文档内容
周三
1
1.(2024·南通模拟)设a，b为单位向量，a在b方向上的投影向量为- b，则|a-2b|等于( )
2
A.√2 B.√3
C.√5 D.√7
答案 D
1
解析 因为a在b方向上的投影向量为- b，
2
1 a·b b 1
所以- b= · ，a·b=- ，
2 |b| |b| 2
所以有|a-2b|=√(a-2b) 2
=√a2+4b2-4a·b= √ 1+4-4× ( - 1) =√7.
2
2.(2024·泰安模拟)盒中有4个大小相同的小球，其中2个红球、2个白球，第一次在盒中随机摸出2个小球，
记下颜色后放回，第二次在盒中也随机摸出2个小球，记下颜色后放回.设事件A=“两次均未摸出红球”，
事件B=“两次均未摸出白球”，事件C=“第一次摸出的两个球中有红球”，事件D=“第二次摸出的两个
球中有白球”，则( )
A.A与B相互独立 B.A与C相互独立
C.B与C相互独立 D.C与D相互独立
答案 D
C2C2
1
C2C2
1
2 2 2 2
解析 依题意得P(A)= = ，P(B)= = ，P(AB)=0≠P(A)P(B)，故A项错误；
C2C2 36 C2C2 36
4 4 4 4
C2+C1C1
5
2 2 2
P(C)= = ，P(AC)=0≠P(A)P(C)，故B项错误；
C2 6
4
C2C2
1
2 2
P(BC)= = ≠P(B)P(C)，故C项错误；
C2C2 36
4 4
C2+C1C1
5
2 2 2
P(D)= = ，
C2 6
4
C2C2+C2C1C1+C1C1C2+C1C1C1C1
25
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
P(CD)= = =P(C)P(D)，故D项正确.
C2C2 36
4 4
3.(多选)(2024·承德模拟)如图，在正四棱柱ABCD-A B C D 中，AA =2AB=2，E是棱AA 的中点，P为线段
1 1 1 1 1 1
BD 上的点(异于端点)，且ED=PD，则下列说法正确的是( )
1A.⃗ED 是平面EDC的一个法向量
1
3
B.⃗BP= ⃗BD
4 1
√6
C.点P到平面ECD 的距离为
1 18
3√21
D.二面角P-EC-D的正弦值为
14
答案 ACD
解析 对于A，由于是正四棱柱，易知DC⊥ED ，
1
在△EDD 中，因为ED =ED=√2，DD =2，
1 1 1
所以ED2 +ED2=DD2
，
1 1
故ED ⊥ED，
1
又ED 平面EDC，DC 平面EDC，ED∩DC=D，
所以E⊂D
1
⊥平面EDC，⊂故A正确；
对于B，在△BDD 中，因为BD=√2，DD =2，BD =√6，
1 1 1
√6
则cos∠BD D= ，
1 3
在△PDD 中，利用余弦定理PD2=DD 2 +PD2 -2DD ·PD cos∠BD D，
1 1 1 1 1 1
√6
可求得PD = 或PD =√6(舍去)，
1 3 1
2
因此⃗BP= ⃗BD ，故B错误；
3 1
对于C，以D为原点，DA，DC，DD 分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
1
则E(1，0，1)，C(0，1，0)，D (0，0，2)，B(1，1，0)，
1
2
由B选项可知，⃗BP= ⃗BD ，⃗BD =(-1，-1，2)，
3 1 1(1 1 4)
所以P ， ， ，
3 3 3
(1 1 2)
故⃗ED =(-1，0，1)，⃗EC=(-1，1，-1)，⃗D P= ， ，- ，
1 1 3 3 3
设m=(x ，y ，z )为平面ECD 的法向量，
1 1 1 1
{ m·⃗ED =-x +z =0,
1 1 1
则
m·⃗EC=-x + y -z =0,
1 1 1
令x =1，则m=(1，2，1)，
1
设点P到平面ECD 的距离为h，
1
所以由点到平面的距离公式得
1 2 2
|⃗D P·m| + - √6
h= 1 =3 3 3= ，故C正确；
|m| 18
√6
对于D，由A选项及C选项可知，
⃗ED =(-1，0，1)为平面EDC的一个法向量，
1
⃗EP= ( - 2 ， 1 ， 1) ，⃗EC=(-1，1，-1)，
3 3 3
设平面PEC的法向量为n=(x，y，z)，
{ n·⃗EP=- 2 x+ 1 y+ 1 z=0,
则 3 3 3
n·⃗EC=-x+ y-z=0,
令z=1，n=(2，3，1)，
⃗ED ·n √7
所以cos〈⃗ED ，n〉= 1 =- ，
1 |⃗ED ||n| 14
1
√ ( √7) 2 3√21
因此二面角P-EC-D的正弦值为 1- - = ，故D正确.
14 14
y
4.(2024·东北三省三校联考)点M(x，y)为圆x2+y2-10x+16=0上的动点，则 的取值范围为 .
x
[ 3 3]
答案 - ，
4 4
y
解析 方法一 令 =k，我们要求k的取值范围，使得存在x，y满足x2+y2-10x+16=0，
x
由于满足前一个方程的x必不为零，故等价于x2+k2x2-10x+16=0，
故我们就是要求k的取值范围，使得关于x的方程x2+k2x2-10x+16=0有解，
该方程中x2的系数显然非零，所以命题等价于Δ=100-64(1+k2)≥0，3 3
解得- ≤k≤ .
4 4
方法二 由于圆x2+y2-10x+16=0和y轴无公共点，故命题等价于求实数k的取值范围，
使得直线y=kx和圆x2+y2-10x+16=0有公共点.
|5k| 3
该圆的方程可化为(x-5)2+y2=9，故命题等价于点(5，0)到直线y=kx的距离不超过3，即 ≤3.解得-
√k2+1 4
3
≤k≤ .
4
5.(2024·南通调研)已知函数f(x)=(1+x)k-kx-1(k>1).
(1)若x>-1，求f(x)的最小值；
( 1 ) n n+2
(2)设数列{a }的前n项和为S ，若a = 1+ ，求证：S -n≥2- .
n n n 2n n 2n
(1)解 因为f(x)=(1+x)k-kx-1(k>1)，则f'(x)=k[(1+x)k-1-1]，
因为k>1，则k-1>0，且x>-1，
当-10时，则x+1>1，可得f'(x)=k[(1+x)k-1-1]>k(1-1)=0；
可知f(x)在(-1，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，
所以f(x)的最小值为f(0)=0.
( 1 ) n
(2)证明 因为a =
1+
，
n 2n
1 3
若n=1，则S =a =1+ = ，
1 1 2 2
n+2
满足S -n≥2- ；
n 2n
若n≥2，由(1)可知f(x)=(1+x)k-kx-1≥0，
即(1+x)k≥kx+1，当且仅当x=0时，等号成立，
(1) n
令x= >0，k=n>1，
2
( 1 ) n n n+1 n+2
可得a =
1+
> +1= - +1，
n 2n 2n 2n-1 2n
3 3
且a = =2- +1，
1 2 2
3 3 4 4 5 n+1 n+2 n+2
可得S >2- + - + - +…+ - +n=2- +n，
n 2 2 22 22 23 2n-1 2n 2n
n+2
所以S -n>2- .
n 2nn+2
综上所述，S -n≥2- .
n 2n
