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第六周
[周一]
1.(2022·漳州模拟)如图，在平面四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，△ABC的内角
A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos B＋acos C＋ccos A＝0.
(1)求B；
(2)若AB＝CD＝2，△ABC的面积为2，求AD.
解 (1)由bcos B＋acos C＋ccos A＝0及正弦定理得
sin Bcos B＋sin Acos C＋cos Asin C＝0，
所以sin Bcos B＋sin(A＋C)＝0，
所以sin Bcos B＋sin B＝0，
因为00，
所以cos B＝－，
所以B＝.
(2)因为△ABC的面积为2，
所以S ＝acsin B＝2，
△ABC
即a＝2，
所以a＝2，
由余弦定理得
AC＝＝2，
所以cos∠CAB＝
＝＝，
因为AC平分∠BAD，
所以cos∠CAB＝cos∠CAD，
所以CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos∠CAD，
所以4＝20＋AD2－2×2×AD×，
所以AD2－8AD＋16＝0，
所以AD＝4.
[周二]
2．(2022·赣州模拟)为迎接2023年9月在杭州举办的第19届亚运会，亚组委志愿者部对所有报名参加志愿者工作的人员进行了首场通用知识培训，并进行了通用知识培训在线测试，
不合格者不得被正式录用，并在所有测试成绩中随机抽取了男、女各 50名预录用志愿者的
测试成绩(满分100分)，将他们的成绩分为4组：[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，整理
得到如下频数分布表．
成绩/分 [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
预录用男
15 5 15 15
志愿者
预录用女
10 10 20 10
志愿者
(1)若规定成绩在[80,100]内为合格，否则为不合格，分别估计预录用男、女志愿者合格的概
率；
(2)试从平均数和方差的角度分析，样本成绩较好的是预录用男志愿者还是预录用女志愿者．
(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
解 (1)由题意知这50名预录用男志愿者中培训合格的有15＋15＝30(人)，
所以估计预录用男志愿者培训合格的概率为＝；
这50名预录用女志愿者中培训合格的有20＋10＝30(人)，
所以估计预录用女志愿者培训合格的概率为＝.
(2)这50名预录用男志愿者的平均成绩为
＝×(65×15＋75×5＋85×15＋95×15)＝81，
1
方差s＝×[(65－81)2×15＋(75－81)2×5＋(85－81)2×15＋(95－81)2×15]＝144，
这50名预录用女志愿者的平均成绩为
＝×(65×10＋75×10＋85×20＋95×10)＝81，
2
方差s＝×[(65－81)2×10＋(75－81)2×10＋(85－81)2×20＋(95－81)2×10]＝104.
因为 ＝，s>s，
1 2
所以样本成绩较好的是预录用女志愿者．
[周三]
3.(2022·南京模拟)已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD为菱形，△PAD是等边三角形，平面
PAD⊥平面ABCD，E，F分别是棱PC，AB上的动点．
(1)若E是PC的中点，且BE∥平面PDF，证明：F是AB的中点；
(2)若AD＝2，∠DAB＝60°，PE＝2EC，求三棱锥P－BDE的体积．
(1)证明 如图，取PD的中点M，连接ME，MF，因为E是PC的中点，所以ME∥CD，且ME＝CD，又BF∥CD，所以BF∥ME.
因为BE∥平面PDF，平面BEMF∩平面PDF＝MF，BE⊂平面BEMF，所以BE∥MF，所以
四边形BEMF为平行四边形，所以BF＝ME，即BF＝CD，
又底面ABCD是菱形，所以BF＝AB，则F是AB的中点．
(2)解 如图，取AD的中点G，连接PG.
因为△APD为等边三角形，所以PG⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG⊂平面PAD，所以PG⊥平面
ABCD.
因为AB＝BC＝CD＝AD＝PA＝PD＝2，∠DAB＝60°，所以PG＝2×sin 60°＝.
又S ＝×2×2×sin 60°＝，且PE＝2EC，
△BCD
所以V ＝V ＝V ＝V ＝×××＝.
P－BDE B－PDE B－PDC P－BCD
[周四]
4．(2022·深圳模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)经过点A(2,0)，且点A到C的渐近线的
距离为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点(4,0)作斜率不为0的直线l与双曲线C交于M，N两点，直线x＝4分别交直线AM，
AN于点E，F.试判断以EF为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；反之
请说明理由．
解 (1)由题意得a＝2，
双曲线C的渐近线方程为y＝±x，
所以有＝，
解得b＝，
因此，双曲线C的方程为－＝1.
(2)①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为
y＝k(x－4)，
由
可得(3－4k2)x2＋32k2x－64k2－12＝0，k≠±，Δ>0，
设M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
则由x＋x＝，
1 2
xx＝，
1 2
由直线AM方程y＝(x－2)，
令x＝4，得点E，
由直线AN方程y＝(x－2)，
令x＝4，得点F，
则以EF为直径的圆的方程为(x－4)(x－4)＋＝0，
令y＝0，有(x－4)2＝－，
将y＝k(x－4)，y＝k(x－4)代入上式，
1 1 2 2
得(x－4)2＝－，
可得(x－4)2
＝－＝9，
解得x＝1，或x＝7，
即以EF为直径的圆经过点(1,0)和(7,0)；
②当直线l斜率不存在时，直线l与直线x＝4重合，此时M，N与E，F重合，将x＝4代入
双曲线方程得y＝±3，则以EF为直径的圆的方程为(x－4)2＋y2＝9，也过点(1,0)，(7,0)，
综上，以EF为直径的圆过定点(1,0)，(7,0)．
[周五]
5．(2022·广州模拟)已知函数f(x)＝(x－1)ex＋x.
(1)判断f(x)的单调性；
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≥(x＋1)ln(x＋1)－ax2－1恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)因为f(x)＝(x－1)ex＋x，
所以f′(x)＝xex＋1.
令g(x)＝xex＋1，
则g′(x)＝(1＋x)ex.
当x∈(－∞，－1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当x∈(－1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增．
故g(x)≥g(－1)＝1－>0，
即f′(x)>0，则f(x)在R上单调递增．
(2)f(x)≥(x＋1)ln(x＋1)－ax2－1等价于
(x－1)ex－(x＋1)ln(x＋1)＋ax2＋x＋1≥0.
令h(x)＝(x－1)ex－(x＋1)ln(x＋1)＋ax2＋x＋1，则h′(x)＝xex－ln(x＋1)＋2ax.
令φ(x)＝xex－ln(x＋1)＋2ax，
则φ′(x)＝(x＋1)ex－＋2a，
显然φ′(x)在[0，＋∞)上单调递增，
故φ′(x)≥φ′(0)＝2a.
当a≥0时，φ′(x)≥0，φ(x)在[0，＋∞)上单调递增，
φ(x)≥φ(0)＝0，即h′(x)≥0，
则h(x)在[0，＋∞)上单调递增，h(x)≥h(0)＝0，符合条件．
当a<0时，φ′(0)＝2a<0，
φ′(－2a)＝(－2a＋1)e－2a－＋2a>－2a＋1－1＋2a＝0，
所以∃x∈(0，－2a)，φ′(x)＝0.
0 0
当x∈[0，x)时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减，则φ(x)<φ(0)＝0.
0
即当x∈[0，x)时，h′(x)<0，
0
则h(x)在[0，x)上单调递减，
0
则当x∈[0，x)时，h(x)≤h(0)＝0 ，不符合条件．
0
综上所述，实数a的取值范围是[0，＋∞)．
[周六]
6．[坐标系与参数方程]
(2022·呼和浩特模拟)在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为(φ为参数)，以坐标原点为
极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的单位长度，直线 l的极坐标方
程为2ρcos θ＋3ρsin θ－10＝0.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)求曲线C上的点到直线l距离的最小值．
解 (1)由(φ为参数)，
消去参数得＋y2＝1，
所以曲线C的普通方程为＋y2＝1，
把代入直线l的极坐标方程2ρcos θ＋3ρsin θ－10＝0，得2x＋3y－10＝0，
所以直线l的直角坐标方程为2x＋3y－10＝0.
(2)由(1)知，令曲线C的参数方程为(α为参数)，
设P(2cos α，sin α)为曲线C上一点，P到直线l的距离为d，
则d＝＝＝，其中锐角β满足tan β＝，
因此，当sin(α＋β)＝1时，d取到最小值，
所以曲线C上的点到直线l距离的最小值为.
6．[不等式选讲]已知函数f(x)＝|x－a|－|3x－b|.
(1)当a＝1，b＝3时，求不等式f(x＋2)＋f(x＋1)≥－6的解集；
(2)当0<3a1，故a＋＝＋－≥2－＝，
当且仅当b＝时，等号成立，故a＋的最小值为.
