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专题 05 指数函数与对数函数（核心考点精讲精
练）
1. 近几年真题考点分布
指数函数与对数函数近几年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2022年全国乙（文科），第16题,5分 对数型函数奇偶性 求参
2022年全国乙（理科），第16题,5分 指数型函数 根据极值求参
2022年全国甲（文科），第12题,5分 指数、对数型函数比大小 不等式
2022年全国甲（理科），第5题,5分 指数型函数图象 三角函数
2022年全国甲（理科），第6题,5分 对数型函数 导函数
2023年全国甲（文科），第8题,5分 指数型函数 求切线
2023年全国乙（文科），第5题,5分 指数型函数奇偶性 奇偶性
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1.本节内容为高考必考点，考查指数、对数型函数的性质、图象等；
2.和幂函数一起考查比较大小。
【备考策略】1.了解有理数指数幂的含义，能根据实数指数幂的运算性质进行计算；
2.会画指数函数的图象，知道图象与函数之间的对应关系；
3.掌握指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用；
4.会进行对数的运算；会画对数函数的图象，理解对数函数和图象之间的对应.
y=ax y=log x(a>0,且a≠1)
5.了解指数函数 与对数函数 a 互为反函数；
6.掌握对数函数的性质与应用。
【命题预测】1.利用指数、对数型函数的性质比较大小；
2.函数解析式中含有指数、对数型函数，求切线、求极值、求参数；
3.根据指数、对数型函数的性质找出正确的函数图象。
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1知识讲解
一、根式
1.根式的概念
若 x n = a ,则x叫作a的n次方根,其中n>1且n∈N*.√n a叫作根式,这里n叫作根指数,a叫作被开方数.
2.a的n次方根的表示
{x=√n a,n为大于1的奇数且n∈N*,
xn=a
x=±√n a,n为偶数且n∈N*.
⇒
二、有理数指数幂
1.幂的有关概念
m
(1)正分数指数幂: an=√n am(a>0,m,n∈N*,且n>1);
1
m
(2)负分数指数幂:
a
- n=
√n am
(a>0,m,n∈N*,且n>1);
(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂 没有意义 .
2.实数指数幂的性质
(1)aras= a r+ s (a>0,r,s∈R);
(2)(ar)s= a rs (a>0,r,s∈R);
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2(3)(ab)r= a r b r (a>0,b>0,r∈R).
三、指数函数的图象与性质
y=ax(a>0,且a≠1)
函数
a>1 0 1 ;
化规律
当x>0时, 当x>0时,
y> 1 0 0,且a≠1)的图象,应抓住三个特殊的点:(1,a),(0,1), -1, .
a
2.指数函数的图象与底数大小的比较
指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx 的图象如图所示,底数 a,b,c,d 与 1 之间的大小关系为
c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律:在第一象限内,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象离x轴越远,底数
越大.
3.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质与a的取值有关,要特别注意分a>1与00,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a)，(0,1)， .
(2)已知函数解析式判断其图象,一般是取特殊点,判断所给的图象是否过这些点,若不满足则排除.
(3)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3换而得到的.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
比较指数式大小的方法:(1)当底数相同,指数不同时,构造指数函数比较大小.(2)当指数相同,底数不同时,
构造幂函数比较大小.(3)当底数不同,指数也不同时,常借助1,0等中间量进行比较.
1.解指数方程或不等式的依据:①af(x)=ag(x) f(x)=g(x).②af(x)>ag(x),当a>1时,等价于f(x)>g(x);当00,且a≠1),那么数x叫作以a为底N的对数,记作x=log N,其中a叫作对数的底数,N叫作
概念 a
真数,logN叫作对数式
a
对数式与指数式的互化:ax=N x= lo g N
a
结论
log a 1=0,log a a=1,alog a N= N
⇔
log (M·N)= lo g M+ log N
a a a
运算 M
log = lo g M- log N a>0,且a≠1,M>0,N>0
性质 aN a a
log Mn= n lo g M (n∈R)
a a
log b
换底 log b= c (a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1)
公式 a log a
c
换底公式的三个重要结论
1
(1)log b= ;
a log a
b
n
(2)log bn= log b;
am m a
(3)log b·log c·logd=log d.
a b c a
五、对数函数的图象与性质
函 y=log x(a>0,且a≠1)
a
数 a>1 01时,y>0;当01时,y<0;当0 0
化规律
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4对数函数图象的特点
(1 )
(1)对数函数y=log x的图象恒过点(1,0),(a,1), ,-1 ,依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象.
a a
g
(2)函数y=log x与y=lo 1x(a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称.
a
a
(3)对数函数的图象与底数大小的比较.
如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.
故00,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线 y= x 对称.
a
1.在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后
用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数的积、
商、幂再运算.
3.ab=N b=log N(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化.
a
⇔
利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、
零点时,常利用数形结合思想;
(2)对一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.
比较对数值大小的常见类型及解题方法
常见类型 解题方法
底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母 需对底数进行分类讨论
底数不同,真数相同 可以先用换底公式化为同底后,再进行比较
底数与真数都不同 常借助1,0等中间量进行比较
解对数不等式的类型及方法:①形如log x>log b的不等式,借助y=log x的单调性求解,如果a的取值不确
a a a
定,那么需分a>1与0b的不等式,需先将b化为以a为底的对数式的形式
a
再进行求解.
已知f(x)=log [g(x)]在区间[m,n]上是单调递增函数,对于这类问题,应从两个方面考虑:一是根据a与1的
a
大小关系确定g(x)在[m,n]上的单调性;二是g(x)>0在x∈[m,n]时恒成立,此时只需g(x) >0即可.
min
利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:
一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些
基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5考点一、指数幂运算
√ a3b23 √ab2
(a>0,b>0)
1 1 4
( ) √b
a4b2
¿
3
a
1．(2023年杭州模拟)化简 的结果是（ ）.
b a a2 b2
a b b a
A． B． C． D．
【答案】B
3 1 1
√ a3b23 √ab2 a2b⋅a6b3 3 + 1 1+ 1 1+ 1 2− 1 a
= =a2 6 3¿b 3 3=ab−1 = .
( a4 1 b 1 2 ) 4 ¿ √ 3 b ab2 ¿a − 3 1 ¿b3 1 b
a
【详解】
2．（2023年浙江省模拟）已知函数 ，则 ________， ________.
【答案】
【分析】根据分段函数解析式计算可得.
【详解】因为 ，所以 ，所以 .
1
1 √（4ab−1）3
（ ）2 ⋅ =
4 1
1．(1)计算: (0.1)−1 ⋅(a3 ⋅b−3 ) 2 （a>0,b>0） .
8
5
【答案】
3 3 3
−
2⋅42a2b 2 8
= =
3 3 5
−
【详解】原式
10a2b 2
.
3 3
−
1 1
x2 +x 2 −3
− =
(2)若 x2 +x 2 =3(x>0) ,则 x2 +x−2 −2 .
1
【答案】
3
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 61 1
【详解】由 x2 +x − 2 =3 ,两边平方得x+x−1 =7,
再平方得x2 +x−2 =47,∴x2 +x−2 −2=45.
3 3
−
又∵ 3 3 1 1 1 1 ,∴
x2 +x 2 −3 1
.
− − − =
x2 +x 2 =(x2 ) 3 +(x 2 ) 3 =(x2 +x 2 )(x−1+x−1 )=3×(7−1)=18 x2 +x−2 −2 3
2．化简求值:(1) ；(2) （ ， ）.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据分数指数幂的运算法则计算可得；
（2）将根式化为分数指数幂，再根据幂的运算法则计算可得.
【详解】（1） .
（2）
3．（2023年浙江省模拟）设函数 ，若 ，则 __________.
【答案】 /0.25
【分析】分段求解方程和指数方程，则问题得解.
【详解】当 时， ， ，当 时， ， (舍)． ．
考点二、指数函数的性质及应用
1．（2023年陕西省部分名校模拟）已知函数 ,若 ，且 ，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7【分析】作出 的图象，得到 ，问题转化为 ，换元
后进行求解，得到答案.
【详解】作出 的图象，如图所示：
由 ，可得 ，
则 ，令 ，
则 ，故 ．
2．（2023年朔州市名校模拟）若函数 ，在R上单调递增，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先，对勾函数 和 都是递增函数，当 时，对勾函数取值要大于或
等于指数式的值，再求交集即可实数a的取值范围.
【详解】当 时，函数 单调递增，所以
当 时， 是单调递增函数，所以 ，所以
当 时，对勾函数取值要大于或等于指数式的值，所以 ，解之得： ，
综上所述：实数a的取值范围是
3．（2023年高考全国甲卷（文科）真题）已知函数 ．记 ，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令 ，则 开口向下，对称轴为 ，
因为 ，而 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8所以 ，即
由二次函数性质知 ，
因为 ，而 ，
即 ，所以 ，
综上， ，又 为增函数，故 ，即 .
1．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分段函数的表达式，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可．
【详解】函数 在 上为减函数，
函数 的图像开口向下，对称轴为 ，
所以函数 在区间 上为减函数，且 .
所以函数 在 上为减函数.
由 得 .解得 .
2．若函数 是R上的增函数，则实数 的取值范围为__________.
【答案】
【分析】根据已知条件得出不等式组 ，求解即可得出答案.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9【详解】要使函数 为R上的增函数，应有 ，解得 .
3．已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数 的单调性可得 ，然后利用函数指数函数和幂函数的单调性可得.
【详解】因为函数 在R上单调递减， ，所以 ，
因为函数 在R为增函数，所以 ，
又 在 上单调递增，所以 ，综上， .
考点三、对数的运算
1．(1)(2020年全国Ⅰ卷)设
alog
3
4=2 ,则4−a
=（ ）.
1 1 1 1
16 9 8 6
A． B． C． D．
【答案】B
1
【详解】由
alog
3
4=2
可得
log
3
4a =2
,所以
4a =9
,所以
4−a
= 9
.
1
log 35+2log √2−log −log 14=
5 1 550 5
(2)计算: 2 .
【答案】2
【详解】原式
1 35
=log 35−log −log 14+log (√2) 2 =log +log 2=log 125−1=log 53 −1=3−1=2
5 550 5 1 5 1 1 5 5
2 ×14 2
50
.
log 25⋅log (2√2)⋅log 9=
(3)计算: 2 3 5 .
【答案】6
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 103
lg25 lg(√2) 3 lg9 lg52 lg22 lg32
log 25⋅log (2√2)⋅log 9= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =6
2 3 5 lg2 lg3 lg5 lg2 lg3 lg5
【详解】 .
2．(2022年浙江卷) 已知 2a =5 , log 8 3=b ,则4a−3b =（ ）.
25 5
9 3
A．25 B．5 C． D．
【答案】C
1
b=log 3= log 3
【详解】因为
2a =5
,
8 3 2
,即
23b =3
,
4a (2a) 2 52 25
4a−3b
= = = =
43b (23b
)
2 32 9
所以 .
3．（2023年浙江省模拟）已知函数 ，则 _______， _________.
【答案】 / /
【分析】利用函数 的解析式可求得 的值，计算出 的范围，根据函数 的解析式可求得
的值.
【详解】因为 ，则 ；因为 ，
所以， ，所以， .
1．计算：（1） ；
（2） .
（3） .
【答案】（1）0；（2） ；（3）2
【分析】（1）（2）（3）根据指数幂和对数的运算法则直接计算；
【详解】（1）原式 ；
（2） ＝
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 11＝ ＝ ＝
（3）
=2
2．（2023年北京高考数学真题）已知函数 ，则 ____________．
【答案】1
【分析】根据给定条件，把 代入，利用指数、对数运算计算作答.
【详解】函数 ，所以 .
3．已知函数 ．则 ______；若 ，则实数m的值为______．
【答案】 或
【分析】第一空，直接代入即可求解；第二空，对参数 的取值范围进行分类讨论，结合函数解析式和函
数值，即可求得结果.
【详解】因为 ，所以 ，
当 时， ，解得 ，满足题意；
当 时， ，解得 ，满足题意；综上： 的值为 或 .
考点四、指数、对数函数的图象
a−2 >a2 (a>0且a≠1) f(x)=log (x−1)
1．(2023 年宁波适应性考试)若 ,则函数 a 的图象大致是（
）.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12A B C D
【答案】C
【详解】∵a−2 >a2 (a>0且a≠1),且−2<2,∴指数函数y=ax
为减函数,∴00,且a≠1)
3．(2023年山东二模)已知函数 a 的图象如图所示,则a,b满足的关系
是（ ）.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13A．
01.函数图象与y轴的交点坐标为(0,log
a
b),
1 1
由函数图象可知 −10时g(x)的图象,然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出当x<0时g(x)的图象,最后由函数g(x)的
图象向上整体平移1个单位长度即得f (x)的图象,结合图象知选A.
2．（2023年新高考天津数学高考真题）函数 的图象如下图所示，则 的解析式可能为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在 上的
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14函数符号排除选项，即得答案.
【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且 ，
由 且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
3．已知函数 （ 且 ）的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数图象可得出 、 的取值范围，利用指数函数的基本性质可判断ACD选项，利用不等式
的基本性质可判断B选项.
【详解】由图象可知，函数 （ 且 ）在 上单调递增，则 ，
且当 时， ，可得 .对于A选项， ，A对；
对于B选项， ，B对；对于C选项， ，C错；
对于D选项，由题意可知， ，则 ，所以， ，D对.
考点五、对数函数的性质及应用
1．（2023年陕西省模拟）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用解绝对值不等式和对数函数的性质可得集合 ，根据集合的交集运算即得答案.
【详解】由题意可得集合 ，
，故 .
log 2 log 3 log 6
2．(2023年四川绵阳三模)已知a= 7 ,b= 7 ,c= 7 ,则 , , 的大小关系为（ ）.
2 3 6 a b c
A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．b>c>a
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15【答案】B
log 2 3log 2 log 8 log 3 2log 3 log 9
【详解】因为 mlogab=log(ab) m,所以a=
2
7 =
6
7 =
6
7 ,b=
3
7 =
6
7 =
6
7 .
log 6
又因为y=log x为增函数,c= 7 ,所以log 6a>c.
6
7 7 7 7
3．（2023年浙江省模拟）函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． 和 D． 和
【答案】C
【分析】首先求出函数的定义域，在分析内、外层函数的单调性，结合复合函数的单调性判断即可.
【详解】对于函数 ，令 ，解得 且 ，
所以函数的定义域为 ，
又函数 ，
所以 在 ， 上单调递增，在 ， 上单调递减，
又函数 在定义域 上单调递减，根据复合函数的单调性，
可知 的单调递增区间为 和 .
1．设函数f (x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=lg(3x+1)−1,则不等式f (x)>0的解集为（
）.
A．（−3，0）∪（3，+∞） B．（3，+∞） C．（−3,3） D．（−∞，−3）∪（3，+∞）
【答案】D
【详解】当x≥0时,由f(x)=lg(3x+1)−1>0,得x>3.又因为函数f (x)为偶函数,所以不等式f (x)>0
的解集为（−∞，−3）∪（3，+∞）.
2．已知a=log23 ,b=log46 ,c=log69
,则（ ）.
A．blog4 >log6
,∴ .
2 2 2 a>b>c
f(x)=log (4×2−4ax+3a)
3．设函数 1 在 （0,1） 上是增函数,则 的取值范围是（ ）.
3 a
【答案】[2,4]
y=log t在（0，+∞）
【详解】令 ,由 1 上是减函数
t=4×2−4ax+3a
3
可得t=4×2−4ax+3a在（0,1）上是减函数,且t>0在（0,1）上恒成立
a
又 t=4×2−4ax+3a=4（x− ） 2 −a2+3a ,
2
{ a
≥1,
∴ 2 ，解得 .
4−4a+3a≥0 2≤a≤4
考点六、指数、对数函数的综合应用
f (x)=log ( x2 −ax + 1)
a 2
1．若函数 有最小值,则实数a的取值范围是 .
【答案】(1,√2)
1 1 1 a2 1 a2
u=x2 −ax + =(x− ) 2 + − −
2 2 2 4 2 4
【 详 解 】 令 , 则 u有 最 小 值 , 欲 使 函 数
{ a>1
f (x)=log ( x2 −ax + 1) 1 − a2 >0 ， √2 √2
a 2 2 4
有最小值,则有 解得10)
,则方程
2x +b⋅2−x +c=0
可化为
t
,即
t2 +ct+b=0
,甲写错了常数
b
,
1 17 1 17 9
t= 和t= c=−( + )=−
所以 4 4 是方程 t2 +ct+b， =0 的两根,所以 4 4 2, ,乙写错了常数c,所以
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 199
t2 − t+2=0
t=1和t=2
是方程
t2 +c，t+b=0
的两根,所以
b=1×2=2
,则可得原方程可化为
2
,解得
1
t= 和t=4
2 x=−1或x=2
,所以原方程的根为 .
3．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】观察 的形式构造函数，判断函数的单调性来比较大小.
【详解】 ， ， .
构造函数 ，则 ,当 时， ,函数 递增;当 时，
,函数 递减；因为 ,所以
考点七、情景设置
1．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定
义声压级 ，其中常数 是听觉下限阈值， 是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽
10
车
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 处测得实际声压分别为 ，则错误的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 20【分析】根据题意可知 ，结合对数运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知： ，
对于选项A：可得 ，因为 ，则 ，
即 ，所以 且 ，可得 ，故A正确；
对于选项B：可得 ，因为 ，则
，
即 ，所以 且 ，可得 ，
当且仅当 时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为 ，即 ，可得 ，即 ，故C正确；
对于选项D：由选项A可知： ，且 ，则 ，
即 ，可得 ，且 ，所以 ，故D正确；
2．（2023湖南省名校模拟）著名田园诗人陶渊明也是一个大思想家，他曾言：勤学如春起之苗，不见其
增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏.今天，我们可以用数学观点来对这句话重新诠释，
我们可以把“不见其增”量化为每天的“进步率”都是 ，一年后是 ；而把“不见其损”量化为每
天的“落后率”都是 ，一年后是 .可以计算得到，一年后的“进步”是“落后”的
倍.那么，如果每天的“进步率”和“落后率”都是20%，要使“进步”是“落后”的 倍，大约需要
经过（ ， ）（ ）
A．17天 B．19天 C．23天 D．25天
【答案】C
【分析】根据题意得 ，根据对数的运算性质即可求解.
【详解】经过x天后，“进步”与“落后”的比 ，所以 ，
两边取以 为底的对数得 ，又 ， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 21所以 ，解得 ，
所以大约经过 天后，“进步”是“落后”的 倍.
3．（2020年新课标Ⅲ（理科）高考真题）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有
学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：
，其中K为最大确诊病例数．当I( )=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 约为
（ ）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
【答案】C
【分析】将 代入函数 结合 求得 即可得解.
【详解】 ，所以 ，则 ，
所以， ，解得 .
【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.
1．苏格兰数学家纳皮尔（J. Napier，1550-1617）发明的对数及对数表（如下表），为当时的天文学家处理
“大数”的计算大大缩短了时间.即就是任何一个正实数N可以表示成 ，则
，这样我们可以知道N的位数.已知正整数 是35位数，则M的值为（ ）
N 2 3 4 5 11 12 13 14 15
0.30 0.48 0.60 0.70 1.04 1.08 1.11 1.15 1.18
A．3 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【分析】根据给定条件，列出不等式，再取常用对数即可判断作答.
【详解】因为 ，则 ，
所以 ，两边取常用对数得 ，于是 ，即 ，
所以 .
2．（2023年重庆市部分名校模拟）2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子
王旗预定区域安全着陆，嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回
弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似.现将石片扔向水面，假设石片第一次接
触水面的速率为 ，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 22速率为上一次的 ，若要使石片的速率低于 ，则至少需要“打水漂”的次数为（ ）
（参考数据：取 ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】设石片第 次“打水漂”时的速率为 ，则 ，由于 ，可得 ，
再结合对数公式，即可求解．
【详解】设石片第 次“打水漂”时的速率为 ，则 ， ，
，则 ，即 ，
解得 ，故至少需要“打水漂”的次数为10．
3．设 ，用 表示不超过x的最大整数，则 称为高斯函数，例如: ， ．已知
函数 ，若 ， ，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据高斯函数的定义，分段讨论 的取值，计算 的值域.
【详解】当 时, ，∴ ，当 时, ，
∴ ，∴函数 的值域为 .
【基础过关】
1．（2023年安徽省部分名校模拟）集合 ，集合 ，全集
，则(C A)∪B
为（ ）
U
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对数的性质以及根式的性质可化简集合，即可由集合的交并补运算求解.
【详解】对于集合A,由于 或 ，所以A=(−∞,−2)∪(2,+∞), C A=[−2,2] ，
U
,故(C A)∪B= .
U
2．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的
能量 （单位：焦耳）与地震里氏震级 之间的关系为 .据此，地震震级每提高1级，释放
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 23出的能量是提高前的（参考数据： ）（ ）
A．9.46倍 B．31.60倍 C．36.40倍 D．47.40倍
【答案】B
【分析】记地震震级提高至里氏震级 ，释放后的能量为 ，由题意可推得 ，根据对数
的运算，结合指对互化以及指数幂的运算，即可得出答案.
【详解】记地震震级提高至里氏震级 ，释放后的能量为 ，
由题意可知， ，即 ，所以 .
2
3． lg4+2lg5+log28+83
=
（ ）.
A.8 B.9 C.10 D.1
【答案】B
【详解】因
lg4+2lg5=lg4+lg52=lg4+lg25=lg100=2
,
log28=log223=3
,
2 2
83 =（23）3 =22=4 ,所以原式 =2+3+4=9.
4．（2023河南省部分名校模拟）设 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（
）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【答案】A
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性可得出 ， ，进而即可得到 ， ， 的大小关系．
【详解】由 ，且 ，即 ，又 ，
所以c＜b＜a．
5．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为 ℃，空气温度为
℃，则 分钟后物体的温度 （单位：℃，满足： )若常数 ，空气温度为 ℃，
某物体的温度从 ℃下降到 ℃，大约需要的时间为（ ）（参考数据： ）
A．39分钟 B．41分钟 C．43分钟 D．45分钟
【答案】B
【分析】将已知数据代入模型，解之可得答案.
【详解】由题知 ， ， ， ， ，
， ， .
6．（2023年浙江省部分名校模拟）已知 ，则（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 24A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数，对数函数的单调性，以及正弦函数的性质求解.
【详解】因为 ，所以 ，
7．（陕西省咸阳市武功县普集高级中学2023届高三下学期5月八模文科数学试题）函数 的
图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先得到函数的奇偶性，排除AC，再比较出 ，排除B，得到正确答案.
【详解】由题知， 的定义域为 ，因为 ，
∴ 是奇函数，排除A，C，
因为 ，排除D.
8．（2002年普高招生考试理科（大纲卷））函数 在 上的最大值与最小值的和为3，则
______________．
【答案】2
【分析】由 的单调性，可得其在 和 时，取得最值，列出方程求出 的值
【详解】根据题意，由函数 的性质，可知其在 上是单调函数，
即当 和 时，取得最值，∴ ，由 ，可得 ，即 .
9．函数 的值域为______．
【答案】 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 25【分析】利用换元法结合二次函数求值域即可.
【详解】设 ，则 ，
换元得 ，显然当 时，函数 取到最小值 ，
所以函数 的值域为 ．
1+ax
f(x)=log +2(a>0且a≠1)
10．已知函数
a 1−ax
,
f (m)=3
,则
f(−m)=
（ ）.
A.3 B.1 C.5 D.-3
【答案】B
1+ax
g(x)=log (a>0且a≠1)
【详解】(法一)根据对数函数的运算性质和奇函数的定义可知,
a 1−ax
是奇函数,
g(x)=f(x)−2 g(m)=f(m)−2=3−2=1
所以 是奇函数,故 ,
g(−m)=f(−m)−2=−1 f(−m)=1
所以 ,即 .
f (x) （0,2）
(法二)根据对数函数和函数图象对称的知识可知 ,函数 的图象关于点 对称,所以
f (m)+f (−m)=4 f(−m)=4−f(m)=4−3=1
,即 .
11．（2023年广西河池市模拟）已知函数 其中 ，若函数 无最大值，则实
数a的取值范围是______．
【答案】
【分析】结合对数函数的性质与反比例函数的性质分段确定函数的取值情况，满足函数 无最大值列不
等式，即可求得实数a的取值范围．
【详解】因为 ，所以当 时， 在区间 上单调递增，所以此时
；
当 时， 在区间 上单调递减，所以此时 ，
若函数 无最大值，则 ，解得 ，又 ，所以a的取值范围为 .
12．（2023年天津市部分名校模拟）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】注意到 ， ，后利用指数函数，幂函数单调性可比较 大小.
【详解】因函数 在 上单调递增， 在 上单调递减，则 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 26， .
又函数 在 上单调递增，则 ，又 ，则 .综上， .
13．（2023太原市名校模拟）已知函数 ，若 ，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分段函数的表达式，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可．
【详解】函数 在 上为减函数，函数 的图像开口向下，对称轴为 ，
所以函数 在区间 上为减函数，且 .
所以函数 在 上为减函数. 由 得 .解得 .
【能力提升】
ex −e−x
1．(2023年陕西西安模拟)已知函数f(x)=lg
,则 是（ ）.
2 f (x)
A．非奇非偶函数,且在（0，+∞）上单调递增 B．奇函数,且在R上单调递增
C．非奇非偶函数,且在（0，+∞）上单调递减 D．偶函数,且在R上单调递减
【答案】A
ex −e−x 1
【详解】要使函数有意义,需使 >0,即 ex> ,即 ,解得 ,
2 ex e2x>1 x>0
所以函数f (x)的定义域为（0，+∞）,定义域不关于原点对称,所以f (x)是非奇非偶函数.
1 ex −e−x
因为y=ex,y=−e−x=− 是增函数,所以y= 是增函数,
ex 2
ex −e−x
又 y=lg
x是增函数,所以函数f(x)=lg
在定义域 上单调递增.
y=lgx 2 （0，+∞）
2．（2023河南省名校模拟）已知函数 的最大值为0，则实数a的取值范围为
（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 27A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对a作分类讨论，根据题意求解.
【详解】若 ， 即当 时 ，∴ 的最大值为0，满足题意；
若 ，当 时， ，不满足题意；
若 ，当 时 ，当 时 ，当 时等号成立，满足题意；
若 ，当 时， ，当 时， ，
当 时等号成立，满足题意；
若 ，当 时， ，当 时， ，不满足题意；
所以 ；
3．（2023年河南省部分名校模拟）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由 ，可得 ，而 ，则可得 ，再由 ，易得 ，
b>a
则可知 ，由此即可选出答案.
【详解】 ，
由 ，有 ，可得 ．
又由 ，有 ，有 ，
可得 ．
4．如图所示，函数 的图象是（ ）
A． B．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 28C． D．
【答案】B
【分析】将原函数变形为分段函数，根据 及 时的函数值即可得解.
【详解】∵ ，
∴ 时， ，
当 时，函数 为 上的单调递增函数，且 ，
当 时，函数 为 上的单调递减函数，且 ，
5．定义域为 的函数 满足 ，且当 时， 恒成立，
设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，求得函数的对称性以及单调性，结合对数函数以及指数函数的单调性，求得
的大小关系，可得答案.
【详解】因为函数 满足 ，所以函数 的图象关于直线 成轴对称，
因为当 时， ，由 ，则 ，即 ，
所以 在 上单调递增，则 在 上单调递减，由 ，
由 ，根据函数 在 上单调递增，则 ；
由 ，根据函数 在 上单调递增，则 .
由函数 在 上单调递减，则 ，即 .
6．（2023年浙江省部分名校联考试题）已知实数 ，其中 ，则
的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 29【分析】利用指数函数的值域与对数函数的性质判断得 ；利用指数与对数的互换判断 ；利用对
数的运算法则与对数函数的性质判断得 ；从而得解.
【详解】因为 ， ，所以 ，则 ；
因为 ，所以 ， 且 ，所以 ；
因为 ，所以 ；综上： .
7．（2023江苏省部分名校模拟）已知函数 若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
x ,x
【分析】根据指数函数的性质，整理 的方程，可得 的值；根据三角函数的对称性，可得
1 2
的值，可得答案.
【详解】当 时， ，则 ，当 时， ，则 ；
由题意，可得 ，则 .
由 ，则 ，即此时函数 的图象关于直线 对称，
根据题意可得 ，则 ，故 .
8．（2001年普高招生考试（广东卷））若定义在区间 内的函数 满足 ，则a
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意 ，讨论 、 ，结合对数函数的性质确定参数的范围.
【详解】由题意 ，
当 ，即 时，在 上 ，满足要求；
当 ，即 时，在 上 ，不满足要求.
综上， .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 309．（2023海南省模拟）下列四个函数中的某个函数在区间 上的大致图象如图所示，则该函数是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用题给函数在 上先正值后负值的变化情况排除选项A；利用题给图象可知函数是奇函数排
除选项C；利用当 时题给函数值为负值排除D；而选项B均符合以上要求.
【详解】当 时， ， .排除A；
由偶函数定义可得 为偶函数，由题给图象可知函数是奇函数，排除C；
当 时， .排除D；
为奇函数，且当 时， ，
当 时， .B均符合题给特征.
10．已知 是定义在 上的奇函数．
（1）求实数 的值；
（2）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据奇函数 即可求出结果；
（2）根据 的奇偶性和单调性即可求出结果.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 31【详解】（1）因为 为定义在 上的奇函数，所以 ，所以 ．
此时 ，经验证， ，故 ．
（2）由（1）可知 ，任取 ，
则 ，
因为 ，则 ， ，所以 ，所以 是 上的增函数．
由 恒成立，得 恒成立，则 ，
所以 恒成立，因为 ，所以 ．
实数 的取值范围为： ．
11．（2005年普高招生考试（文）（北京卷））对于函数 定义域中任意的 ，有如下结
论：
① ；
② ；
③ ；
④
当 时，上述结论中正确结论的序号是________．
【答案】②③
【分析】根据对数的运算法则计算得到①不正确，②正确，根据对数函数的单调性得到③正确，代入计算
结合均值不等式得到④不正确，得到答案.
【详解】 ， ，则①不正确；
， ，故②正确；
在 上单调递增，则当 时， ，则 ，同理 时成
立，故③正确；
， ， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 32则 ，故④不成立.故答案为：②③
12．（2023浙江省名校模拟）设函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令 ，根据复合函数的单调性可知，内层函数 在 上为减函数，结合二
次函数的单调性可得出实数 的取值范围.
【详解】令 ，则二次函数 的图象开口向上，对称轴为直线 ，
因为外层函数 在 上为减函数，函数 在区间 上为增函数，
所以，内层函数 在 上为减函数，故 .
13．已知 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 ，求出导函数得出单调性，从而可得 ，即
，得出 大小，同理可得 大小，得出答案.
【详解】∵ ，构造函数 ， ，
令 ，则 ，∴ 在 上单减，∴ ，
故 ，所以 在 上单减，
∴ ，
∵ ，构造函数 ， ，
令 ，则 ，∴ 在 上单减，
∴ ，故 ，所以 在 上单减，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 33∴ ，
【真题感知】
1．(2021年全国甲卷高考真题)下列函数中是增函数的是（ ）
2
f(x)=−x
f(x)=（
3
） x
f (x)=x2 f (x)=√ 3 x
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由一次函数的性质可知f(x)=−x在R上是减函数,不符合题意;
2
由指数函数的性质可知 f(x)=（ ） x 在 上是减函数,不符合题意;
3 R
由二次函数的性质可知f (x)=x2 在R上不单调,不符合题意;
3
根据幂函数的性质可知f (x)=√x在R上单调递增,符合题意.
2．（2022年北京市高考真题）已知函数 ，则对任意实数x，有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．
【详解】 ，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；
3．（2023年新课标全国Ⅰ卷真题）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数 在R上单调递增，而函数 在区间 上单调递减，
则有函数 在区间 上单调递减，因此 ，解得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 34所以 的取值范围是 .
4．（2023年北京高考真题）下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【详解】对于A，因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，故A错误；
对于B，因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，故B错误；
对于C，因为 在 上单调递减， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递增，故C正确；
对于D，因为 ， ，
显然 在 上不单调，D错误.
5．（2022年全国高考甲卷（文科）试题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知 ，再利用基本不等式，换底公式
可得 ， ，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由 可得 ，而 ，所以 ，
即 ，所以 .
又 ，所以 ，即 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 35所以 .综上， .
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由 ，可得 ．
根据 的形式构造函数 ，则 ，
令 ，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用 的形式构造函数 ，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该
题的最优解．
6．（2021年全国高考乙卷高考真题）设 ， ， ．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，
将0.01换成x,分别构造函数 , ，利用导数分析其在
0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】[方法一]：
，
所以 ；下面比较 与 的大小关系.
记 ，则 ， ，
由于 所以当00时， ，
所以 ，即函数 在[0，+∞)上单调递减，所以 ，即 ，即
b
