
分析，如图所示。由平衡条件得：F cos β＋F＝Fcos α，Fsin α＋F ＋F sin β＝m g。
T f N T b
其中F 和m g始终不变，当F大小在一定范围内变化时，支持力在一定范围内变
T b
化，选项B正确；摩擦力也在一定范围内发生变化，选项D正确。
答案 BD
