文档内容
第 2 讲 抛体运动的规律及应用
知识排查
平抛运动
1.定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在重力作用下的运动。
2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，其运动轨迹是抛物线。
3．平抛运动的条件：(1) ≠0，沿水平方向；(2)只受重力作用。
v0
平抛运动的规律(如图1所示)
图1
1．速度关系
2．位移关系
3．两个重要推论
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻，设其速度方向与水平方向的夹角为
θ，位移方向与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan__α。(2)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此
时水平位移的中点，则x＝2OB。
斜抛运动
1.定义：将物体以初速度 沿斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的
v0
运动。
2．性质：加速度为 重力加速度 g 的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。
小题速练
1．思考判断
(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。( )
(2)平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化。(
)
(3)两个做平抛运动的物体，初速度大的落地时速度大。( )
(4)做平抛运动的物体初速度越大，在空中运动的时间越短。( )
(5)无论初速度是斜向上方还是斜向下方的斜抛运动都是匀变速曲线运动。( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
2．(多选)[人教版必修2·P “做一做”改编]为了验证平抛运动的小球在竖直方向
10
上做自由落体运动，用如图2所示的装置进行实验。小锤打击弹性金属片，A球水
平抛出，同时B球被松开，自由下落，关于该实验，下列说法正确的有( )
图2
A．两球的质量应相等
B．两球应同时落地
C．应改变装置的高度，多次实验
D．实验也能说明A球在水平方向上做匀速直线运动解析 小锤打击弹性金属片后，A球做平抛运动，B球做自由落体运动。A球在竖
直方向上的运动情况与B球相同，做自由落体运动，因此两球同时落地。实验时，
需A、B两球从同一高度开始运动，对质量没有要求，但两球的初始高度及打击力
度可以有变化，实验时要进行3～5次得出结论。本实验不能说明A球在水平方向
上的运动性质，故选项B、C正确，A、D错误。
答案 BC
3．(多选)某人向放在水平地面上正前方的小桶中水平抛球，结果球划着一条弧线
飞到小桶的前方，如图3所示。不计空气阻力，为了能把小球抛进小桶中，则下次
再水平抛球时，可能做出的调整为( )
图3
A．减小初速度，抛出点高度不变
B．增大初速度，抛出点高度不变
C．初速度大小不变，降低抛出点高度
D．初速度大小不变，提高抛出点高度
答案 AC
平抛运动的规律及应用
1．飞行时间：由t＝知，平抛运动的时间取决于下落高度h，与初速度 无关。
v0
2．水平射程：x＝ t＝ ，即水平射程由初速度 和下落高度h共同决定，与其他
v0 v0 v0
因素无关。
3．落地速度： ＝＝，以θ表示落地速度与x轴正方向间的夹角，有tan θ＝＝，
v
所以落地速度只与初速度 和下落高度h有关。
v0
4．速度改变量：物体在任意相等时间内的速度改变量Δ ＝gΔt相同，方向恒为竖
v直向下，如图4所示。
图4
【例1】 (2018·河北唐山三模)如图5所示，虚线是小球由空中某点水平抛出的运
动轨迹，A、B为其运动轨迹上的两点。小球经过A点时，速度大小为10 m/s、与竖
直方向夹角为60°；它运动到B点时，速度方向与竖直方向夹角为30°，不计空气
阻力，取重力加速度g＝10 m/s2。下列说法中正确的是 ( )
图5
A．小球通过B点的速度为12 m/s
B．小球的抛出速度为5 m/s
C．小球从A点运动到B点的时间为1 s
D．A、B之间的距离为6 m
解析 由平抛运动规律知 ＝ sin 60°， ＝ sin 30°，解得 ＝5 m/s， ＝10
v0 vA v0 vB v0 vB
m/s，选项A、B错误；竖直速度 ＝ cos 60°， ＝ cos 30°， ＝ ＋gt，解得t
vAy vA vBy vB vBy vAy
＝1 s，选项C正确；由 － ＝2gy，x＝ t，s＝，解得s＝5 m，选项D错误。
v v v0
答案 C
“化曲为直”思想在平抛运动中的应用根据运动效果的等效性，利用运动分解的方法，将其转化为我们所熟悉的两个方
向上的直线运动：
(1)水平方向的匀速直线运动。
(2)竖直方向的自由落体运动。
1．(2017·全国卷Ⅰ，15)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同
的乒乓球(忽略空气的影响)。速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球
网；其原因是( )
A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多
B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大
C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少
D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大
解析 由题意知，两个乒乓球均做平抛运动，则根据h＝gt2及 ＝2gh可知，乒乓
v
球的运动时间、下降的高度及竖直方向速度的大小均与水平速度大小无关，故选
项A、B、D均错误；由发出点到球网的水平位移相同时，速度较大的球运动时间
短，在竖直方向下落的距离较小，可以越过球网，故选项C正确。
答案 C
2．如图6所示，A、B两个小球在同一竖直线上，离地高度分别为2h和h，将两球
水平抛出后，两球落地时的水平位移之比为1∶2，则下列说法正确的是 ( )
图6
A．A、B两球的初速度之比为1∶4
B．A、B两球的初速度之比为1∶2
C．若两球同时抛出，则落地的时间差为
D．若两球同时落地，则两球抛出的时间差为(－1)解析 由x＝ t和y＝gt2知 ＝＝， ＝＝x，因此两球的初速度之比为1∶2，A、
v0 v1 v2
B项错误；若两球同时抛出，则落地的时间差为－＝(－1)，C项错误；若两球同时
落地，则两球抛出的时间差也为(－1)，D项正确。
答案 D
与斜面相关联的平抛运动
常见模型
方法 内容 斜面 总结
水平： ＝
vx v0
分解 竖直：
vy
＝gt
速度方向与θ有关，分解
速度 速度，构建速度三角形
合速度：
＝
v
水平：x＝ t
v0
分解
竖直：y＝gt2 位移方向与θ有关，分解
位移 位移，构建位移三角形
合位移：
s＝
【例2】 (2019·河南信阳一模)如图7所示，一名跳台滑雪运动员经过一段时间的
加速滑行后从O点水平飞出，经过3 s落到斜坡上的A点。已知O点是斜坡的起
点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，不计空气阻力(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取
10 m/s2)。则运动员落到斜坡上时速度方向与水平方向的夹角φ满足( )
图7
A．tan φ＝1.33 B．tan φ＝1.44
C．tan φ＝1.50 D．tan φ＝2.00解析 运动员落到斜坡上的瞬间，对其速度进行分解，如图所示。竖直分速度
vy
＝gt，与水平分速度 的比值tan φ＝＝；竖直分位移y＝gt2，与水平分位移x＝ t
v0 v0
的比值tan θ＝＝，可见tan φ＝2tan θ＝1.50，选项C正确。
答案 C
【拓展】 在【例2】中，若运动员从O点飞出的初速度为20 m/s，则运动员离开O
点后离斜坡的最远距离为( )
A．30 m B．15 m C．18 m D．9 m
解析 将运动员的初速度 和加速度g分别沿垂直于斜面和平行于斜面方向进
v0
行分解，如图所示，初速度 沿垂直斜面方向上的分量为 ＝ sin θ，加速度g在
v0 v1 v0
垂直于斜面方向上的分量为a ＝gcos θ，根据分运动各自独立的原理可知，离斜
1
面的最大距离仅由 和a 决定，当垂直于斜面的分速度的大小减为零时，运动员
v1 1
离斜面的距离最大，最大距离d＝＝＝9 m。选项D正确。
答案 D
与斜面相关联的平抛运动的分解方法与技巧
(1)如果知道速度的大小或方向，应首先考虑分解速度。
(2)如果知道位移的大小或方向，应首先考虑分解位移。
(3)两种分解方法
①沿水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动；②沿斜面方向的匀加速运动和垂直斜面方向的匀减速运动。
1．(2019·河南高三教学质检)如图8所示，斜面体ABC固定在水平地面上，斜面的
高AB为 m，倾角为θ＝37°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，且D是斜面的中点，在A
点和D点分别以相同的初速度水平抛出相同的小球，结果两个小球恰能落在地
面上的同一点，则落地点到C点的水平距离为( )
图8
A. m B. m C. m D. m
解析 设AB高为h，落地点到C点的距离为x，由 ＝和题意知＝，解得x＝ m，
v0
D正确。
答案 D
2．(多选)如图9，小球在倾角为θ的斜面上方O点处以速度 水平抛出，落在斜
v0
面上的A点时速度的方向与斜面垂直，重力加速度为g，根据上述条件可以求出(
)
图9
A．小球由O点到A点的时间
B．O点距离地面的高度
C．小球在A点速度的大小
D．小球从O点到A点的水平距离
解析 小球速度方向与斜面垂直，根据平行四边形定则知，tan θ＝，故t＝，选项
A正确；由时间t可根据y＝gt2求得小球下降高度，而计算不出O点离地面高度，选项B错误；由平行四边形定则知 ＝，选项C正确；小球从O点到A点的水平
vA
距离x＝ t＝，选项D正确。
v0
答案 ACD
生活中的平抛运动问题
平抛运动与日常生活紧密联系，如乒乓球、足球、排球等运动模型，飞镖、射击、飞
机投弹模型等。这些模型经常受到边界条件的制约，如网球是否触网或越界、飞
镖是否能中靶心、飞机投弹是否能命中目标等。解题的关键在于能准确地运用平
抛运动的规律分析对应的运动特征。
1．[滑雪运动]2022年冬奥会将在中国举办的消息，吸引了大量爱好者投入到冰雪
运动中。若跳台滑雪比赛运动员从平台飞出后可视为平抛运动，现运动员甲以一
定的初速度从平台飞出，轨迹为图10中实线①所示，则质量比甲大的运动员乙以
相同的初速度从同一位置飞出，其运动轨迹应为图中的( )
图10
A．① B．② C．③ D．④
解析 根据平抛运动规律可知，平抛运动轨迹只与初速度有关，与物体质量无关，
所以质量比甲大的运动员乙以相同的初速度从同一位置飞出时，其运动轨迹应为
图中的①，选项A正确。
答案 A
2．[排球的平抛运动]如图11所示是排球场的场地示意图，设排球场的总长为L，
前场区的长度为，网高为h，在排球比赛中，对运动员的弹跳水平要求很高。如果
运动员的弹跳水平不高，运动员的击球点的高度小于某个临界值H，那么无论水
平击球的速度多大，排球不是触网就是越界。设某一次运动员站在前场区和后场区的交界处，正对网前竖直跳起垂直网将排球水平击出，关于该种情况下临界值
H的大小，下列关系式正确的是( )
图11
A．H＝H B．H＝h
C．H＝h D．H＝h
解析 将排球水平击出后排球做平抛运动，排球刚好触网到达底线时，则有＝ ，
v0
＋＝ ，联立解得H＝h，故选项C正确。
v0
答案 C
3．[乒乓球的平抛运动]如图12所示，球网高出桌面H，网到桌边的距离为L，某人
在乒乓球训练中，从左侧处，将球沿垂直于网的方向水平击出，球恰好通过网的
上沿落到右侧边缘，设乒乓球的运动为平抛运动，下列判断正确的是( )
图12
A．击球点的高度与网高度之比为2∶1
B．乒乓球在网左、右两侧运动时间之比为2∶1
C．乒乓球过网时与落到右侧桌边缘时速率之比为1∶2
D．乒乓球在左、右两侧运动速度变化量之比为1∶2
解析 因为水平方向做匀速运动，网右侧的水平位移是左侧水平位移的两倍，所
以网右侧运动时间是左侧的两倍，竖直方向做自由落体运动，根据h＝gt2可知，
击球点的高度与网高之比为9∶8，故选项A、B错误；球恰好通过网的上沿的时
间为落到右侧桌边缘的时间的，竖直方向做自由落体运动，根据 ＝gt可知，球恰
v
好通过网的上沿的竖直分速度与落到右侧桌边缘的竖直分速度之比为1∶3，根据 ＝可知，乒乓球过网时与落到桌边缘时速率之比不是1∶2，故选项C错误；
v
网右侧运动时间是左侧的两倍，Δ ＝gt，所以乒乓球在左、右两侧运动速度变化
v
量之比为1∶2，故选项D正确。
答案 D
4．[网球的平抛运动]一位网球运动员以拍击球，使网球沿水平方向飞出。第一只
球飞出时的初速度为 ，落在自己一方场地B点后，弹跳起来，刚好擦网而过，落
v1
在对方场地的A点处。如图13所示，第二只球飞出时的初速度为 ，直接擦网而
v2
过，也落在A点处。设球与地面碰撞时没有能量损失，且不计空气阻力，求：
图13
(1)网球两次飞出时的初速度之比 ∶ ；
v1 v2
(2)运动员击球点的高度H、网高h之比H∶h。
解析 (1)第一、二两只球被击出后都做平抛运动，由平抛运动的规律可知，两球
分别被击出至各自第一次落地的时间是相等的。由题意知水平射程之比为x ∶x
1 2
＝1∶3，故平抛运动的初速度之比为 ∶ ＝1∶3。
v1 v2
(2)第一只球落地后反弹做斜抛运动，根据运动对称性可知DB段和OB段是相同
的平抛运动，则两球下落相同高度H－h后水平距离x ′＋x ′＝2x ，根据公式H＝
1 2 1
gt，H－h＝gt，而x ＝ t ，x ′＝ t ，x ′＝ t ，综合可得 t ＋ t ＝2 t ，故t ＝2t ，
1 v1 1 1 v1 2 2 v2 2 v1 2 v2 2 v1 1 1 2
即H＝4(H－h)，解得H∶h＝4∶3。
答案 (1)1∶3 (2)4∶3平抛运动中临界问题的分析方法
求解平抛运动临界问题的一般思路
(1)确定临界状态。
(2)找出临界状态对应的临界条件。
(3)分解速度或位移。
(4)若有必要，画出临界轨迹。
1．如图14所示是消防车利用云梯(未画出)进行高层灭火，消防水炮离地的最大
高度H＝40 m，出水口始终保持水平且出水方向可以水平调节，着火点在高h＝
20 m的楼层，水水平射出的初速度在5 m/s≤ ≤15 m/s之间，可进行调节，出水
v0
口与着火点不能靠得太近，不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2，则( )
图14
A．如果要有效灭火，出水口与着火点的水平距离x最大为40 m
B．如果要有效灭火，出水口与着火点的水平距离x最小为10 m
C．如果出水口与着火点的水平距离x不能小于15 m，则射出水的初速度最小为5
m/s
D．若该着火点高度为40 m，该消防车仍能有效灭火
解析 出水口与着火点之间的高度差为 Δh＝20 m，又 Δh＝gt2，t＝2 s，又 5
m/s≤ ≤15 m/s，因此出水口与着火点的水平距离x的范围为10 m≤x≤30 m，
v0
故A错误，B正确；如果出水口与着火点的水平距离不能小于15 m，则最小出水
速度为7.5 m/s，故C错误；如果着火点高度为40 m，保持出水口水平，则水不能
到达着火点，故D错误。
答案 B2．(2016·浙江理综，23)在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图
15所示。P是一个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒。高
度为h的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也
为h。
图15
(1)若微粒打在探测屏AB的中点，求微粒在空中飞行的时间；
(2)求能被屏探测到的微粒的初速度范围；
(3)若打在探测屏A、B两点的微粒的动能相等，求L与h的关系。
解析 (1)打在中点的微粒h＝gt2①
t＝②
(2)打在B点的微粒 ＝，2h＝gt③
v1
＝L④
v1
同理，打在A点的微粒初速度 ＝L⑤
v2
微粒初速度范围L≤ ≤L⑥
v
(3)由能量关系m ＋mgh＝m ＋2mgh⑦
v v
联立④⑤⑦式解得L＝2h⑧
答案 (1) (2)L≤ ≤L
v
(3)L＝2h课时作业
(时间：30分钟)
基础巩固练
1．(2019·广西博白期末)物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角θ的
正切tan θ随时间t的变化图象中，正确的是( )
解析 tan θ＝＝＝t，为定值，tan θ与t成正比，故B正确。
答案 B
2．在地面上方某一点将一小球以一定的初速度沿水平方向抛出，不计空气阻力，
则小球在随后的运动中( )
A．速度和加速度的方向都在不断变化
B．速度与加速度方向之间的夹角一直减小
C．在相等的时间间隔内，速率的改变量相等
D．在相等的时间间隔内，动能的改变量相等
解析 由于物体做平抛运动，故物体只受重力作用，加速度不变，速度的大小和
方向时刻在变化，故选项A错误；设某时刻速度与竖直方向夹角为θ，则tan θ＝
＝，随着时间t的变大，故tan θ变小，则θ变小，故选项B正确；根据加速度定义
式a＝＝g，则Δ ＝gΔt，即在相等的时间间隔内，速度的改变量相等，故选项C错
v
误；根据动能定理，在相等的时间间隔内，动能的改变量等于重力的功，即W ＝
G
mgh，而平抛运动在相等时间内竖直方向上的位移不相等，故选项D错误。
答案 B
3．如图1所示，甲、乙两小球从竖直平面内的半圆轨道的左端A开始做平抛运动，
甲球落在轨道最低点D，乙球落在D点右侧的轨道上。设甲、乙两球的初速度分
别为 、 ，在空中运动的时间分别为t 、t ，则下列判断正确的是( )
v甲 v乙 甲 乙图1
A．t ＝t B．t ＜t
甲 乙 甲 乙
C． ＞ D． ＜
v甲 v乙 v甲 v乙
解析 根据平抛运动规律，小球在空中运动的时间仅由下落高度决定，乙球下落
高度小于甲，故t ＜t ，选项A、B错误；水平位移x＝ t，而x ＞x ，t ＜t ，所
乙 甲 v 乙 甲 乙 甲
以 ＜ ，选项D正确，C错误。
v甲 v乙
答案 D
4．“套圈”是游戏者站在界线外将圆圈水平抛出，套中前方水平地面上的物体。
某同学在一次“套圈”游戏中，从P点以某一速度水平抛出的圆圈越过了物体正
上方落在地面上(如图2所示)。为套中物体，下列做法可行的是(忽略空气阻力)(
)
图2
A．从P点正前方，以原速度水平抛出
B．从P点正下方，以原速度水平抛出
C．从P点正上方，以原速度水平抛出
D．从P点正上方，以更大速度水平抛出
解析 由于抛出的圆圈做平抛运动，由平抛运动的规律可知，圆圈在竖直方向做
自由落体运动，则h＝gt2，水平方向做匀速直线运动，则x＝ t，解得x＝ ，由题意
v v
圆圈越过了物体正上方落在地面上，欲使圆圈套中物体，应减小水平方向的位移若从P点的正前方以原速度水平抛出，则圆圈仍落在物体的前方，选项A错误；
降低圆圈抛出点的高度以原速度水平抛出，圆圈的运动时间减少，则圆圈可能套
中物体，选项B正确；如果增加抛出点的高度，欲使圆圈套中物体，则应减小水平
抛出时的速度，选项C、D错误。
答案 B
5．(2019·广西河池模拟)A、D分别是斜面的顶端、底端，B、C是斜面上的两个点，
AB＝BC＝CD，E点在D点的正上方，与A等高，从E点水平抛出质量相等的两个
小球，球1落在B点，球2落在C点，关于球1和球2从抛出到落在斜面上的运动
过程，下列说法正确的是( )
图3
A．球1和球2运动的时间之比为2∶1
B．球1和球2动能增加量之比为1∶3
C．球1和球2抛出时初速度之比为2∶1
D．球1和球2运动时的加速度之比为1∶2
解析 因为AC＝2AB，则A、C的高度差是A、B高度差的2倍，根据h＝gt2得t
＝，解得球1和球2运动的时间之比为1∶，故A错误；根据动能定理得mgh＝
ΔE ，知球1和球2动能增加量之比为1∶2，故B错误；球1的水平距离是球2的
k
水平距离的2倍，结合x＝ t，解得初速度之比为2∶1，故C正确；平抛运动的物
v0
体只受重力，加速度为g，故两球的加速度相同，故D错误。
答案 C
6．(多选)(2019·河北石家庄检测)如图4所示，甲球从O点以水平速度 抛出，落
v1
在水平地面上的A点。乙球从O点以水平速度 抛出，落在水平地面上的B点反
v2
弹后恰好也落在A点。已知乙球在B点与地面碰撞反弹后瞬间水平方向的分速度
不变，竖直方向的分速度方向相反、大小不变，不计空气阻力。下列说法正确的是( )
图4
A．由O点到A点，甲球运动时间与乙球运动时间相等
B．甲球由O点到A点的水平位移是乙球由O点到B点水平位移的3倍
C． ∶ ＝3∶1
v1 v2
D． ∶ ＝2∶1
v1 v2
解析 根据题意和平抛运动规律，由O点到A点，甲球运动时间是乙球运动时间
的，选项A错误；甲球由O点到A点的水平位移是乙球由O点到B点水平位移的
3倍，选项B正确；甲球从O点到A点，乙球从O点到B点，运动时间相等，由x＝
t可知，甲、乙水平速度之比为 ∶ ＝3∶1，选项C正确，D错误。
v v1 v2
答案 BC
综合提能练
7．(多选)(2019·名师原创预测)如图5所示，将一可视为质点的小球从地面上方的
O点(O点未画出)以一定的初速度水平向右抛出，当将竖直挡板分别置于地面上
的M、N、P点时，小球分别击中挡板上的A、B、C三点，已知MN＝NP＝d，A、B两
点间的高度差为h，B、C两点间的高度差为2h，重力加速度为g，不计空气阻力。
则( )
图5
A．小球从A点运动到B点所用的时间为
B．小球的初速度大小为d
C．O、A两点的高度差为hD．O点距地面的高度为4h
解析 由匀变速直线运动的规律Δx＝aT2可知，小球在竖直方向上有h＝gT2，其
中T为小球从A点运动到B点的时间，解得T＝，A错误；小球的初速度大小 ＝
v0
＝d，B正确；设小球到达A点时竖直方向的速度大小为 ，则到达B点时竖直方
v1
向的速度大小为 ＝ ＋gT，由T＝h，解得 ＝，设O、A两点的高度差为h′，则
v2 v1 v1
有 ＝2gh′，解得h′＝h，C正确；由于无法确定A点(B点或C点)离地面的高度，
v
所以无法确定O点离地面的高度，D错误。
答案 BC
8．(多选)(2019·名师原创预测)如图6所示，放置在竖直平面内的内壁光滑的弯管
AB，是按照某质点以水平初速度大小 做平抛运动的轨迹制成的，A端为抛出点，
v0
B端为终止点，A、B的水平距离为d。现将一小球由静止从A端滑入弯管，经时间
t后恰好以 从B端射出，小球直径略小于弯管内径，重力加速度为g，不计空气
v0
阻力，则( )
图6
A． ＝ B． ＝
v0 v0
C．t＝ D．t＞
解析 某质点以初速度 水平抛出时，质点在水平方向做匀速直线运动，在竖直
v0
方向做自由落体运动，从A到B过程质点的运动时间为t ＝，质点的下落高度为
0h＝gt。小球由静止从A端开始运动到B端的过程，根据动能定理得mgh＝m ，则
v
有 ＝＝，解得 ＝，故A正确，B错误；质点以初速度 水平抛出的过程，有t
v0 v0 v0 0
＝＝，小球由静止释放至运动到B端的过程，水平方向的平均速度大小一定小于
，所以t>t ，即t＞，故C错误，D正确。
v0 0
答案 AD
