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周五
1.(2024·昆明模拟)已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，下列说法错误的是( )
A.若m⊥α，则“n∥α”是“m⊥n”的必要不充分条件
B.若m⊄α，n α，则“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件
C.若m⊥α，则“m⊥β”是“α∥β”的充要条件
⊂
D.若m∥α，则“m∥n”是“n∥α”的既不充分也不必要条件
答案 A
解析 对于A，若m⊥α，n∥α，则m⊥n，反之，若m⊥α，m⊥n，则n α或n∥α，
则“n∥α”是“m⊥n”的充分不必要条件，故A错误；
⊂
对于B，若m⊄α，n α，m∥n，则m∥α，反之，若m⊄α，n α，m∥α，则m，n平行或异面，
所以“m∥n”是“m⊂ ∥α”的充分不必要条件，故B正确；
⊂
对于C，若m⊥α，m⊥β，则α∥β，反之，若m⊥α，α∥β，则m⊥β，
则“m⊥β”是“α∥β”的充要条件，故C正确；
对于D，若m∥α，m∥n，则n∥α或n α，
反之，若m∥α，n∥α则m，n相交、平⊂行或异面，
所以“m∥n”是“n∥α”的既不充分也不必要条件，故D正确.
( π)
2.(2024·德州模拟)将函数f(x)=sin 2x+ 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度得到函数g(x)的图象，若直线
3
11π
x=- 为g(x)图象的一条对称轴，则φ的最小值为( )
6
π 5π
A. B.
12 12
7π 2π
C. D.
12 3
答案 B
[ π]
解析 由题意得g(x)=sin 2(x+φ)+
3
( π )
=sin 2x+ +2φ ，
3
11π
又因为直线x=- 是g(x)图象的一条对称轴，
6
π ( 11π) π
所以kπ+ =2× - + +2φ，k∈Z.
2 6 3kπ 23π
解得φ= + ，
2 12
kπ 23π
又因为φ>0，所以 + >0，
2 12
23
解得k>- ，
6
5π
故当k=-3时，φ的最小值为 .
12
3.(多选)(2024·黄山质检)已知数列{a }满足：a =a2 +2a +λ (n∈N*)，其中λ∈R，下列说法正确的有( )
n n+1 n n
5
A.当a =2，λ= 时，a ≥n+1
1 4 n
[1 )
B.当λ∈ ，+∞ 时，数列{a }是递增数列
4 n
C.当λ=-2时，若数列{a }是递增数列，则a 的取值范围为(-∞，-3)∪(1，+∞)
n 1
1 1 1 1
D.当a =3，λ=0时， + +…+ <
1 a +2 a +2 a +2 3
1 2 n
答案 ACD
5
解析 对于A，当λ= 时，
4
5
a =a2+2a + ，
n+1 n n 4
当n=1时，a =2，此时a ≥n+1显然成立.
1 n
5
又a -a
=a2
+a +
n+1 n n n 4
( 1) 2
= a + +1≥1>0，
n 2
又a =2，故a >a +1，
1 n+1 n
所以当n≥2时，a >a +1>a +2>…>a +n-1=n+1，故A项正确；
n n-1 n-2 1
对于B，因为a -a =a2 +a +λ= ( a + 1) 2 +λ- 1 ，且λ∈ [1 ，+∞ ) ，
n+1 n n n n 2 4 4
所以a -a ≥0，
n+1 n
1 1 1 ( 1) 2
当λ= ，a =- 时，a =- a -a = a + =0 a =a ，此时数列{a }是常数列，故B项错误；
4 1 2 2 2 n+1 n n 2 n+1 n n
⇒ ⇒
对于C，由于数列{a }是递增数列，当n≥2时，
n
有a -a >0，a -a
=(a2
+2a
-2)-(a2
+2a -2)=(a -a )(a +a +2)>0，
n n-1 n+1 n n n n-1 n-1 n n-1 n n-1
{ a -a >0,
2 1
故a +a +2>0，所以
n n-1 a +a +2>0,
2 1{ (a2+2a -2)-a >0,
1 1 1
即
(a2+2a -2)+a +2>0,
1 1 1
解得a >1或a <-3，故C项正确；
1 1
对于D，当λ=0时，a =a2 +2a =(a +1) 2 -1，
n+1 n n n
即a +1=(a +1)2，
n+1 n
又a =3>0，所以a >0，
1 n
则ln(a +1)=ln(a +1)2=2ln(a +1)，
n+1 n n
又ln(a +1)=2ln 2，
1
所以数列{ln(a +1)}是首项为2ln 2，公比为2的等比数列，
n
所以ln(a +1)=2n-1·2ln 2=2nln 2=ln 22n ，
n
所以a
+1=22n
，即a
=22n
-1.
n n
设f(n)=2n-2n(n∈N*)，
所以f(n+1)-f(n)=[2n+1-2(n+1)]-(2n-2n)=2n-2≥2-2=0，
当且仅当n=1时取等号，
所以当n∈N*时，f(n)单调递增.
又f(1)=21-2×1=0，所以当n∈N*时，f(n)≥0，
即2n-2n≥0恒成立，
22n
所以
=22n-2n≥20=1，
4n
所以22n +1>4n.
1 1 1 1
所以 = = < ，
a +2 22n-1+2 22n+1 4n
n
1( 1 )
1-
1 1 1 1 1 1 4 4n 1( 1 ) 1
所以 + +…+ < + +…+ = = 1- < ，
a +2 a +2 a +2 4 42 4n 1 3 4n 3
1 2 n 1-
4
故D项正确.
( 1 )
4.(2024·临沂模拟) 1+ (1+x)7的展开式中x2的系数为 .
x3
答案 42
解析 (1+x)7的展开式的通项T =Ck xk，
k+1 7
1
则原二项展开式中含x2的项为1×C2 x2+ ×C5 x5=(C2 +C5 )x2=2C2 x2=42x2，故展开式中x2的系数为42.
7 x3 7 7 7 7x2
5.(2024·绍兴适应性考试)已知函数f(x)= -x+asin x.
2
(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)当x∈(0，π)时，f(x)>0，求实数a的取值范围.
x2
解 (1)当a=2时，f(x)= -x+2sin x，
2
则f'(x)=x-1+2cos x，
所以切线斜率为k=f'(0)=1，又f(0)=0，
所以曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是y=x.
(2)①当a≥1时，因为x∈(0，π)，所以sin x>0，
x2 x2
所以f(x)= -x+asin x≥ -x+sin x.
2 2
x2
记g(x)= -x+sin x，
2
则g'(x)=x-1+cos x，
令h(x)=g'(x)=x-1+cos x，则h'(x)=1-sin x.
因为当x∈(0，π)时，h'(x)≥0，所以g'(x)在区间(0，π)上单调递增，
所以g'(x)>g'(0)=0，
所以g(x)在区间(0，π)上单调递增，
所以g(x)>g(0)=0，所以f(x)>0.
②当a<1时，f'(x)=x-1+acos x，
因为当x∈(0，π)时，sin x∈(0，1]，
令φ(x)=f'(x)=x-1+acos x，则φ'(x)=1-asin x，
若a≤0，则φ'(x)>0，即f'(x)在区间(0，π)上单调递增；
若00，
所以f'(x)在区间(0，π)上单调递增，
所以当a<1时，f'(x)在区间(0，π)上单调递增.
(π) π
因为f'(0)=a-1<0，f' = -1>0，
2 2
( π)
所以存在x ∈ 0， ，使得f'(x )=0，
0 2 0
所以当x∈(0，x )时，f'(x)<0，即f(x)在区间(0，x )上单调递减，
0 0
所以f(x )
