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第七周
周一
1.(2024·马鞍山质检)已知平面向量e ，e 不共线，a=(2k-1)e +2e ，b=e -e ，且a∥b，则k等于( )
1 2 1 2 1 2
1
A.- B.0
2
3
C.1 D.
2
答案 A
解析 因为a=(2k-1)e +2e ，b=e -e 且a∥b，
1 2 1 2
所以a=tb，即(2k-1)e +2e =t(e -e )，
1 2 1 2
又e ，e 不共线，
1 2
{t=-2,
{2k-1=t,
所以 解得 1
2=-t, k=- .
2
2.(2024·嘉兴模拟)已知圆C：(x-5)2+(y+2)2=r2(r>0)，A(-6，0)，B(0，8)，若圆C上存在点P使得PA⊥PB，
则r的取值范围为( )
A.(0，5] B.[5，15]
C.[10，15] D.[15，+∞)
答案 B
解析 如图所示，由PA⊥PB可知，点P是以AB为直径的圆M与圆C的交点，
因为A(-6，0)，B(0，8)，故圆M：(x+3)2+(y-4)2=25.
依题意知圆M与圆C至少有一个公共点.
因为C(5，-2)，M(-3，4)，则|CM|=√(5+3) 2+(-2-4) 2=10，
由|r-5|≤|CM|≤5+r，解得5≤r≤15.
3.(多选)(2024·韶关模拟)设函数f(x)=2sin2x-3sin|x|+1，则( )
A.f(x)是偶函数
B.f(x)在[-2π，2π]上有6个零点1
C.f(x)的最小值为-
8
[ π ]
D.f(x)在 - ，0 上单调递减
4
答案 ABC
解析 选项A，函数f(x)的定义域为R，
由f(-x)=2sin2(-x)-3sin|-x|+1=2sin2x-3sin|x|+1=f(x)，
可得f(x)是偶函数，故A正确；
选项B，当x≥0时，f(x)=2sin2x-3sin x+1，
1
由2sin2x-3sin x+1=0，可得sin x= 或sin x=1，
2
π π 5π
则当x∈[0，2π]时，x= 或x= 或x= ，
6 2 6
π π 5π
又f(x)是偶函数，则当x∈[-2π，0]时，x=- 或x=- 或x=- ，
6 2 6
则f(x)在[-2π，2π]上有6个零点，故B正确；
( 3) 2 1
选项C，当x≥0时，f(x)=2sin2x-3sin x+1=2 sinx- - ，
4 8
3 1
则当sin x= 时，f(x)取得最小值- ，
4 8
1
又f(x)是偶函数，则f(x)的最小值为- ，故C正确；
8
( π) ( π) | π| ( 3√2)
选项D，f - =2sin2 - -3sin - +1= 1- +1<1，
4 4 4 2
f(0)=2sin20-3sin|0|+1=1，
( π)
则f - - ，
k 1 2 3 4 5 4 4 16 2 256 2
k=1
7
综上，所求最小值为- .
2
5.(2024·广州模拟)如图，矩形ABCD是圆柱O'O的轴截面，AB=4，AD=2√2，E，F分别是上、下底面圆周
上的点，且CF∥AE.
(1)求证：DF∥BE；
(2)若四边形BEDF为正方形，求平面ABF与平面ADE夹角的正弦值.
(1)证明 因为矩形ABCD是圆柱O'O的轴截面，E，F分别是上、下底面圆周上的点，且CF∥AE，
CD∥AB，
所以∠EAB=∠FCD，不妨设为θ，
因为AB，CD均为底面圆的直径，所以∠AEB=∠CFD=90°，
所以AE=CF=4cos θ，所以⃗AE=⃗FC，又⃗BA=⃗CD，
所以⃗BE=⃗AE-⃗AB=⃗FC+⃗CD=⃗FD，所以DF∥BE.
(2)解 如图，设EG为圆柱O'O的母线，连接GC，GD，则EG⊥底面CFDG，GC⊥GD，以G为坐标原点，GC，GD，GE分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
因为AB=4，AD=2√2，四边形BEDF为正方形，
所以BE=DE，BE=√AB2-AE2=√42-AE2，
DE=√AD2+AE2=√(2√2) 2+AE2，
所以AE=DG=CF=2，DF=CG=2√3，
所以G(0，0，0)，D(0，2，0)，F(2√3，2，0)，B(2√3，0，2√2)，E(0，0，2√2)，A(0，2，2√2).
易知平面ADE的一个法向量为m=(1，0，0).
设平面ABF的法向量为n=(x，y，z)，
又⃗AB=(2√3，-2，0)，⃗BF=(0，2，-2√2)，
{2√3x-2y=0,
所以
2y-2√2z=0,
取x=√2，
则n=(√2，√6，√3)，
|m·n| √2 √2
所以|cos〈m，n〉|= = = ，
|m||n| 1×√11 √11
√ 2 3√11
所以平面ABF与平面ADE夹角的正弦值为 1- = .
11 11
