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周五
1.(2024·昆明模拟)已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，下列说法错误的是( )
A.若m⊥α，则“n∥α”是“m⊥n”的必要不充分条件
B.若m⊄α，n α，则“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件
C.若m⊥α，则“m⊥β”是“α∥β”的充要条件
⊂
D.若m∥α，则“m∥n”是“n∥α”的既不充分也不必要条件
( π)
2.(2024·德州模拟)将函数f(x)=sin 2x+ 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度得到函数g(x)的图象，若直线
3
11π
x=- 为g(x)图象的一条对称轴，则φ的最小值为( )
6
π 5π
A. B.
12 12
7π 2π
C. D.
12 3
3.(多选)(2024·黄山质检)已知数列{a }满足：a =a2 +2a +λ (n∈N*)，其中λ∈R，下列说法正确的有( )
n n+1 n n
5
A.当a =2，λ= 时，a ≥n+1
1 4 n
[1 )
B.当λ∈ ，+∞ 时，数列{a }是递增数列
4 n
C.当λ=-2时，若数列{a }是递增数列，则a 的取值范围为(-∞，-3)∪(1，+∞)
n 1
1 1 1 1
D.当a =3，λ=0时， + +…+ <
1 a +2 a +2 a +2 3
1 2 n
( 1 )
4.(2024·临沂模拟) 1+ (1+x)7的展开式中x2的系数为 .
x3
x2
5.(2024·绍兴适应性考试)已知函数f(x)= -x+asin x.
2
(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)当x∈(0，π)时，f(x)>0，求实数a的取值范围.答案精析
1.A 2.B 3.ACD
4.42
解析 (1+x)7的展开式的通项T =Ck xk，
k+1 7
1
则原二项展开式中含x2的项为1×C2 x2+ ×C5 x5=(C2 +C5 )x2=2C2 x2=42x2，故展开式中x2的系数为42.
7 x3 7 7 7 7
x2
5.解 (1)当a=2时，f(x)= -x+2sin x，则f'(x)=x-1+2cos x，
2
所以切线斜率为k=f'(0)=1，
又f(0)=0，
所以曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是y=x.
(2)①当a≥1时，
因为x∈(0，π)，所以sin x>0，
x2
所以f(x)= -x+asin x
2
x2
≥ -x+sin x.
2
x2
记g(x)= -x+sin x，
2
则g'(x)=x-1+cos x，
令h(x)=g'(x)=x-1+cos x，
则h'(x)=1-sin x.
因为当x∈(0，π)时，h'(x)≥0，所以g'(x)在区间(0，π)上单调递增，
所以g'(x)>g'(0)=0，
所以g(x)在区间(0，π)上单调递增，
所以g(x)>g(0)=0，
所以f(x)>0.
②当a<1时，f'(x)=x-1+acos x，
因为当x∈(0，π)时，sin x∈(0，1]，
令φ(x)=f'(x)=x-1+acos x，
则φ'(x)=1-asin x，
若a≤0，则φ'(x)>0，即f'(x)在区间(0，π)上单调递增；
若00，
所以f'(x)在区间(0，π)上单调递增，
所以当a<1时，f'(x)在区间(0，π)上单调递增.
因为f'(0)=a-1<0，
(π) π
f' = -1>0，
2 2
( π)
所以存在x ∈ 0， ，
0 2
使得f'(x )=0，
0
所以当x∈(0，x )时，f'(x)<0，
0
即f(x)在区间(0，x )上单调递减，
0
所以f(x )
