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专题 05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍..............................................1
二、典型题型..............................................1
题型一：倒序相加法.....................................1
题型二：通项为 型求和...........................5
题型三：通项为 型求和....................10
三、专题05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）专项训练. . .16
一、必备秘籍
1、倒序相加法，即如果一个数列的前 项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，
则可使用倒序相加法求数列的前 项和.
2、分组求和法
2.1如果一个数列可写成 的形式，而数列 ， 是等差数列或等比数列
或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.
2.2如果一个数列可写成 的形式，在求和时可以使用分组求和法.
二、典型题型
题型一：倒序相加法
1．（2023高一·全国·竞赛）已知 ，
其中 是 上的奇函数，则数列 的通项公式为（ ）．A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由奇函数的性质可得 ，从而得到 ，再利用倒
序相加法计算可得.
【详解】因为 是 上的奇函数，
则 ，即 ，
即 ，即 ，
所以当 ，则 ，
又 ，
所以 ，
所以
，
.
故选：C．
2．（2013高一·全国·竞赛）函数 ，则
的值为（ ）．
A．2012 B． C．2013 D．
【答案】B
【分析】由题意可得 ，再由倒序相加法求解即可.
【详解】由 可得： ，
所以 ， ，所以设
，
则两式相加可得：
．
故选：B.
3．（2024高三·全国·专题练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼
时，在 的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前
后对应项的和呈现一定的规律而生成．此方法也称为高斯算法．现有函数 ，
设数列 满足 ，若存在 使不
等式 成立，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先计算出 的图象关于点 中心对称，利用倒序相加求出 ，从而
得到 ，结合对勾函数的单调性得到 ，求出 的取值
范围.
【详解】因为
，
所以 的图象关于点 中心对称．
因为 ，
所以 ，
两式相加得 ，所以 ．
由 ，得 ，所以 ．
令 ，则当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增．
又 ，所以 ，
所以 ，即 的取值范围是 ．
故答案为：
【点睛】结论点睛：函数的对称性：
若 ，则函数 关于 中心对称，
若 ，则函数 关于 对称.
4．（23-24高三下·浙江·开学考试）已知函数 满足 为 的导
函数， .若 ，则数列 的前2023项和为 .
【答案】
【分析】由 ，可得 ，从而得 ，然后利
用倒序相加法从而可求解.
【详解】由题意知 ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
，
将 两式相加可得： .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题主要是对 求导后得 ，主要能够找到 的关系，再根据倒序相加法从而可求解.
5．（23-24高二下·全国·课前预习）已知函数 .
(1)求证 为定值；
(2)若数列 的通项公式为 （ 为正整数， ， ， ， ），求数列
的前 项和 ；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由函数 的解析式得出 的表达式，化简后可得 为
定值；
（2）由于 ，可得 ，即 ，倒序相加可
得 .
【详解】（1）证明：由于函数 ，
则 ，
所以 .
（2）由（1）可知， ，
则 ，其中 为正整数， ，
即 ，且 ，
所以 ，其中 为正整数， ，
且 ，
，①
变化前 项顺序后，可得： ，②① ②得： ，
因此 .
题型二：通项为 型求和
1．（23-24高二下·安徽六安·阶段练习）已知数列 是正项等比数列，其前n项和为
，且 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)求 的前n项和为 ，并求满足 的最小整数n．
【答案】(1)
(2) ，11
【分析】（1）根据等比数列的通向公式，结合题意建立方程组，可得答案；
（2）利用分组求和公式，结合等比数列以及等差数列求和公式，可得答案.
【详解】（1）设 的公比为 ，则 ，
因为 ，所以 ，依题意可得 ，即 ，
整理得 ，解得 或 （舍去），
所以 .
（2）由（1）可知 ，
故
.
显然， 随着 的增大而增大，
， ，
所以满足 的最小整数 .
2．（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知数列 的前n项和为 ，对于任意的 ，都
有点 在直线 上．
(1)求数列 的通项公式；(2)记数列 的前n项中的最大值为 ，最小值为 ，令 ，求数列 的前
20项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当 时， ，两式相减得 ，可证明数列 是以
首项为1，公比为 的等比数列，即可求出数列 的通项公式；
（2）分别求出当 为奇数和 为偶数时，数列 的前n项中的最大值为 ，最小值为
，即可求出 ，再由分组求和法结合等比数列的前n项和公式求解即可.
【详解】（1）对于任意的 ，都有点 在直线 上．
即对于任意的 都有 ，
当 时， ，两式相减得 ，即
，
进而得 ，
当 时， ，故 ，
所以数列 是以首项为1，公比为 的等比数列，
所以 .
（2）当 为奇数时， ，且 ，当 为偶数时， ，且 ，
因此当 为大于1的奇数时， 的前n项中的最大值为 ，
最小值为 ，此时 ，
因此当 为偶数时， 的前n项中的最大值为 ，
最小值为 ，此时 ，
当 时， ，
因此 的前20项和：.
3．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）给定数列 ，称 为 的差数列（或一
阶差数列），称数列 的差数列为 的二阶差数列，若 .
(1)设 的二阶差数列为 ，求 的通项公式.
(2)在（1）的条件下，设 ，求 的前n项和为
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助定义计算即可得；
（2）借助等差数列及等比数列的求和公式计算即可得.
【详解】（1） ，则 ；
（2） ，
则 .
4．（2024·河北唐山·一模）已知数列 是正项等比数列，其前n项和为 ，且
， ．
(1)求 的通项公式；
(2)记 的前n项和为 ，求满足 的最大整数n．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用等比数列的通项公式和前 项和公式列方程组解出公比 ，从而可
求出通项公式；
（2）由（1）得 ，然后用分组求和法即可求 ，分别计算 和 ，即可确定
的值.
【详解】（1）设 的公比为 ，则 ，
因为 ，所以 ，依题意可得 ，即 ，
整理得 ，
解得 或 （舍去），
所以 .
（2）由（1）可知 ，
故
显然， 随着 的增大而增大，
，
，
所以满足 的最大整数 .
5．（23-24高二下·河南平顶山·阶段练习）已知数列 是等比数列，数列 是等差数
列，且 ， ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)记 ，数列 的前n项和为 ，求满足 的最小的正整数n的值．
【答案】(1) ， ；
(2)
【分析】（1）由题意，列出关于公差 与公比 的方程组，求解方程组，然后根据等差、
等比数列的通项公式即可得答案；
（2）由（1）可得 ，利用分组求和法及等比、等差数列的前n项和公式即可
求解.
【详解】（1）设等比数列 的公比为 ，等差数列 的公差为 ，
由 ，可得 ，
由题意， ，整理得 ，
解得 或 （舍去），则 ，
所以 ， ；
（2）由（1）可得： ，.
因为 在 上单调递增，所以 可得：
，所以 ，
当 时， ，
当 时， ，
故满足 的最小的正整数n的值为 .
6．（23-24高二下·山东·阶段练习）已知数列 为等差数列，且 ．
(1)求 ；
(2)若 ，数列 的前 项和为 ，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可求解；
（2）根据（1）结论及指数的运算，利用分组求和法、等比数列的前 项和公式及裂项相
消法即可求解.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，则
，
数列 的通项公式为 ，即 .
（2）由（1）知， ， ，
，,
,
.
题型三：通项为 型求和
1．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）已知正项数列 中， ，点 在
抛物线 ，数列 中，点 在经过点 ，斜率 的直线l上.
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)若 ，若 表示 的前n项和，求 ；
(3)若 ，问是否存在 ，使得 成立？若存在，求
出k的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1) ，
(2)
(3)存在，
【分析】（1）将 代入抛物线方程得数列 是等差数列，从而得通项公式，
求出直线方程后可得 ；
（2）分类讨论，按n的奇偶分类讨论，然后利用数列的分组求和可得
（3）分类讨论，按k的奇偶分类讨论即可求解；
【详解】（1）将 代入抛物线方程得， ，
所以 ，所以数列 是等差数列，所以 ，
又直线在经过点 ，斜率 ，所以直线方程为 ，
因为 在直线l上，所以
（2）由题意得， ，
当n为偶数时，令 ,
所以
，
所以
当n为奇数时，令 ，
所以 ，
所以
（3）由 ，
①当k是偶数时， 是奇数， ，
即 ，
②当k是奇数时， 是偶数， ，
即 ，（舍去），
故存在唯一的 符合条件.
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知 为等差数列 的前 项和，
．
(1)求 的通项公式;(2)若数列 满足 ，求 的前2n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意求出首项与公差，再根据等差数列的通项即可得解；
（2）利用分组求和法和并项求和法求解即可.
【详解】（1）设等差数列 的为 ，
由 ，
得 ，解得 ，
所以 ；
（2）由（1）得 ，
当 为奇数时， ，
当 为偶数时， ，
所以
.
3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知正项数列 前n项和为 ，且满足
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 与 之间的关系分析可知数列 是等差数列，结合等差数列通项
公式运算求解；
（2）由（1）可得 ，利用分组求和以及裂项相消法运算求
解.【详解】（1）因为 ，则 ，
两式相减得： ，
整理得 ，
且 为正项数列，可知 ，
可得 ，即 ，
可知数列 是以首项 ，公差 的等差数列，
所以 .
（2）由（1）可得 ，
当 为奇数，则 ，
可得
，
所以 .
4．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知数列 满足 .
(1)求证：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）对递推式变形得 ，利用等差数列定义即可证明，代入等差数列
通项公式即可求解；
（2）先利用（1）知 ，然后利用分组求和思想求解即可.
【详解】（1）显然 ，将 两边同时取倒数得 ，即，所以数列 是公差为2的等差数列，
所以 ，所的 .
（2）由已知得 ，那么数列 的前 项和 ，
当 为偶数时， ；
当 为奇数时， ．
故 .
5．（2024高三·全国·专题练习）已知数列 是各项均为正数的等差数列， 为其前 项
和， ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 数列 的前 项和为 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意求出首项与公差，再根据等差数列的通项即可得解；
（2）利用分组求和法求解即可.
【详解】（1）设数列 的公差为 ．因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ；
（2）由（1）可得，
所以
．
6．（2024·全国·模拟预测）数列 满足 ， ，且．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据裂项求和即可求解，
（2）根据并项求和即可求解.
【详解】（1）由题意可知，数列 是等差数列，设数列 的公差为 ．
可转化为
，
即 ，
即 ， ，即 ，
， ．
（2）由题可得 ，
，
当 为偶数时， ；
当 为奇数时， ．
综上所述,
三、专题05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）专项训练
1．（2024高三·全国·专题练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子．在其
年幼时，对 的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数
据前后对应项的和呈现一定的规律生成．因此，此方法也称为高斯算法．现有函数，则 的值为 .
【答案】1009
【分析】根据给定的函数式，求出 ，再利用倒序相加法求和作答.
【详解】由函数 ，得
，
令 ，
则 ，
两式相加得 ，解得 ，
所以所求值为1009.
故答案为：1009
2．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子，19
岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方
法》．在其年幼时，对 的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原
理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，
现有函数 ，设数列 满足
（ ），则 ．
【答案】
【分析】
计算出 ， ，倒序相加得到答案.
【详解】， ，
因为 ①，
所以 ②，
两式相加得
，
所以 .
故答案为：
3．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知函数 满足 ，数列 满
足： .
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 满足 ，其前 项和为 ，若 对任意 恒成
立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用倒序相加法可求得 ；
（2）利用错位相减法求出 ，由已知条件结合参变量分离法可得出 ，利用对
勾函数的单调性求出 的最大值，即可得出实数 的取值范围.
【详解】（1）解：函数 满足 ，数列 满足
，则 ，
所以， ，
故 .
（2）解：由（1）可得 ，
则 ，
所以， ，
上式 下式可得 ，
所以， ，则 ，
所以， ，
由 可得 ，则 ，
因为 ，
因为函数 在 上单调递增，
且 ，故当 时， 取最大值 ，故 .
因此，实数 的取值范围是 .
4．（2024高三·全国·专题练习）设函数 ，设 ，
．
(1)计算 的值．
(2)求数列 的通项公式．
【答案】(1)2(2)
【分析】（1）直接计算 可得答案；
（2）由（1）的计算结果，当 时，利用倒序相加法可得答案.
【详解】（1） ；
（2）由题知，当 时， ，
又 ，两式相加得
，
所以 ，
又 不符合 ，
所以 .
5．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）已知函数 满足 ，若数列
满足： .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ， （ ），数列 的前n项和为 ，若
对一切 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ， ；
(2)
【分析】（1）由 ，运用倒序相加求和，可得所求通项公式；
（2）由（1）可得 的通项公式，由数列的裂项相消求和可得 ，再由参数分离和配方
法求得最值，即可得到所求的取值范围.
【详解】（1）因为 ,
由 ①,则 ②,
所以 可得： ，
故 ， .
（2）由（1）知， ，则 时， ，
所以
.
又由 对一切 恒成立,可得 恒成立,
即有 对一切 恒成立.
当 时, 取得最大值 ，所以 ；
故实数 的取值范围是 .
6．（23-24高二·全国·课后作业）已知函数 ，数列 的前n项和为 ，
点 均在函数 的图象上，函数 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求 的值；
(3)令 ，求数列 的前2020项和 .
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意可得： ，由 即可求解；
（2）求出 的表达式，由指数的运算即可求解；（3）结合（2）的结论，利用倒序相加法即可求解.
【详解】（1）因为点 均在函数 的图象上，
所以 ，
当 时， ，
当 时， ，适合上式，所以 .
（2）因为 ，所以 ，
所以 .
（3）由（1）知 ，可得 ，
所以 ，①
又因为 ，②
因为 ，
所以① ②，得 ，
所以 .
7．（2024·贵州毕节·一模）已知数列 满足 .
(1)设 ，证明： 是等比数列；
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）给 式子两边同时加 ，化简证明即可；
（2）分为两组，一组等差数列，一组等比数列，利用等差等比数列的前 项公式求解即
可.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
又 ，则 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列.
（2）由（1）可知， ，
由于 ，所以 ，
所以
.
8．（2024·广西贺州·一模）在① ，② ，③ 这三个条件中任选一
个，补充在下面的问题中，并解答．
设 是递增的等比数列，其前n项和为 ，且 ，__________．
(1)求 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
（注：若选择多个解答，按第一个解答计分）
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）选择条件①②③，利用等比数列的通项公式及前n项和列出方程，求出首
项、公比即可得解.
（2）利用分组求和法，结合等差、等比数列n项和公式计算即得.
【详解】（1）由 是递增的等比数列， ，得数列 的公比 ，且 ，
选择条件①， ，则 ，即 ，于是 ，
所以 的通项公式是 .选择条件②， ，即 ，由 ，解得 ，
所以 的通项公式是 .
选择条件③， ，则 ，
而 ，解得 ，即有 ，
所以 的通项公式是 .
（2）由（1）知，当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，
所以
.
9．（2024高三·全国·专题练习）已知等差数列 前 项和为 （ ），数列 是
等比数列， ， ， ， .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)若 ，设数列 的前 项和为 ，求 .
【答案】(1) ， ；
(2) .
【分析】（1）设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为 （ ），根据等差
等比数列通项公式基本量的计算可得结果.
（2）求出 ，代入求出 ，再分组求和，利用裂项求和方法和等比数列的求和
公式可求得结果.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 （ ），
由 ， ， ， ，
得 ，解得 ， ，
所以 ， .
（2）由（1）知， ，因此当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，
所以
.
10．（2024高二下·全国·专题练习）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由递推关系求解数列的通项即可；
(2)利用分组求和即可.
【详解】（1）因为 ，
当 时， ，
当 时， ，
则 ，
当 时， 不成立，所以 .
（2）由（1）可得 ，
所以
11．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知数列 ，______.在①数列 的前n项和为 ，
；②数列 的前n项之积为 ，这两个条件中任选一个，补
充在上面的问题中并解答.（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.在答题前应说明
“我选______”）
(1)求数列 的通项公式；(2)令 ，求数列 的前n项和 .
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）选①或②均可证明数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，再由等比
数列的通项公式求出数列 的通项公式；
（2）由分组求和法结合等差、等比的前 项和公式求解即可.
【详解】（1）选①，当 时， ，即 ，
当 时， （I），
（II），
（I） （II）得： ，即 ，
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以 .
选②，当 时， ，即 ,
当 时， ，即 ,
当 时， 符合上式.
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以
（2）因为 ，所以 ，
所以
.
12．（2024·福建莆田·二模）已知等差数列 的前 项和为 ，公差 ，且
成等比数列， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）根据题意列式求 ，进而可得结果；
（2）根据题意利用分组求和法结合等差、等比数列求和公式运算求解.
【详解】（1）由题意可得： ，即 ，
且 ，解得 ，
所以数列 的通项公式 .
（2）由（1）可得 ，
可得
，
所以 .
13．（23-24高二上·贵州毕节·期末）已知递增的等比数列 满足 ，且
成等差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)设 求数列 的前 项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知等比数列，依据题意求出基本量即可.
（2）讨论奇偶项，转化为等比数列求和即可.
【详解】（1）由题意，设等比数列 的公比为 ，
则 ，
成等差数列，
，即 ，
化简整理，得 ，解得 （舍去），或 ，
首项 ，
.
（2）由（1）可得
则数列 的前 项和为
14．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知等差数列 的前 项和为 ，公差为 ，且
成等比数列， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前30项的和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等比中项公式，结合等差数列的通项公式与求和公式求得 ，从而
得解；
（2）利用并项求和法，结合等差数列的求和公式即可得解.
【详解】（1）依题意 ，则 ，解得 ，
则 ，故 ，
所以 ，解得 ，则 ，
故 .
（2） ，，
.
15．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知数列 的前 项和为 ，满足 ，数列
满足 ， ．
(1)求数列 、 的通项公式；
(2) ，求数列 的前 项和 ；
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）利用 可得 ，从而可得 为等比数列，故可得
其通项公式，利用累加法可求 的通项公式；
（2）利用分组求和法可求 ，注意就 的奇偶性分类讨论.
【详解】（1）在数列 中 ，当 时 ，解得 ；
当 时，由 ，则 ，即 ，
因为 ，故 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列即 .
在数列 中 ， ，即 ，
则当 时， ， ， ， ，
由累加法得 ，
所以 ，当 时， 也符合上式，所以 .
（2）由（1）可得 ，
当 为偶数时，
=
；
当 为奇数时，
=
，
综上可得 .
