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周四
3
1.(2024·安阳模拟)已知i为虚数单位，复数z= Σ (1+i)n，则z对应的点在( )
n=1
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 C
3
解析 z= Σ (1+i)n=(1+i)+(1+i)2+(1+i)2(1+i)=1+i+2i+2i(1+i)=-1+5i，
n=1
所以z=-1-5i，其对应的点在第三象限.
2.(2024·云南333联考)如图，球面被平面截得的一部分叫做球冠，截得的圆面是底，圆的半径记为R，垂
直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高，记为H，则球冠的曲面面积S=2πRH.球O是棱长为1的正方
体ABCD-A'B'C'D'的棱切球，则球O在正方体ABCD-A'B'C'D'外面部分曲面的面积为( )
A.2(√2-1)π B.4(√2-1)π
C.6(√2-1)π D.3(√2-1)π
答案 D
解析 如图，正方体与正方体的棱切球形成六个球冠，
设正方体ABCD-A'B'C'D'的棱切球半径为r，
则2r=√12+12=√2，
√2
所以r= ，又球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半，
2
1 √2-1 1
则H=r- = ，又2R=1，所以R= ，
2 2 2
1 √2-1
所以所求曲面的面积为S=6×2×π× × =3(√2-1)π.
2 2
3.(多选)(2024·新余模拟)已知函数f(x)=2sin xcos x-2√3cos2x，则下列说法正确的是( )
A.f(x)的值域为[-2-√3，2-√3](π kπ )
B.f(x)的对称中心为 + ，0 ，k∈Z
6 2
( π) (π π)
C.f(x)在 0， 上的单调递减区间为 ，
2 6 2
( 5π)
D.f(x)在 0， 上的极值点个数为1
6
答案 AD
( π)
解析 f(x)=2sin xcos x-2√3cos2x=sin 2x-√3cos 2x-√3=2sin 2x- -√3，
3
( π)
sin 2x- ∈[-1，1]，
3
则f(x)∈[-2-√3，2-√3]，故A正确；
π
令2x- =kπ，k∈Z，
3
π kπ
解得x= + ，k∈Z，
6 2
(π kπ )
故f(x)的对称中心为 + ，-√3 ，k∈Z，故B错误；
6 2
π π 3π
令 +2kπ≤2x- ≤ +2kπ，k∈Z，
2 3 2
5π 11π
解得 +kπ≤x≤ +kπ，k∈Z，
12 12
( π) (5π π)
则f(x)在 0， 上的单调递减区间为 ， ，故C错误；
2 12 2
π π
令2x- = +kπ，k∈Z，
3 2
5π kπ
即x= + ，k∈Z，
12 2
( 5π) 5π
则f(x)在 0， 上的极值点为 ，只有一个，故D正确.
6 12
4.(2024·云南333联考)现有标号依次为1，2，3的盒子，标号为1的盒子里面有2个红球和2个白球，其余
盒子里都是1个红球和1个白球.现从1号盒子里面随机取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里面随机
取出2个球放入3号盒子，则3号盒子里面是2个红球和2个白球的概率为 .
11
答案
18
解析 设A：从标号为1的盒子中取出的2个球中有i个红球，i=0，1，2，
i
B：3号盒子里面是2个红球和2个白球，所以B=A B∪A B∪A B，
0 1 2
则P(B)=P(A B∪A B∪A B)=P(A B)+P(A B)+P(A B)
0 1 2 0 1 2=P(B|A )P(A )+P(B|A )P(A )+P(B|A )P(A )
0 0 1 1 2 2
C1C1 C2 C1C1 C1C1 C1C1 C2
1 3 2 2 2 2 2 1 3 2
= · + · + ·
C2 C2 C2 C2 C2 C2
4 4 4 4 4 4
1 1 2 2 1 1 11
= × + × + × = .
2 6 3 3 2 6 18
a
5.已知函数f(x)=(x-2)ex+ x2-ax.
2
(1)当a=0时，求函数f(x)的最小值；
(2)讨论函数f(x)的单调性.
解 (1)当a=0时，由f(x)=(x-2)ex，所以f'(x)=(x-1)ex，
当x<1时，f'(x)<0；当x>1时，f'(x)>0，
所以f(x)在(-∞，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，
所以f(x)的最小值即为极小值f(1)=-e.
a
(2)由f(x)=(x-2)ex+ x2-ax，
2
所以f'(x)=(x-1)ex+a(x-1)=(x-1)(ex+a).
①当a≥0时，若x∈(-∞，1)，f'(x)<0，
所以f(x)在(-∞，1)上单调递减，
若x∈(1，+∞)，f'(x)>0，所以f(x)在(1，+∞)上单调递增；
②当-e0，
所以f(x)在(-∞，ln(-a))上单调递增，
若x∈(ln(-a)，1)，f'(x)<0，
所以f(x)在(ln(-a)，1)上单调递减，
若x∈(1，+∞)，f'(x)>0，所以f(x)在(1，+∞)上单调递增；
③当a=-e时，ln(-a)=1，
x∈R，f'(x)≥0，所以f(x)在R上单调递增；
∀
④当a<-e时，ln(-a)>1，
若x∈(-∞，1)，f'(x)>0，所以f(x)在(-∞，1)上单调递增；
若x∈(1，ln(-a))，f'(x)<0，所以f(x)在(1，ln(-a))上单调递减；
若x∈(ln(-a)，+∞)，f'(x)>0，所以f(x)在(ln(-a)，+∞)上单调递增.
综上，当a≥0时，f(x)在(-∞，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增；
当-e
