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第六周
周一
1.(2024·荆州模拟)已知集合A={x∈Z|-1<x<3}，B={x|3x-a≥0}，且A∩B={1，2}，则实数a的取值范围为(
)
A.(0，1) B.(0，1]
C.(0，3] D.(0，3)
x2 y2
2.(2024·桂林模拟)已知椭圆C： + =1的右焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，其中点A在x
4 3
轴上方，且⃗AF=2⃗FB，则点B的横坐标为( )
1 3
A. B.
2 2
7 7
C.- D.
4 4
m2-n n2
3.(多选)(2024·金华模拟)已知正实数m，n满足 =ln ，则下列不等式可能成立的有( )
2 m
A.m<n<1 B.n<m<1
C.1<m<n D.1<n<m
4.(2024·安庆模拟)一个不透明的袋子装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4，4.现甲从
中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字
大即获胜(若所标数字相同则为平局)，则在甲获胜的条件下，乙摸到2号球的概率为 .
5.(2024·东北三省三校联考)如图，四棱柱ABCD-A B C D 的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC，DC=1，
1 1 1 1
AB=3，AD=BC=2，⃗BE=2⃗EA.
(1)求证：D E∥平面DB C ；
1 1 1
(2)若四边形ADD A 为菱形，∠A AD=60°，平面ADD A ⊥平面ABCD.
1 1 1 1 1
①求平面DB C 和平面DCC 夹角的余弦值；
1 1 1
②求点A 到平面DB C 的距离.
1 1 1答案精析
1
1.C 2.D 3.ACD 4.
3
5.(1)证明 在棱AB上取点F，
使AF=2FB，连接DF，FB .
1
由已知DC∥FB，DC=FB，
∴四边形BCDF为平行四边形，
∴DF∥BC，
又∵BC∥B C ，∴DF∥B C ，
1 1 1 1
即D，F，B ，C 四点共面.
1 1
连接FC ，由已知EF∥DC，
1
EF=DC，DC∥D C ，DC=D C ，
1 1 1 1
∴EF∥D C ，EF=D C ，
1 1 1 1
∴四边形EFC D 为平行四边形，
1 1
∴D E∥FC .
1 1
∵D E⊄平面DFB C ，
1 1 1
FC 平面DFB C ，
1 1 1
∴D⊂1 E∥平面DFB
1
C
1
，
即D E∥平面DB C .
1 1 1
(2)解 在菱形ADD A 中，
1 1
∠A AD=60°，
1
取A D 的中点G，连接DG，
1 1
则DG⊥AD.
又平面ADD A ⊥平面ABCD，平面ADD A ∩平面ABCD=AD，
1 1 1 1
DG 平面ADD A ，
1 1
∴D⊂G⊥平面ABCD.
在等腰梯形ABCD中，
DE⊥DC，DE=√3，
∵DE，DC，DG两两互相垂直，
以D为原点，DE，DC，DG所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，
A(√3，-1，0)，
B(√3，2，0)，
C(0，1，0)，G(0，0，√3).
①⃗DC =⃗DG+⃗GD +⃗D C
1 1 1 1
1
=⃗DG+ ⃗AD+⃗DC
2
( √3 3 )
= - ， ，√3 ，
2 2
⃗C B =⃗CB=(√3，1，0)，
1 1
⃗DC=(0，1，0)，
{ √3 3
n·⃗DC =- x+ y+√3z=0,
设n=(x，y，z)为平面DB C 的法向量，则 1 2 2
1 1
n·⃗C B =√3x+ y=0,
1 1
取x=1，则有n=(1，-√3，2).
设m=(x ，y ，z )为平面DCC 的法向量，则
1 1 1 1
√3 3
{ m·⃗DC =- x + y +√3z
1 2 1 2 1 1
=0,
m·⃗DC= y =0,
1
取x =2，则有m=(2，0，1).
1
设平面DB C 与平面DCC 的夹角为θ，
1 1 1
|m·n| |2+2| √10
则cos θ=|cos〈m，n〉|= = = ，
|m||n| √5×2√2 5
√10
∴平面DB C 与平面DCC 夹角的余弦值为 .
1 1 1 5
1 (√3 1 )
②∵⃗D A =⃗DG+⃗GA =⃗DG+ ⃗DA= ，- ，√3 ，
1 1 2 2 2
∴点A 到平面DB C 的距离为
1 1 1
|√3 √3 |
|⃗DA ·n| + +2√3 3√6
1 = 2 2 = .
|n| 4
√1+3+4
