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第七周
周一
1.(2024·马鞍山质检)已知平面向量e ，e 不共线，a=(2k-1)e +2e ，b=e -e ，且a∥b，则k等于( )
1 2 1 2 1 2
1
A.- B.0
2
3
C.1 D.
2
2.(2024·嘉兴模拟)已知圆C：(x-5)2+(y+2)2=r2(r>0)，A(-6，0)，B(0，8)，若圆C上存在点P使得PA⊥PB，
则r的取值范围为( )
A.(0，5] B.[5，15]
C.[10，15] D.[15，+∞)
3.(多选)(2024·韶关模拟)设函数f(x)=2sin2x-3sin|x|+1，则( )
A.f(x)是偶函数
B.f(x)在[-2π，2π]上有6个零点
1
C.f(x)的最小值为-
8
[ π ]
D.f(x)在 - ，0 上单调递减
4
n
3n+1
4.(2024·梅州模拟)已知数列{a }的通项公式a =(-1)n (n∈N*)，则 ∏ a=a ·a ·…·a 的最小值为
n n 2n k 1 2 n
k=1
.
5.(2024·广州模拟)如图，矩形ABCD是圆柱O'O的轴截面，AB=4，AD=2√2，E，F分别是上、下底面圆周
上的点，且CF∥AE.
(1)求证：DF∥BE；
(2)若四边形BEDF为正方形，求平面ABF与平面ADE夹角的正弦值.答案精析
1.A 2.B 3.ABC
7
4.-
2
3n+1
解析 由于当n为奇数时，a =- ，
n 2n
3n+1
当n为偶数时，a = ，
n 2n
n
要求 ∏ a=a ·a ·…·a 的最小值，只需要考虑出现奇数个奇数项时即可，
k 1 2 n
k=1
3(n+1)+1
|a | 2n+1 3n+4
n+1
又 = = <1
a 3n+1 2(3n+1)
n
2n
|a |<|a |，
n+1 n
3×4+1
⇒
且当n=4时，a = <1，
4 24
因此当n≥4时，|a |≤a <1，
n 4
n
7 7
当n=2时， ∏ a=a a =-2× =- ，
k 1 2 4 2
k=1
n
7 ( 5) 13 ( 1) 455 7
当n=5时， ∏ a=a a a a a =-2× × - × × - =- >- ，
k 1 2 3 4 5 4 4 16 2 256 2
k=1
7
综上，所求最小值为- .
2
5.(1)证明 因为矩形ABCD是圆柱O'O的轴截面，E，F分别是上、下底面圆周上的点，且CF∥AE，
CD∥AB，
所以∠EAB=∠FCD，不妨设为θ，
因为AB，CD均为底面圆的直径，所以∠AEB=∠CFD=90°，
所以AE=CF=4cos θ，
所以⃗AE=⃗FC，又⃗BA=⃗CD，
所以⃗BE=⃗AE-⃗AB=⃗FC+⃗CD=⃗FD，所以DF∥BE.
(2)解 如图，设EG为圆柱O'O的母线，连接GC，GD，则EG⊥底面CFDG，GC⊥GD，以G为坐标原点，GC，GD，GE分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
因为AB=4，AD=2√2，四边形BEDF为正方形，
所以BE=DE，BE=√AB2-AE2
=√42-AE2，
DE=√AD2+AE2
=√(2√2) 2+AE2，
所以AE=DG=CF=2，DF=CG=2√3，
所以G(0，0，0)，D(0，2，0)，F(2√3，2，0)，B(2√3，0，2√2)，E(0，0，2√2)，A(0，2，2√2).
易知平面ADE的一个法向量为
m=(1，0，0).
设平面ABF的法向量为n=(x，y，z)，
又⃗AB=(2√3，-2，0)，
⃗BF=(0，2，-2√2)，
{2√3x-2y=0,
所以
2y-2√2z=0,
取x=√2，则n=(√2，√6，√3)，
|m·n|
所以|cos〈m，n〉|=
|m||n|
√2 √2 √ 2 3√11
= = ，所以平面ABF与平面ADE夹角的正弦值为 1- = .
1×√11 √11 11 11
