文档内容
专题 05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍..............................................1
二、典型题型..............................................1
题型一：倒序相加法.....................................1
题型二：通项为 型求和...........................3
题型三：通项为 型求和.....................5
三、专题05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）专项训练....7
一、必备秘籍
1、倒序相加法，即如果一个数列的前 项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，
则可使用倒序相加法求数列的前 项和.
2、分组求和法
2.1如果一个数列可写成 的形式，而数列 ， 是等差数列或等比数列
或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.
2.2如果一个数列可写成 的形式，在求和时可以使用分组求和法.
二、典型题型
题型一：倒序相加法
1．（2023高一·全国·竞赛）已知 ，
其中 是 上的奇函数，则数列 的通项公式为（ ）．
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
2．（2013高一·全国·竞赛）函数 ，则
的值为（ ）．
A．2012 B． C．2013 D．
3．（2024高三·全国·专题练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼
时，在 的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前
后对应项的和呈现一定的规律而生成．此方法也称为高斯算法．现有函数 ，
设数列 满足 ，若存在 使不
等式 成立，则 的取值范围是 ．
4．（23-24高三下·浙江·开学考试）已知函数 满足 为 的导
函数， .若 ，则数列 的前2023项和为 .
5．（23-24高二下·全国·课前预习）已知函数 .
(1)求证 为定值；
(2)若数列 的通项公式为 （ 为正整数， ， ， ， ），求数列
的前 项和 ；
学科网（北京）股份有限公司题型二：通项为 型求和
1．（23-24高二下·安徽六安·阶段练习）已知数列 是正项等比数列，其前n项和为
，且 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)求 的前n项和为 ，并求满足 的最小整数n．
2．（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知数列 的前n项和为 ，对于任意的 ，都
有点 在直线 上．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记数列 的前n项中的最大值为 ，最小值为 ，令 ，求数列 的前
20项和 ．
3．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）给定数列 ，称 为 的差数列（或一
阶差数列），称数列 的差数列为 的二阶差数列，若 .
(1)设 的二阶差数列为 ，求 的通项公式.
(2)在（1）的条件下，设 ，求 的前n项和为
学科网（北京）股份有限公司4．（2024·河北唐山·一模）已知数列 是正项等比数列，其前n项和为 ，且
， ．
(1)求 的通项公式；
(2)记 的前n项和为 ，求满足 的最大整数n．
5．（23-24高二下·河南平顶山·阶段练习）已知数列 是等比数列，数列 是等差数
列，且 ， ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)记 ，数列 的前n项和为 ，求满足 的最小的正整数n的值．
6．（23-24高二下·山东·阶段练习）已知数列 为等差数列，且 ．
(1)求 ；
(2)若 ，数列 的前 项和为 ，证明： ．
学科网（北京）股份有限公司题型三：通项为 型求和
1．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）已知正项数列 中， ，点 在
抛物线 ，数列 中，点 在经过点 ，斜率 的直线l上.
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)若 ，若 表示 的前n项和，求 ；
(3)若 ，问是否存在 ，使得 成立？若存在，求
出k的值；若不存在，说明理由.
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知 为等差数列 的前 项和，
．
(1)求 的通项公式;
(2)若数列 满足 ，求 的前2n项和 ．
3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知正项数列 前n项和为 ，且满足
.
(1)求数列 的通项公式；
学科网（北京）股份有限公司(2)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
4．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知数列 满足 .
(1)求证：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
5．（2024高三·全国·专题练习）已知数列 是各项均为正数的等差数列， 为其前 项
和， ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 数列 的前 项和为 ，求 ．
6．（2024·全国·模拟预测）数列 满足 ， ，且
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
学科网（北京）股份有限公司三、专题05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）专项训练
1．（2024高三·全国·专题练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子．在其
年幼时，对 的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数
据前后对应项的和呈现一定的规律生成．因此，此方法也称为高斯算法．现有函数
，则 的值为 .
2．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子，19
岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方
法》．在其年幼时，对 的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原
理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，
现有函数 ，设数列 满足
（ ），则 ．
3．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知函数 满足 ，数列 满
足： .
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 满足 ，其前 项和为 ，若 对任意 恒成
立，求实数 的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司4．（2024高三·全国·专题练习）设函数 ，设 ，
．
(1)计算 的值．
(2)求数列 的通项公式．
5．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）已知函数 满足 ，若数列
满足： .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ， （ ），数列 的前n项和为 ，若
对一切 恒成立，求实数 的取值范围.
6．（23-24高二·全国·课后作业）已知函数 ，数列 的前n项和为 ，
点 均在函数 的图象上，函数 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求 的值；
学科网（北京）股份有限公司(3)令 ，求数列 的前2020项和 .
7．（2024·贵州毕节·一模）已知数列 满足 .
(1)设 ，证明： 是等比数列；
(2)求数列 的前 项和 .
8．（2024·广西贺州·一模）在① ，② ，③ 这三个条件中任选一
个，补充在下面的问题中，并解答．
设 是递增的等比数列，其前n项和为 ，且 ，__________．
(1)求 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
（注：若选择多个解答，按第一个解答计分）
9．（2024高三·全国·专题练习）已知等差数列 前 项和为 （ ），数列 是
等比数列， ， ， ， .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)若 ，设数列 的前 项和为 ，求 .
学科网（北京）股份有限公司10．（2024高二下·全国·专题练习）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 ，求数列 的前 项和 ．
11．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知数列 ，______.在①数列 的前n项和为 ，
；②数列 的前n项之积为 ，这两个条件中任选一个，补
充在上面的问题中并解答.（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.在答题前应说明
“我选______”）
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前n项和 .
12．（2024·福建莆田·二模）已知等差数列 的前 项和为 ，公差 ，且
成等比数列， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
学科网（北京）股份有限公司13．（23-24高二上·贵州毕节·期末）已知递增的等比数列 满足 ，且
成等差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)设 求数列 的前 项和.
14．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知等差数列 的前 项和为 ，公差为 ，且
成等比数列， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前30项的和 .
15．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知数列 的前 项和为 ，满足 ，数列
满足 ， ．
(1)求数列 、 的通项公式；
学科网（北京）股份有限公司(2) ，求数列 的前 项和 ；
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