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周三
1
1.(2024·南通模拟)设a，b为单位向量，a在b方向上的投影向量为- b，则|a-2b|等于( )
2
A.√2 B.√3
C.√5 D.√7
2.(2024·泰安模拟)盒中有4个大小相同的小球，其中2个红球、2个白球，第一次在盒中随机摸出2个小球，
记下颜色后放回，第二次在盒中也随机摸出2个小球，记下颜色后放回.设事件A=“两次均未摸出红球”，
事件B=“两次均未摸出白球”，事件C=“第一次摸出的两个球中有红球”，事件D=“第二次摸出的两个
球中有白球”，则( )
A.A与B相互独立 B.A与C相互独立
C.B与C相互独立 D.C与D相互独立
3.(多选)(2024·承德模拟)如图，在正四棱柱ABCD-A B C D 中，AA =2AB=2，E是棱AA 的中点，P为线段
1 1 1 1 1 1
BD 上的点(异于端点)，且ED=PD，则下列说法正确的是( )
1
A.⃗ED 是平面EDC的一个法向量
1
3
B.⃗BP= ⃗BD
4 1
√6
C.点P到平面ECD 的距离为
1 18
3√21
D.二面角P-EC-D的正弦值为
14
y
4.(2024·东北三省三校联考)点M(x，y)为圆x2+y2-10x+16=0上的动点，则 的取值范围为 .
x
5.(2024·南通调研)已知函数f(x)=(1+x)k-kx-1(k>1).
(1)若x>-1，求f(x)的最小值；
( 1 ) n n+2
(2)设数列{a }的前n项和为S ，若a = 1+ ，求证：S -n≥2- .
n n n 2n n 2n答案精析
1.D 2.D 3.ACD
[ 3 3]
4. - ，
4 4
y
解析 方法一 令 =k，我们要求k的取值范围，使得存在x，y满足x2+y2-10x+16=0，
x
由于满足前一个方程的x必不为零，故等价于x2+k2x2-10x+16=0，
故我们就是要求k的取值范围，使得关于x的方程x2+k2x2-10x+16=0有解，
该方程中x2的系数显然非零，所以命题等价于Δ=100-64(1+k2)≥0，
3 3
解得- ≤k≤ .
4 4
方法二 由于圆x2+y2-10x+16=0和y轴无公共点，故命题等价于求实数k的取值范围，
使得直线y=kx和圆x2+y2-10x+16=0有公共点.
|5k|
该圆的方程可化为(x-5)2+y2=9，故命题等价于点(5，0)到直线y=kx的距离不超过3，即 ≤3.
√k2+1
3 3
解得- ≤k≤ .
4 4
5.(1)解 因为f(x)= (1+x)k-kx-1(k>1)，
则f'(x)=k[(1+x)k-1-1]，
因为k>1，则k-1>0，且x>-1，
当-10时，则x+1>1，可得f'(x)=k[(1+x)k-1-1]>k(1-1)=0；
可知f(x)在(-1，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，
所以f(x)的最小值为f(0)=0.
( 1 ) n
(2)证明 因为a =
1+
，
n 2n
1 3
若n=1，则S =a =1+ = ，
1 1 2 2
n+2
满足S -n≥2- ；
n 2n
若n≥2，由(1)可知
f(x)=(1+x)k-kx-1≥0，
即(1+x)k≥kx+1，当且仅当x=0时，等号成立，
(1) n
令x= >0，k=n>1，
2
( 1 ) n n
可得a =
1+
> +1
n 2n 2n
n+1 n+2
= - +1，
2n-1 2n
3 3
且a = =2- +1，
1 2 2
3 3 4 4 5 n+1 n+2 n+2
可得S >2- + - + - +…+ - +n=2- +n，
n 2 2 22 22 23 2n-1 2n 2n
n+2
所以S -n>2- .
n 2n
n+2
综上所述，S -n≥2- .
n 2n
