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专题 05 指数函数与对数函数（核心考点精讲精
练）
1. 近几年真题考点分布
指数函数与对数函数近几年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2022年全国乙（文科），第16题,5分 对数型函数奇偶性 求参
2022年全国乙（理科），第16题,5分 指数型函数 根据极值求参
2022年全国甲（文科），第12题,5分 指数、对数型函数比大小 不等式
2022年全国甲（理科），第5题,5分 指数型函数图象 三角函数
2022年全国甲（理科），第6题,5分 对数型函数 导函数
2023年全国甲（文科），第8题,5分 指数型函数 求切线
2023年全国乙（文科），第5题,5分 指数型函数奇偶性 奇偶性
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1.本节内容为高考必考点，考查指数、对数型函数的性质、图象等；
2.和幂函数一起考查比较大小。
【备考策略】1.了解有理数指数幂的含义，能根据实数指数幂的运算性质进行计算；
2.会画指数函数的图象，知道图象与函数之间的对应关系；
3.掌握指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用；
4.会进行对数的运算；会画对数函数的图象，理解对数函数和图象之间的对应.
y=ax y=log x(a>0,且a≠1)
5.了解指数函数 与对数函数 a 互为反函数；
6.掌握对数函数的性质与应用。
【命题预测】1.利用指数、对数型函数的性质比较大小；
2.函数解析式中含有指数、对数型函数，求切线、求极值、求参数；
3.根据指数、对数型函数的性质找出正确的函数图象。
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1知识讲解
一、根式
1.根式的概念
若 ,则x叫作a的n次方根,其中n>1且n∈N*.√n a叫作根式,这里n叫作根指数,a叫作被开方数.
2.a的n次方根的表示
{x=√n a,n为大于1的奇数且n∈N*,
xn=a⇒
x=±√n a,n为偶数且n∈N*.
二、有理数指数幂
1.幂的有关概念
m
(1)正分数指数幂: an=√n am(a>0,m,n∈N*,且n>1);
1
m
(2)负分数指数幂:
a
- n=
√n am
(a>0,m,n∈N*,且n>1);
(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂 .
2.实数指数幂的性质
(1)aras= (a>0,r,s∈R);
(2)(ar)s= (a>0,r,s∈R);
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2(3)(ab)r= (a>0,b>0,r∈R).
三、指数函数的图象与性质
y=ax(a>0,且a≠1)
函数
a>1 00时, 当x>0时,
1.指数函数图象的画法
( 1)
画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个特殊的点:(1,a),(0,1), -1, .
a
2.指数函数的图象与底数大小的比较
指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象如图所示,底数a,b,c,d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由
此我们可得到以下规律:在第一象限内,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象离x轴越远,底数越大.
3.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质与a的取值有关,要特别注意分a>1与00,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a)，(0,1)， .
(2)已知函数解析式判断其图象,一般是取特殊点,判断所给的图象是否过这些点,若不满足则排除.
(3)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3换而得到的.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
比较指数式大小的方法:(1)当底数相同,指数不同时,构造指数函数比较大小.(2)当指数相同,底数不同时,
构造幂函数比较大小.(3)当底数不同,指数也不同时,常借助1,0等中间量进行比较.
1.解指数方程或不等式的依据:①af(x)=ag(x)⇔f(x)=g(x).②af(x)>ag(x),当a>1时,等价于f(x)>g(x);当00,且a≠1),那么数x叫作以a为底N的对数,记作x=logN,其中a叫作对数的底数,N叫作真
概念 a
数,logN叫作对数式
a
对数式与指数式的互化:ax=N⇔
结论
log a 1=0,log a a=1,alog a N=
log(M·N)=
a
运算 M
log = a>0,且a≠1,M>0,N>0
性质 aN
logMn= (n∈R)
a
log b
换底 logb= c (a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1)
公式 a log a
c
换底公式的三个重要结论
1
(1)logb= ;
a log a
b
n
(2)log bn= logb;
am m a
(3)logb·log c·logd=logd.
a b c a
五、对数函数的图象与性质
函 y=logx(a>0,且a≠1)
a
数 a>1 01时,y>0;当01时,y<0;当00,且a≠1)的图象关于x轴对称.
a
a
(3)对数函数的图象与底数大小的比较.
如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.
故00,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线 对称.
a
1.在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后
用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数的积、
商、幂再运算.
3.ab=N⇔b=logN(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化.
a
利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、
零点时,常利用数形结合思想;
(2)对一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.
比较对数值大小的常见类型及解题方法
常见类型 解题方法
底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母 需对底数进行分类讨论
底数不同,真数相同 可以先用换底公式化为同底后,再进行比较
底数与真数都不同 常借助1,0等中间量进行比较
解对数不等式的类型及方法:①形如logx>logb的不等式,借助y=logx的单调性求解,如果a的取值不确
a a a
定,那么需分a>1与0b的不等式,需先将b化为以a为底的对数式的形式再
a
进行求解.
已知f(x)=log[g(x)]在区间[m,n]上是单调递增函数,对于这类问题,应从两个方面考虑:一是根据a与1的大
a
小关系确定g(x)在[m,n]上的单调性;二是g(x)>0在x∈[m,n]时恒成立,此时只需g(x) >0即可.
min
利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:
一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用.
考点一、指数幂运算
√ a3b23 √ab2
(a>0,b>0)
1 1 4
( ) √b
a4b2
¿
3
a
1．(2023年杭州模拟)化简 的结果是（ ）.
b a a2 b2
a b b a
A． B． C． D．
2．（2023年浙江省模拟）已知函数 ，则 ________， ________.
1
1 √（4ab−1）3
（ ）2 ⋅ =
4 1
1．(1)计算: (0.1)−1 ⋅(a3 ⋅b−3 ) 2 （a>0,b>0） .
3 3
−
1 1
x2 +x 2 −3
− =
(2)若 x2 +x 2 =3(x>0) ,则 x2 +x−2 −2 .
2．化简求值:(1) ；(2) （ ， ）.
3．（2023年浙江省模拟）设函数 ，若 ，则 __________.
考点 二 、 指数函数的性质及应用
1．（2023年陕西省部分名校模拟）已知函数 ,若 ，且 ，则 的取
值范围是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6A． B． C． D．
2．（2023年朔州市名校模拟）若函数 ，在R上单调递增，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年高考全国甲卷（文科）真题）已知函数 ．记 ，
则（ ）
A． B． C． D．
1．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若函数 是R上的增函数，则实数 的取值范围为__________.
3．已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
考点 三 、 对数的运算
1．(1)(2020年全国Ⅰ卷)设
alog
3
4=2 ,则4−a
=（ ）.
1 1 1 1
16 9 8 6
A． B． C． D．
1
log 35+2log √2−log −log 14=
5 1 550 5
(2)计算: 2 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7log 25⋅log (2√2)⋅log 9=
(3)计算: 2 3 5 .
2．(2022年浙江卷) 已知 2a =5 , log 8 3=b ,则4a−3b =（ ）.
25 5
9 3
A．25 B．5 C． D．
3．（2023年浙江省模拟）已知函数 ，则 _______， _________.
1．计算：（1） ；
（2） .
（3） .
2．（2023年北京高考数学真题）已知函数 ，则 ____________．
3．已知函数 ．则 ______；若 ，则实数m的值为______．
考点 四 、 指数、对数函数的图象
a−2 >a2 (a>0且a≠1) f(x)=log (x−1)
1．(2023年宁波适应性考试)若 ,则函数 a 的图象大致是（
）.
A B C D
2．（2022年全国高考甲卷（理）高考真题）函数 在区间 的图象大致为
（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8A． B．
C． D．
f(x)=log (2x +b−1)(a>0,且a≠1)
3．(2023年山东二模)已知函数 a 的图象如图所示,则a,b满足的关系
是（ ）.
A．
0b>c B．b>a>c C．a>c>b D．b>c>a
3．（2023年浙江省模拟）函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． 和 D． 和
1．设函数f (x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时, f(x)=lg(3x+1)−1 ,则不等式f (x)>0的解集为（
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10）.
A．（−3，0）∪（3，+∞） B．（3，+∞） C．（−3,3） D．（−∞，−3）∪（3，+∞）
2．已知
a=log23
,
b=log46
,
c=log69
,则（ ）.
A．b0且a≠1)
10．已知函数
a 1−ax
,
f (m)=3
,则
f(−m)=
（ ）.
A.3 B.1 C.5 D.-3
11．（2023年广西河池市模拟）已知函数 其中 ，若函数 无最大值，则实
数a的取值范围是______．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1412．（2023年天津市部分名校模拟）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
13．（2023太原市名校模拟）已知函数 ，若 ，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【能力提升】
ex −e−x
1．(2023年陕西西安模拟)已知函数f(x)=lg
,则 是（ ）.
2 f (x)
A．非奇非偶函数,且在（0，+∞）上单调递增 B．奇函数,且在R上单调递增
C．非奇非偶函数,且在（0，+∞）上单调递减 D．偶函数,且在R上单调递减
2．（2023河南省名校模拟）已知函数 的最大值为0，则实数a的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年河南省部分名校模拟）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，函数 的图象是（ ）
A． B．
C． D．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 155．定义域为 的函数 满足 ，且当 时， 恒成立，
设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023年浙江省部分名校联考试题）已知实数 ，其中 ，则
的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023江苏省部分名校模拟）已知函数 若
，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2001年普高招生考试（广东卷））若定义在区间 内的函数 满足 ，则a
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023海南省模拟）下列四个函数中的某个函数在区间 上的大致图象如图所示，则该函数是
（ ）
A． B． C． D．
10．已知 是定义在 上的奇函数．
（1）求实数 的值；
（2）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
11．（2005年普高招生考试（文）（北京卷））对于函数 定义域中任意的 ，有如下结
论：
① ；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16② ；
③ ；
④
当 时，上述结论中正确结论的序号是________．
12．（2023浙江省名校模拟）设函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
13．已知 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【真题感知】
1．(2021年全国甲卷高考真题)下列函数中是增函数的是（ ）
2
f(x)=−x
f(x)=（
3
） x
f (x)=x2 f (x)=√ 3 x
A． B． C． D．
2．（2022年北京市高考真题）已知函数 ，则对任意实数x，有（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年新课标全国Ⅰ卷真题）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
4．（2023年北京高考真题）下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022年全国高考甲卷（文科）试题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2021年全国高考乙卷高考真题）设 ， ， ．则（ ）
A． B． C． D．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 177．（2021年全国高考甲卷高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．
通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足
．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（
）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
8．（2020年新课标Ⅲ（理科）高考真题）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（
）
A．a
