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第 2 讲 电场的能的性质
知识排查
电势能、电势
1.电势能
(1)电场力做功的特点:
电场力做功与路径无关,只与初、末位置有关。
(2)电势能
①定义:电荷在电场中具有的势能,数值上等于将电荷从该点移到零势能位置时
电场力所做的功。
②电场力做功与电势能变化的关系:电场力做的功等于电势能的减少量,即W
AB
=E -E =-ΔE 。
pA pB p
2.电势
(1)定义:试探电荷在电场中某点具有的 电势能 E 与它的 电荷量 q 的比值。
p
(2)定义式:φ=。
(3)矢标性:电势是标量,有正、负之分,其正(负)表示该点电势比零电势高(低)。
(4)相对性:电势具有相对性,同一点的电势因选取零电势点的不同而不同。
3.等势面
(1)定义:电场中电势相等的各点组成的面。
(2)四个特点
①等势面一定与电场线垂直。
②在同一等势面上移动电荷时电场力不做功。
③电场线方向总是从电势高的等势面指向电势低的等势面。
④等差等势面越密的地方电场强度越大,反之越小。
电势差1.定义:电荷在电场中,由一点A移到另一点B时,电场力做功与移动电荷的电荷
量的比值。
2.定义式:U =。
AB
3.电势差与电势的关系:U =φ - φ ,U =-U 。
AB A B AB BA
匀强电场中电势差与电场强度的关系
1.电势差与电场强度的关系:匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点
沿电场线方向的距离的乘积。即U=Ed,也可以写作E=。
2.公式U=Ed的适用范围:匀强电场。
小题速练
1.思考判断
(1)电场力做功与重力做功相似,均与路径无关。( )
(2)电场中电场强度为零的地方电势一定为零。( )
(3)电势降低的方向是电场强度的方向。( )
(4)电场线与等势面在相交处垂直。( )
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√
2.如图1所示的同心圆是电场中的一簇等势线,一个电子只在电场力作用下沿着
直线由A→C运动时的速度越来越小,B为线段AC的中点,则下列说法正确的是
( )
图1
A.电子沿AC方向运动时受到的电场力越来越小
B.电子沿AC方向运动时它具有的电势能越来越大
C.电势差U =U
AB BC
D.电势φ <φ <φ
A B C
解析 该电场为负点电荷电场,电子沿AC方向运动时受到的电场力越来越大,
选项A错误;根据电子只在电场力作用下沿着直线由A→C运动时的速度越来越
小,它具有的电势能越来越大,选项B正确;由于电场为非匀强电场,电势差U
AB<U ,选项C错误;电势φ >φ >φ ,选项D错误。
BC A B C
答案 B
3.如图2所示为某静电场等势面的分布,电荷量为1.6×10-9 C的正电荷从A经
B、C到达D点,整个过程中电场力对电荷做的功为( )
图2
A.4.8×10-8 J B.-4.8×10-8 J
C.8.0×10-8 J D.-8.0×10-8 J
解析 电场力做功与路径无关,W =qU =q(φ -φ )=-4.8×10-8 J,B项正确
AD AD A D
答案 B
4.[人教版选修3-1·P ·T 改编]如图3所示,下列说法正确的是( )
22 3
图3
A.φ >φ
A B
B.负电荷在A点时的电势能大于在B点时的电势能
C.负电荷由B移动到A时静电力做正功
D.U >0
AB
答案 B
电势高低与电势能大小的判断
1.电势高低常用的两种判断方法
(1)沿电场线方向电势逐渐降低。
(2)若U >0,则φ >φ ;若U <0,则φ <φ 。
AB A B AB A B2.电势能大小的判断方法
判断
判断方法
角度
做功 电场力做正功,电势能减小;
判断法 电场力做负功,电势能增大
电荷
正电荷在电势高的地方电势能大,负电荷在电势低的地方电势能
大
电势法
由E =qφ ,将q、φ 的大小、正负号一起代入公式,E 的正值越大,
公式法 p p p p
电势能越大;E 的负值越小,电势能越大
p
能量
在电场中,若只有电场力做功时,电荷的动能和电势能相互转化,
动能增大,电势能减小;反之,电势能增大
守恒法
【例1】 (2019·河南濮阳油田一模)如图4所示,真空中等量正点电荷放置在M、
N两点,在MN连线上有对称点a、c,MN连线的中垂线上有对称点b、d,则下列
说法正确的是( )
图4
A.电荷+q在c点的电势能大于在a点的电势能
B.电荷+q在c点的电势能小于在a点的电势能
C.在MN连线的中垂线上,O点电势最高
D.电荷-q从d点由静止释放,在它从d点运动到b点的过程中,加速度先减小
再增大
解析 根据电场线的分布情况和对称性可知,a、c两点的电势相等,则点电荷在a
点的电势能一定等于在c点的电势能,故A、B错误;沿电场线方向电势降低,在
MN连线的中垂线上,O点电势最高,故C正确;由对称性知O点的电场强度为零,
电荷-q从d点由静止释放,在它从d点运动到b点的过程中,加速度可能先减小
再增大,也可能按增大→减小→增大→减小变化,故D错误。
答案 C1.(2019·广东佛山教学质检二)在维护和检修高压供电线路时,为了不影响城市
用电,电工经常要在高压线上带电作业。为了保障电工的安全,电工全身要穿上
用金属丝线编织的衣服(如图5甲)。图乙中电工站在高压直流输电线的A供电线
上作业,其头顶上方有B供电线,B供电线的电势高于A电线的电势。虚线表示电
工周围某一截面上的等差等势线,c、d、e、f是等势线上的四个点。以下说法中正
确的是( )
图5
A.在c、d、e、f四点中,c点的电场最强
B. 在c、d、e、f四点中,f点的电势最高
C. 若将某电子由c移到f,其电势能将增大
D.将某电子在d点由静止释放,它会向e点所在等势面运动
解析 等差的等势线疏密表示场强的大小,越密越大,则在c、d、e、f四点中,f点
的电场最强,故A错误;由题可知在c、d、e、f四点中,c点的电势最高,故B错误,
若将某电子由c移到f,电场力做负功,其电势能将增大,故C正确;将某电子在d
点由静止释放,它会向c点所在等势面运动,故D错误。
答案 C
2.(多选)如图6所示,实线为等量异种点电荷周围的电场线,虚线是以正点电荷
为中心的圆,M点是两点电荷连线的中点,N点在虚线上。若将一试探正点电荷
沿逆时针方向从M点经虚线移动到N点,则( )
图6
A.电荷所受电场力逐渐减小
B.电荷所受电场力大小不变C.电荷将克服电场力做功
D.电荷的电势能保持不变
解析 根据电场线的疏密程度反映电场强度的大小可得,将一试探正点电荷沿逆
时针方向从M点经虚线移动到N点,电荷所受电场力逐渐减小,选项A正确,B
错误;电场强度的方向为电场线上该点的切线方向,正点电荷所受电场力的方向
为该点电场强度的方向,而速度的方向为运动轨迹上某一点的切线方向,据此可
知电场力的方向与运动的方向夹角为钝角,即电场力做负功,电势能增加,选项
C正确,D错误。
答案 AC
电势差与电场强度的关系
1.公式E=的三点注意
(1)只适用于匀强电场。
(2)d为某两点沿电场强度方向上的距离,或两点所在等势面之间的距离。
(3)电场强度的方向是电势降低最快的方向。
2.由E=可推出的两个重要推论
推论1 匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φ =,如图7甲所示。
C
推论2 匀强电场中若两线段AB∥CD,且AB=CD,则U =U (或φ -φ =φ
AB CD A B C
-φ ),如图7乙所示。
D
甲 乙
图7
3.解题思路【例2】 (多选)(2017·全国卷Ⅲ,21)一匀强电场的方向平行于xOy平面,平面内
a、b、c三点的位置如图8所示,三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正
确的是( )
图8
A.电场强度的大小为2.5 V/cm
B.坐标原点处的电势为1 V
C.电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D.电子从b点运动到c点,电场力做功为9 eV
解析 如图所示,设a、c之间的d点电势与b点电势相同,则==,所以d点的坐
标为(3.5 cm,6 cm),过c点作等势线bd的垂线,电场强度的方向由高电势指向低
电势。由几何关系可得,cf的长度为3.6 cm,电场强度的大小E== V/cm=2.5
V/cm,故选项A正确;因为Oacb是矩形,所以有U =U ,可知坐标原点O处的
ac Ob
电势为1 V ,故选项B正确;a点电势比b点电势低7 V,电子带负电,所以电子在
a点的电势能比在b点的高7 eV,故选项C错误;b点电势比c点电势低9 V,电
子从b点运动到c点,电场力做功为9 eV,故选项D正确。
答案 ABD
1.如图9所示,在某电场中画出了三条电场线,C点是A、B连线的中点。已知A
点的电势φ =30 V,B点的电势φ =-10 V,则C点的电势( )
A B图9
A.φ =10 V
C
B.φ >10 V
C
C.φ <10 V
C
D.上述选项都不正确
答案 C
2.(多选)(2018·全国卷Ⅱ,21)如图10,同一平面内的a、b、c、d四点处于匀强电场
中,电场方向与此平面平行,M为a、c连线的中点,N为b、d连线的中点。一电荷
量为q(q>0)的粒子从a点移动到b点,其电势能减小W ;若该粒子从c点移动到
1
d点,其电势能减小W 。下列说法正确的是( )
2
图10
A.此匀强电场的场强方向一定与a、b两点连线平行
B.若该粒子从M点移动到N点,则电场力做功一定为
C.若c、d之间的距离为L,则该电场的场强大小一定为
D.若W =W ,则a、M两点之间的电势差一定等于b、N两点之间的电势差
1 2
解析 由题意得(φ -φ )q=W ,(φ -φ )q=W ,只能得出a、b两点间和c、d两点
a b 1 c d 2
间的电势关系,无法确定场强的方向,选项A错误;若c、d之间的距离为L,因无
法确定场强的方向,故无法确定场强的大小,选项C错误;由于φ =、φ =、W
M N MN
=q(φ -φ ),上述式子联立求解得粒子从M点移动到N点电场力做的功为W
M N MN
=,选项B正确;若W =W ,有φ -φ =φ -φ ,变形可得φ -φ =φ -φ ,又φ -
1 2 a b c d a c b d a
φ =φ -=,φ -φ =φ -=,所以φ -φ =φ -φ ,选项D正确。
M a b N b a M b N
答案 BD电场线、等势面和带电粒子轨迹问题
1.带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
(1)从轨迹的弯曲方向判断受力方向(轨迹向合外力方向弯曲),从而分析电场方向
或电荷的正负。
(2)结合轨迹、速度方向与静电力的方向,确定静电力做功的正负,从而确定电势
能、电势和电势差的变化等。
(3)根据动能定理或能量守恒定律判断动能的变化情况。
2.求电场力做功的四种方法
(1)定义式:W =Flcos α=qElcos α(适用于匀强电场)。
AB
(2)电势的变化:W =qU =q(φ -φ )。
AB AB A B
(3)动能定理:W +W =ΔE 。
电 其他 k
(4)电势能的变化:W =-ΔE =E -E 。
AB p pA pB
3.电场中的功能关系
(1)若只有电场力做功,则电势能与动能之和保持不变。
(2)若只有电场力和重力做功,则电势能、重力势能、动能之和保持不变。
(3)除重力、弹力外,其他各力对物体做的功等于物体机械能的增量。
(4)所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化。
【例3】 (2018·天津理综,3)如图11所示,实线表示某电场的电场线(方向未标出)
虚线是一带负电的粒子只在电场力作用下的运动轨迹,设M点和N点的电势分
别为φ 、φ ,粒子在M和N时加速度大小分别为a 、a ,速度大小分别为 、 ,
M N M N vM vN
电势能分别为E 、E 。下列判断正确的是( )
pM pN
图11
A. < ,a 。综上所述,选项D正确。
vM vN
答案 D
电场中轨迹类问题的思维模板
1. (2019·湖北襄阳五中模拟)如图12所示,虚线a、b、c是电场中的一簇等势线(相
邻等势线之间的电势差相等),实线为一α粒子(He核,重力不计)仅在电场力作用
下通过该区域时的运动轨迹,P、Q是这条轨迹上的两点,据此可知( )
图12
A.a、b、c三条等势线中,a的电势最高
B.电子在P点具有的电势能比在Q点具有的电势能小
C.α粒子在P点的加速度大小比在Q点的加速度大小大
D.α粒子一定是从P点向Q点运动
解析 电荷所受电场力指向轨迹内侧,由于α粒子带正电,因此电场线指向左上
方,沿电场线方向电势降低,故c等势线的电势最高,a等势线的电势最低,选项
A错误;Q点电势高于P点,则电子在P点具有的电势能比在Q点具有的电势能
大,选项B错误;P点所在位置的等势线较Q点密集,则电场线较Q点密集,则P点的场强较大,即α粒子在P点的加速度大小比在Q点的加速度大小大,选项C
正确;根据题中信息,不能确定α粒子一定是从P点运动到Q点,选项D错误。
答案 C
2.(多选) (2018·全国卷Ⅰ,21)图13中虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等
的一组等势面,已知平面b上的电势为2 V。一电子经过a时的动能为10 eV,从a
到d的过程中克服电场力所做的功为6 eV。下列说法正确的是( )
图13
A.平面c上的电势为零
B.该电子可能到达不了平面f
C.该电子经过平面d时,其电势能为4 eV
D.该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍
解析 电子在等势面b时的电势能为E=qφ=-2 eV,电子由a到d的过程电场
力做负功,电势能增加6 eV,由于相邻两等势面之间的距离相等,故相邻两等势
面之间的电势差相等,则电子由a到b、由b到c、由c到d、由d到f电势能均增加
2 eV,则电子在等势面c的电势能为零,等势面c的电势为零,A正确;由以上分
析可知,电子在等势面d的电势能应为2 eV,C错误;电子在等势面b的动能为8
eV,电子在等势面d的动能为4 eV,由公式E =m 2可知,该电子经过平面b时的
k v
速率为经过平面d时速率的倍,D错误;如果电子的速度与等势面不垂直,则电子
在该匀强电场中做曲线运动,所以电子可能到达不了平面f就返回平面a,B正确。
答案 AB电场中常考的“四类”图象问题
1. -t图象
v
(1)根据 -t图象中速度变化、斜率确定电荷所受电场力的方向与大小变化。
v
(2)由电场力方向确定电场的方向、电势高低及电势能变化。
2.φ-x图象
(1)描述电势随位移变化的规律。
(2)根据电势的高低可以判断电场强度的方向。
(3)根据E=,图象φ-x的斜率为电场强度。
3.E-x图象
(1)描述电场强度随位移变化的规律。
(2)场强E正负表示场强的方向。
(3)图线与x轴围成的“面积”表示电势差。
4.E -x图象
p
(1)描述电势能随位移变化的规律。
(2)根据电势能的变化可以判断电场力做功的正、负。
(3)根据W=ΔE =Fx,图象E -x的斜率为电场力。
p p
【例4】 (多选)(2017·全国卷Ⅰ,20)在一静止点电荷的电场中,任一点的电势φ
与该点到点电荷的距离r的关系如图14所示。电场中四个点a、b、c和d的电场
强度大小分别为E 、E 、E 和E 。点a到点电荷的距离r 与点a的电势φ 已在图
a b c d a a
中用坐标(r ,φ )标出,其余类推。现将一带正电的试探电荷由a点依次经b、c点
a a
移动到d点,在相邻两点间移动的过程中,电场力所做的功分别为W 、W 和
ab bc
W 。下列选项正确的是( )
cd
图14A.E ∶E =4∶1 B.E ∶E =2∶1
a b c d
C.W ∶W =3∶1 D.W ∶W =1∶3
ab bc bc cd
解析 由图可知,a、b、c、d到点电荷的距离分别为1 m、2 m、3 m、6 m,根据点电
荷的场强公式E=k可知,==,==,故A正确,B错误;电场力做功W=qU,a
与b、b与c、c与d之间的电势差分别为3 V、1 V、1 V,所以=,=,故C正确,D
错误。
答案 AC
解答图象题要注意以下三方面
(1)分析图象找出带电粒子或带电体的运动规律是解题的突破点。
(2)注意分析图象特点,找出图象的斜率、截距等,明确其意义,如E -x的斜率表
p
示带电粒子受到的电场力,根据斜率的变化规律可以分析出物体受力情况、加速
度情况等。
(3)分析图象时注意与动能定理、功能关系、能量守恒定律或牛顿运动定律相结合
找出图象的数学表达式或物理量的变化规律。
1.一带负电粒子在电场中仅受静电力作用沿x轴正方向做直线运动的 -t图象
v
如图15所示,起始点O为坐标原点,下列关于电势φ、粒子的动能E 、电场强度
k
E、粒子加速度a与位移x的关系图象中可能合理的是( )
图15
解析 由 -t图象可知速度减小,且加速度逐渐减小,电场力做负功,动能逐渐
v减小,而电场强度E==,所以沿+x方向场强逐渐减小,则电势不是均匀减小,
所以A、B、D错误,C可能合理。
答案 C
2.(多选)一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正方向运动,其电势能E 随位
p
移x的变化关系如图16所示,则下列说法正确的是( )
图16
A.粒子从x 处运动到x 处的过程中电场力做正功
1 2
B.x 、x 处电场强度方向沿x轴正方向
1 2
C.x 处的电场强度大小大于x 处的电场强度大小
1 2
D.x 处的电势比x 处的电势低
1 2
解析 由于粒子从x 运动到x ,电势能减小,因此电场力做正功,粒子所受电场
1 2
力的方向沿x轴正方向,电场强度方向沿x轴负方向,选项A正确,B错误;由
ΔE =qEΔx,即qE=,由于x 处的图线斜率的绝对值小于x 处图线斜率的绝对值
p 1 2
因此x 处的电场强度大小小于x 处的电场强度大小,选项C错误;沿着电场线方
1 2
向电势降低,故x 处的电势比x 处的电势低,选项D正确。
1 2
答案 AD
3.真空中相距为3a的两个点电荷A和B,分别固定于x轴上x =0和x =3a的两
1 2
点,在二者连线上各点场强随x变化的关系如图17所示,以下说法正确的是(
)
图17
A.二者一定是异种电荷
B.x=a处的电势一定为零
C.x=2a处的电势一定大于零D.A、B的电荷量之比为1∶4
解析 两点电荷连线中某点,电场强度E=0,说明两点电荷在该点产生的场强等
大反向,故两点电荷一定为同种电荷,A项错误;由场强公式可知,k=k,故
Q ∶Q =1∶4,D项正确;若两点电荷均为正点电荷,则连线上各点电势均大于
A B
零,B项错误;若两点电荷均为负点电荷,则连线上各点电势均小于零,C项错误。
答案 D
课时作业
(时间:40分钟)
基础巩固练
1.(2018·河北石家庄二模)如图1所示,实线为某电场的电场线,虚线表示该电场
的等势面,A、B、C是电场中的三点,下列说法正确的是( )
图1
A.三点中,B点的电场强度最大
B.三点中,A点的电势最高
C.将一带负电的检验电荷从A移动到B,电势能增大
D.将一带正电的检验电荷从A移动到B和从A移动到C,电势能的变化相同
答案 D
2.(多选)某电场在直角坐标系中的电场线分布情况如图2所示,O、M、N为电场
中的三个点,则由图可得( )图2
A.M点的场强小于N点的场强
B.M点的电势低于N点的电势
C.将一负电荷由O点移到M点电势能增加
D.将一正电荷从O点分别移到M点和N点,电场力做功相同
解析 电场线的疏密表示场强的大小,M点的场强大于N点的场强,选项A错误;
x轴、y轴处处与场强垂直,则x轴、y轴为等势线,沿着电场线的方向电势逐渐降
低,M点的电势低于N点的电势,选项B正确;将一负电荷由O点移到M点电场
力做负功,电势能增加,选项C正确;将一正电荷由O点移到M点电场力做正功,
将一正电荷由O点移到N点电场力不做功,选项D错误。
答案 BC
3.(多选) (2019·河北唐山期末)如图3所示,虚线a、b、c、d、e代表电场中的五个等
势面,相邻等势面之间的电势差相等,实线为一带正电的粒子仅在电场力作用下
通过该区域时的运动轨迹,P、Q是这条轨迹上的两点,据此可知 ( )
图3
A.五个等势面中,a的电势最高
B.带电粒子通过P点时的电势能较Q点大
C.带电粒子通过P点时的动能较Q点大
D.带电粒子通过P点时的加速度较Q点小
解析 由等势面及轨迹与力的关系可知五个等势面中,e的电势最高,故A错误;
粒子由P到Q过程电场力做负功,动能减小,电势能增大,故B错误,C正确;电势差相等的等势面越密,电场强度越大,加速度越大,故D正确。
答案 CD
4.(2019·福建福州质检)电场中某三条等势线如图4中实线a、b、c所示。一电子仅
在电场力作用下沿直线从P运动到Q,已知电势φ >φ >φ ,这一过程电子运动的
a b c
-t图象可能是下图中的( )
v
图4
解析 结合φ >φ >φ ,由题图等势线的特点可确定此电场为非匀强电场,且Q点
a b c
处电场强度小于P点处电场强度,电子仅在电场力作用下沿直线从P运动到Q,
做加速度越来越小的加速运动,选项A正确。
答案 A
5.(多选) (2019·河北唐山一模)如图5所示,匀强电场中的A、B、C、D点构成一位
于纸面内的平行四边形,电场强度的方向与纸面平行,已知A、B两点的电势分别
为φ =12 V,φ =6 V,则C、D两点的电势可能分别为 ( )
A B
图5
A.9 V、18 V B.9 V、15 V
C.0 V、6 V D.6 V、0 V
解析 由于AB∥CD,且AB=CD,则U =U ,即φ -φ =φ -φ =6 V,所以
AB DC A B D C
B、C正确,A、D错误。
答案 BC
6.(多选)(2017·江苏单科,8)在x轴上有两个点电荷q 、q ,其静电场的电势φ在x
1 2
轴上分布如图6所示。下列说法正确的有( )图6
A.q 和q 带有异种电荷
1 2
B.x 处的电场强度为零
1
C.负电荷从x 移到x ,电势能减小
1 2
D.负电荷从x 移到x ,受到的电场力增大
1 2
解析 由x 处电势为零可知,两点电荷q 和q 带有异种电荷,选项A正确;在φ
1 1 2
-x图象中,图象切线的斜率表示电场强度,则x 处的电场强度不为零,选项B错
1
误;且有x 到x 电场强度逐渐减小,负电荷受到的电场力逐渐减小,选项D错误;
1 2
由E =φq可知,负电荷在电势高处的电势能小,负电荷从x 移到x ,电势能减小,
p 1 2
选项C正确。
答案 AC
7.(多选)静电场在x轴上的场强E随x的变化关系如图7所示,x轴正向为场强正
方向,带正电的点电荷沿x轴运动,则点电荷( )
图7
A.在x 和x 处电势能相等
2 4
B.由x 运动到x 的过程中电势能增大
1 3
C.由x 运动到x 的过程中电场力先增大后减小
1 4
D.由x 运动到x 的过程中电场力先减小后增大
1 4
解析 由题图可知,x 到x 场强先变大,再变小,则点电荷受到的电场力先增大
1 4
后减小,C正确,D错误;由x 到x 及由x 到x 过程中,电场力做负功,电势能增
1 3 2 4
大,知A错误,B正确。
答案 BC
8.(多选)(2017·天津理综,7)如图8所示,在点电荷Q产生的电场中,实线MN是一条方向未标出的电场线,虚线AB是一个电子只在静电力作用下的运动轨迹。
设电子在A、B两点的加速度大小分别为a 、a ,电势能分别为E 、E 。下列说法
A B pA pB
正确的是( )
图8
A.电子一定从A向B运动
B.若a >a ,则Q靠近M端且为正电荷
A B
C.无论Q为正电荷还是负电荷一定有E a ,说明电子在A点
A B
受到的电场力较大,A点的电场强度较大,根据点电荷的电场分布可知,靠近M
端为场源电荷的位置,应为正电荷,故选项B正确;无论Q为正电荷还是负电荷,
一定有电势φ >φ ,电子电势能E =-eφ,电势能是标量,所以一定有E