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周五
π
1.(2024·葫芦岛模拟)已知向量a，b的夹角为 ，且|a|=2|b|=2，若(ka-b)⊥(a+b)，则k等于( )
3
2 1
A. B.
5 2
2 3
C. D.
3 4
2.(2024·晋城模拟)“五一”假期将至，某旅行社适时推出了“晋祠”“五台山”“云冈石窟”“乔家大
院”“王家大院”共五条旅游线路可供旅客选择，其中“乔家大院”线路只剩下一个名额，其余线路名额
充足.现有小张、小胡、小李、小郭这四人前去报名，每人只选择其中一条线路，四人选完后，恰好选择了
三条不同的线路.则不同的报名情况总共有( )
A.360种 B.316种
C.288种 D.216种
( π)
3.(多选)(2024·鹰潭模拟)如图所示，已知角α，β 0<α<β< 的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的
2
交点分别为A，B，M为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C，则( )
A.∠AOB=β-α
β-α
B.|OM|=cos
2
(
α+β α+β)
C.点C的坐标为 cos ，sin
2 2
(
α+β β-α α+β β-α)
D.点M的坐标为 cos cos ，sin sin
2 2 2 2
4.(2024·泰安模拟)已知抛物线C：y2=8x，点P在C的准线上，过C的焦点F的直线与C相交于A，B两点，
则|AB|的最小值为 ，若△ABP为等边三角形，则|AB|= .
c2
5.(2024·浙江金丽衢十二校联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知 =
b2+c2-a2
sinC
.
sinB
(1)求角A；
3√3
(2)设边BC的中点为D，若a=√7，且△ABC的面积为 ，求AD的长.
4答案精析
1.A 2.C
π
3.ABC [对于A，因为∠AOx=α，∠BOx=β，0<α<β< ，
2
所以∠AOB=β-α，正确；
β-α
对于B，依题意M为线段AB的中点，则OM⊥AB，则∠AOM= ，
2
又|OA|=1，
所以|OM|=|OA|cos∠AOM
β-α
=cos ，正确；
2
对于C，M为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C，则C为A´B的中点，
β-α α+β
所以∠COx=α+ = ，
2 2
(
α+β α+β)
又|OC|=1，所以点C的坐标为 cos ，sin ，正确；
2 2
β-α α+β α+β β-α
因为|OM|=cos ，∠MOx= ，所以x =cos cos ，
2 2 M 2 2
α+β β-α
y =sin cos ，
M 2 2
所以点M的坐标为
(
α+β β-α α+β β-α)
cos cos ，sin cos ，
2 2 2 2
错误.]
4.8 24
解析 由已知得F(2，0)，准线方程为x=-2，设直线AB的方程为x=my+2，A(x ，y )，B(x ，y )，弦AB的
1 1 2 2
中点M(x ，y )，如图所示，
0 0
{x=my+2,
联立
y2=8x,
消去x并整理得y2-8my-16=0，则y +y =8m，y y =-16，
1 2 1 2
所以x +x =m(y +y )+4
1 2 1 2
=8m2+4，
x +x
所以x = 1 2=4m2+2，
0 2
y + y
y = 1 2=4m，
0
2
即M(4m2+2，4m)，
所以|AB|=x +x +4=8m2+8.
1 2
故当m=0时，|AB| =8.
min
若△ABP为等边三角形，则m≠0，如图所示，
则设直线PM的方程为y-4m=
-m(x-4m2-2)，
即y=-mx+4m3+6m，
所以点P(-2，4m3+8m)，
√3
又|PM|= |AB|，
2
所以(4m2+4)2+(4m+4m3)2
3
= (8m2+8)2，
4
解得m2=2，
所以|AB|=8m2+8=24.
5.解 (1)在△ABC中，由正弦定理得，
sinC c c2 sinC
= ，因为 = ，
sinB b b2+c2-a2 sinB
c2 c
所以 = ，
b2+c2-a2 b
化简得b2+c2-a2=bc，
在△ABC中，由余弦定理得，
b2+c2-a2 1
cos A= = ，
2bc 2π
又因为0
