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专题 01 与圆的性质有关的辅助线的作法
类型一：连半径构造等腰三角形
类型二：作弦心距或连半径
类型三：构造同弧或等弧所对的圆心角或圆周角
类型四：构造直径所对的圆周角
类型五：连接90°的圆周角的“斜边”
类型六：构造圆的内接四边形
类型七：构造隐形圆
类型一：类型一：连半径构造等腰三角形
1．如图，在扇形AOB中，D为^AB上的点，连接AD并延长与OB的延长线交于点C，CD＝OA，∠O＝
75°，则∠A的度数为（ ）
A．35° B．52.5° C．70° D．72°
2．如图，在圆O中，OA⊥BC，∠ADC＝30°，则^BAC的度数为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．240°
3．如图，A、B、C是 O的圆周上三点，DE与 O相切于点C，连接AB、BC、AC，若AB＝AC，
∠BCD＝40°，则∠ACE的度数为（ ）
⊙ ⊙
A．40° B．60° C．70° D．80°
4．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝105°，OA＝8，点C在半径OA上，将△BOC沿着BC翻折，点O的对称点D恰好落在弧AB上，再将弧AD沿着CD翻折至弧A D（点A 是点A的对称点），那么OA 的长
1 1 1
为 ．
类型二：作弦心距或连半径
1．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具﹣﹣筒车，如图，
筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的小上方， O被水面截得的弦AB
长为8米，点C是运行轨道的最低点，点C到弦AB的距离为2米，则 O的半径长为（ ）
⊙
⊙
A．2米 B．3米 C．4米 D．5米
2．如图所示，圆O的直径AB与弦MN相交于点P．已知圆的直径AB＝4，∠APN＝45°，则MP2+NP2的值
是（ ）
A．8❑√2 B．8 C．4❑√3 D．4
3．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，D为^AB上一点，且AD＝4，BD=2❑√2，则图中的阴影部分面积
为（ ）
A．5 ﹣10 B．5 ﹣14 C．10 ﹣20 D．10 ﹣24
4．如图，半径为 5 的 A 中，弦 BC、ED 所对的圆心角分别是∠BAC、∠EAD，已知 DE＝6，
π π π π
∠BAC+∠EAD＝180°，则圆心A到弦BC的距离等于 ．
⊙类型三：构造弧或等弧所对的圆心角或圆周角
1．如图，半径为2的 O的弦AD＝BC，且AD⊥BC于点E，连接AB、AC，则AB的长为（ ）
⊙
A．2❑√2 B．2 C．❑√2 D．1
2．如图，△ABC内接于 O，AD是 O的直径，若∠B＝25°，则∠CAD的度数是（ ）
⊙ ⊙
A．60° B．65° C．70° D．75°
3．如图，△ABC内接于 O，∠B＝45°，AC＝2，则 O的半径为 ．
⊙ ⊙
4．如图，四边形ABCD内接于 O，AC为 O的直径，D为弧AC的中点，过点D作DE⊥BC于点E，若
BE=❑√3CE，则∠BAD等于（ ）
⊙ ⊙
A．100° B．120° C．135° D．150°
类型四：构造直径所对的圆周角
1．如图，BD是 O的直径，点C是弧BD的中点，弦AC与BD交于点P．若∠ADB＝61°，则∠CPD等
⊙于（ ）
A．106° B．122° C．124° D．102°
2．如图，AB是 O的直径，∠BAC＝26°，D是圆周上直径AB左侧的点，则∠ADC应是（ ）
⊙
A．60° B．64° C．70° D．74°
3．如图，已知AB与 O相切于点A，AC是 O的直径，连接BC交 O于点D，E为 O上一点，当
∠CED＝58°时，∠B的度数是（ ）
⊙ ⊙ ⊙ ⊙
A．32° B．64° C．29° D．58°
4．如图，AB是 O的直径，点C、D、E在 O上，AE＝DE，若∠BDE＝110°，则∠ABD的度数为（
）
⊙ ⊙
A．20° B．30° C．40° D．50°
类型五：连接90°的圆周角的“斜边”
1．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°．若四边形ABCD的面积是S，AC的长是x，则S与x之间的函数关系式是（ ）
1 2
A．S＝x2 B．S= x2 C．S=❑√2x2 D．S= x2
2 3
2．如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子 OA，OB在O点钉在一起，并使它们保
持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE＝8个单位，OF＝6个单位，则圆的直径为（
）
A．12 B．10 C．4 D．5
3．如图，在扇形OAB中，点D在OA上，点C在AB上，∠AOB＝∠BCD＝90°．若CD＝3，BC＝4，则
O的半径为（ ）
⊙
A．4 B．4.8 C．2❑√5 D．3❑√2
4．如图，四边形ABCD内接于 O，且∠A＝90°，^BC=C^D．若AB＝8，AD＝6，则BC的长为（ ）
⊙
5
A．5❑√2 B．5 C． D．10
2
5．已知四边形ABCD内接于 O，∠D＝90°，P为C^D上一动点（不与点C，D重合）．
（1）若∠BPC＝30°，BC＝3，求 O的半径；
⊙
⊙（2）若∠A＝90°，^AD=^AB，求证：PB﹣PD=❑√2PC．
类型六：构造圆的内接四边形
1．如图，点A，B，C，D，E在 O上，^AB所对的圆心角为50°，则∠C+∠E等于（ ）
⊙
A．155° B．150° C．160° D．162°
2．如图，点A、B、C、D、E都在 O上，BE是直径，BE∥CD，∠E＝26°，则∠A的度数为（ ）
⊙
A．26° B．25° C．65° D．64°
3．如图，在圆O中，∠AOB＝118°，点C在劣弧AB上，∠BAC＝35°，则∠ABC＝（ ）
A．31° B．24° C．26° D．27°
4．如图，点A，B，C，D，E在 O上顺次排列，已知AB＝BC，∠ABD＝∠BCE．
（1）求证：BD＝CE；
⊙（2）若直线AE过圆心O，设∠BCE的度数为 ，C^D的度数为 ．
①当 ＝60时，求 的值；
α β
②探索 和 满足的等量关系．
β α
α β
类型七：构造隐形圆
1．如图，点O为线段BC的中点，点A、C、D到点O的距离相等，若∠ABC＝50°，则∠ADC的度数是
°．
2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B是第一象限内的一个动点并且使∠OBA＝
90°，点C（0，3），则BC的最小值为 ．
3．如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC、AB＝6，BC＝4，点P是△ABC内部的一个动点，连接PC，且满足
∠PAB＝∠PBC，过点P作PD⊥BC交BC于点D．（1）∠APB＝ ；
（2）当线段CP最短时，△BCP的面积为 ．
4．如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝8，BC＝6，P是△ABC内部的一个动点，满足∠PAB＝∠PBC．
则线段CP长的最小值为 ．
5．如图，在 Rt△ABC 中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB＝
∠PBC，则线段CP长的最小值为 ．
6．如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是平面内一动点，且∠APB＝90°，取BC的中点
E，连接PE，则线段PE的最大值为 ．
