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专题 01 与圆的性质有关的辅助线的作法
类型一：连半径构造等腰三角形
类型二：作弦心距或连半径
类型三：构造同弧或等弧所对的圆心角或圆周角
类型四：构造直径所对的圆周角
类型五：连接90°的圆周角的“斜边”
类型六：构造圆的内接四边形
类型七：构造隐形圆
类型一：类型一：连半径构造等腰三角形
1．如图，在扇形AOB中，D为^AB上的点，连接AD并延长与OB的延长线交于点C，CD＝OA，∠O＝
75°，则∠A的度数为（ ）
A．35° B．52.5° C．70° D．72°
【答案】C
【解答】解：连接OD，如图，设∠C的度数为n，
∵CD＝OA＝OD，
∴∠C＝∠DOC＝n，
∴∠ADO＝∠DOC+∠C＝2n，
∴OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO＝2n，
∵∠AOC+∠C+∠A＝180°，∠AOC＝75°，
∴75°+n+2n＝180°，
解得n＝35°，
∴∠A＝2n＝70°．
故选：C．2．如图，在圆O中，OA⊥BC，∠ADC＝30°，则^BAC的度数为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．240°
【答案】C
【解答】解：连接OB、OC，
∵∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝60°，
∵OB＝OC，OA⊥BC，
∴∠AOB＝∠AOC＝60°，
∴∠BOC＝120°，
⌢
即
BAC
的度数为120°，
故选：C．
3．如图，A、B、C是 O的圆周上三点，DE与 O相切于点C，连接AB、BC、AC，若AB＝AC，
∠BCD＝40°，则∠ACE的度数为（ ）
⊙ ⊙
A．40° B．60° C．70° D．80°【答案】C
【解答】解：如图，连接OA、OB、OC，
∵DE与 O相切于点C，
∴OC⊥DE，
⊙
∵∠BCD＝40°，
∴∠OCB＝50°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝50°，
∴∠BOC＝80°，
1
由圆周角定理得：∠BAC= ∠BOC＝40°，
2
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠OCA＝20°，
∴∠ACE＝90°﹣20°＝70°，
故选：C．
4．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝105°，OA＝8，点C在半径OA上，将△BOC沿着BC翻折，点O的对
称点D恰好落在弧AB上，再将弧AD沿着CD翻折至弧A D（点A 是点A的对称点），那么OA 的长
1 1 1
为 8❑√2− 8 ．
【答案】8❑√2−8．
【解答】解：如图，连接OD，由翻折的性质可知，OB＝BD，OC＝DC，AC＝A C，∠BOC＝∠BDC＝
1
105°，
∵OB＝OD，
∴OB＝OD＝BD，
∴△BOD是正三角形，∠OBD＝60°，
∴∠OCD＝360°﹣105°﹣105°﹣60°＝90°，设AC＝a，则OC＝8﹣a＝CD，A O＝8﹣2a，
1
在Rt△COD中，OC＝CD＝8﹣a，OD＝8，由勾股定理得，
OC2+CD2＝OD2，
即（8﹣a）2+（8﹣a）2＝82，
解得a＝8﹣4❑√2或a＝8+4❑√2＞8（舍去），
∴OA ＝OA﹣2AC
1
＝8﹣2（8﹣4❑√2）
＝8﹣16+8❑√2
＝8❑√2−8．
故答案为：8❑√2−8．
类型二：作弦心距或连半径
1．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具﹣﹣筒车，如图，
筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的小上方， O被水面截得的弦AB
长为8米，点C是运行轨道的最低点，点C到弦AB的距离为2米，则 O的半径长为（ ）
⊙
⊙
A．2米 B．3米 C．4米 D．5米
【答案】D
【解答】解：如图，连接OA、OC，交AB于点D，设 O的半径长为x，
⊙
∵点C是运行轨道的最低点，点C到弦AB的距离为2米，
∴OC⊥AB，OD＝x﹣2，
1
∴AD=BD= AB=4，
2在Rt△OAD中，OA2＝OD2+AD2，
∴x2＝42+（x﹣2）2，
解得：x＝5，
∴ O的半径长为5米．
故选：D．
⊙
2．如图所示，圆O的直径AB与弦MN相交于点P．已知圆的直径AB＝4，∠APN＝45°，则MP2+NP2的值
是（ ）
A．8❑√2 B．8 C．4❑√3 D．4
【答案】B
【解答】解：如图所示，过点O作OC⊥MN于点C，连接ON，则NC＝MC，
∵∠APN＝45°，
∴OC＝PC，
∵MP2+NP2＝（NC﹣PC）2+（NC+PC）2
＝2（NC2+PC2）
＝2（NC2+OC2）
＝2ON2，
∵AB＝4，
∴ON＝2，
∴MP2+NP2＝2×22＝8，
故选：B．
3．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，D为^AB上一点，且AD＝4，BD=2❑√2，则图中的阴影部分面积
为（ ）A．5 ﹣10 B．5 ﹣14 C．10 ﹣20 D．10 ﹣24
【答案】B
π π π π
【解答】解：取AD中点M，BD中点N，连接OM，ON，OD，AB，作AE⊥BD交BD延长线于点E，
∵OA＝OB＝OD，
∴OM⊥AD，ON⊥BD，OM平分∠AOD，ON平分∠BOD，
1 1
∴∠MOD= ∠AOD，∠NOD= ∠BOD，
2 2
1 1 1
∴∠MON=∠MOD+∠NOD= ∠AOD+ ∠BOD= ∠AOB=45°，
2 2 2
在四边形MOND中，∠MON＝360°﹣90°×2﹣45°＝135°，
∴∠ADE＝180°﹣135°＝45°，
在Rt△ADE中，AD＝4，
❑√2
∴AE=DE= AD=2❑√2
2
1
∴S = ×2❑√2×2❑√2=4
△ABD 2
在Rt△ABE中，
AB=❑√AE2+BE2=2❑√10，
在Rt△AOB中，
❑√2 ❑√2
OA=OB= AB= ×2❑√10=2❑√5，
2 2
90π×(2❑√5) 2 1
∴S = =5π，S = ×2❑√5×2❑√5=10，
扇 形AOB 360 △AOB 2
∴图中的阴影部分面积为5 ﹣10﹣4＝5 ﹣14，
故选：B．
π π
4．如图，半径为 5 的 A 中，弦 BC、ED 所对的圆心角分别是∠BAC、∠EAD，已知 DE＝6，
⊙∠BAC+∠EAD＝180°，则圆心A到弦BC的距离等于 3 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于M，AN⊥DE于N．
∵AM⊥BC，AN⊥DE，
∴CM＝MB，DN＝NE＝3，
∵AC＝AB＝AD＝AE，
∴∠BAC＝2∠MAC，∠EAD＝2∠DAN，
∵∠BAC+∠EAD＝180°，
∴2∠CAM+2∠DAN＝180°，
∴∠CAM+∠DAN＝90°，
∵∠ACM+∠CAM＝90°，
∴∠ACM＝∠DAN，
∵∠AMC＝∠AND＝90°，
∴△AMC≌△DNA（AAS），
∴AM＝DN＝3，
故答案为：3．
类型三：构造弧或等弧所对的圆心角或圆周角
1．如图，半径为2的 O的弦AD＝BC，且AD⊥BC于点E，连接AB、AC，则AB的长为（ ）
⊙
A．2❑√2 B．2 C．❑√2 D．1
【答案】A
【解答】解：如图，连接OA，OB，∵AD＝BC，
∴^AD=^BC，
∴^AB=C^D，
∴∠C＝∠CAD，
∵AD⊥BC
∴∠AEC＝90°，
∴∠C＝∠CAD＝45°，
∴∠O＝2∠C＝90°，
∴AB=❑√2OA＝2❑√2．
故选：A．
2．如图，△ABC内接于 O，AD是 O的直径，若∠B＝25°，则∠CAD的度数是（ ）
⊙ ⊙
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】B
【解答】解：连接BD，
∵AD是 O的直径，
∴∠ABD＝90°，
⊙
∵∠ABC＝25°，
∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝65°，
∴∠CAD＝∠CBD＝65°，
故选：B．
3．如图，△ABC内接于 O，∠B＝45°，AC＝2，则 O的半径为 ❑√2 ．
⊙ ⊙【答案】❑√2．
【解答】解：连接OA，OC，
∵∠B＝45°，
∴∠AOC＝2∠B＝90°，
在Rt△AOC中，AO2+CO2＝AC2，
又AO＝CO，AC＝2，
∴AO2+AO2＝22，
∴AO=❑√2或AO=−❑√2（舍去），
∴ O的半径为❑√2，
故答案为：❑√2．
⊙
4．如图，四边形ABCD内接于 O，AC为 O的直径，D为弧AC的中点，过点D作DE⊥BC于点E，若
BE=❑√3CE，则∠BAD等于（ ）
⊙ ⊙
A．100° B．120° C．135° D．150°
【答案】B
【解答】解：如图，连接BD．
∵AC为 O的直径，D为弧AC的中点，
⊙∴∠ADC＝90°，AD＝CD，
∴∠DAC＝∠ACD＝45°．
∴∠DBC＝∠DAC＝45°，
∵DE⊥BC，则∠BED＝90°，
∴△BDE是等腰直角三角形，又BE=❑√3CE
∴DE=❑√3CE，
DE
在Rt△CDE中，tan∠DCE= =❑√3，
CE
∴∠DCE＝60°．
∴∠BAD＝180°﹣∠DCE
＝120°．
故选：B．
类型四：构造直径所对的圆周角
1．如图，BD是 O的直径，点C是弧BD的中点，弦AC与BD交于点P．若∠ADB＝61°，则∠CPD等
于（ ）
⊙
A．106° B．122° C．124° D．102°
【答案】A
【解答】解：连接CD，
∵BD是 O的直径，
∴∠BCD＝∠BAD＝90°．
⊙
由条件可知BC＝CD，
∴∠CBD＝45°，
∴∠CAD＝45°．
∵∠CPD是△ADP的外角，
∴∠CPD＝∠CAD+∠ADB＝45°+61°＝106°．
故选：A．2．如图，AB是 O的直径，∠BAC＝26°，D是圆周上直径AB左侧的点，则∠ADC应是（ ）
⊙
A．60° B．64° C．70° D．74°
【答案】B
【解答】解：连接BC，如图，
∵AB是 O的直径，
∴∠BCA＝90°，
⊙
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣26°＝64°，
∴∠ADC＝∠B＝64°．
故选：B．
3．如图，已知AB与 O相切于点A，AC是 O的直径，连接BC交 O于点D，E为 O上一点，当
∠CED＝58°时，∠B的度数是（ ）
⊙ ⊙ ⊙ ⊙
A．32° B．64° C．29° D．58°
【答案】D
【解答】解：连接AD，∵AB与 O相切于点A，
∴CA⊥AB，
⊙
∴∠CAB＝90°，
∵∠CED＝∠CAD＝58°，
∴∠DAB＝90°﹣∠CAD＝32°，
∵AC是 O的直径，
∴∠ADC＝90°，
⊙
∴∠B＝90°﹣∠DAB＝58°，
故选：D．
4．如图，AB是 O的直径，点C、D、E在 O上，AE＝DE，若∠BDE＝110°，则∠ABD的度数为（
）
⊙ ⊙
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】C
【解答】解：连接AD，BE，
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BDE＝110°，
∴∠ADE＝110°﹣90°＝20°，
∵AE＝DE，
∴^AE =^DE，
∴∠ABE＝∠DBE＝∠ADE＝20°，
∴∠ABD＝20°+20°＝40°．
故选：C．
类型五：连接90°的圆周角的“斜边”1．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°．若四边形ABCD的面积是S，AC的长是x，
则S与x之间的函数关系式是（ ）
1 2
A．S＝x2 B．S = x2 C．S=❑√2x2 D．S = x2
2 3
【答案】B
【解答】解：作BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，连接BD，
∴∠AMB＝∠AND＝90°，
∵∠ABM+∠BAM＝∠DAN+∠BAM＝90°，
∴∠ABM＝∠DAN，
∵AB＝AD，
∴△BAM≌△ADN（AAS），
∴BM＝AN，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，
∵∠ACD＝∠ABD＝45°，
∴∠NDC＝∠NCD＝45°，
∴DN＝NC，
∴BM+DN＝AN+CN＝AC＝x，
∴S＝△ABC的面积+△ACD的面积，
1 1 1 1 1
∴S= AC•BM+ AC•DN= AC•（BM+DN）= AC2= x2．
2 2 2 2 2
故选：B．
2．如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子 OA，OB在O点钉在一起，并使它们保
持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE＝8个单位，OF＝6个单位，则圆的直径为（
）A．12 B．10 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：连接EF，如图，
∵∠EOF＝90°，
∴EF=❑√OE2+OF2=❑√82+62=10，
∵∠EOF＝90°，
∴EF为圆的直径，
∴这个圆的直径为10．
故选：B．
3．如图，在扇形OAB中，点D在OA上，点C在AB上，∠AOB＝∠BCD＝90°．若CD＝3，BC＝4，则
O的半径为（ ）
⊙
A．4 B．4.8 C．2❑√5 D．3❑√2
【答案】C
【解答】解：以点O为圆心，以OB为半径画圆，延长CD交 O于点E，连接BE，BD，如图所示：
⊙在△BCD中，∠BCD＝90°，CD＝3，BC＝4，
由勾股定理得：BD=❑√BC2+CD2=5，
∵∠BCD＝90°，
∴BE为 O的直径，
∴点B，O，E在同一条直线上，
⊙
∴OB＝OE，
∵∠AOB＝90°，
∴DE＝BD＝5，
在Rt△BCE中，CE＝CD+DE＝8，BC＝4，
由勾股定理得：BE=❑√CE2+BC2=❑√82+42=4❑√5．
1
∴OB＝OE= BE=2❑√5．
2
故选：C．
4．如图，四边形ABCD内接于 O，且∠A＝90°，^BC=C^D．若AB＝8，AD＝6，则BC的长为（ ）
⊙
5
A．5❑√2 B．5 C． D．10
2
【答案】A
【解答】解：如图所示，连接BD，∵∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，
∴BD=❑√AB2+AD2=10，
∵四边形ABCD内接于 O，∠A＝90°，
∴∠BCD＝90°，
⊙
∵^BC=C^D．
❑√2
∴BC＝CD= BD=5❑√2，
2
故选：A．
5．已知四边形ABCD内接于 O，∠D＝90°，P为C^D上一动点（不与点C，D重合）．
（1）若∠BPC＝30°，BC＝3，求 O的半径；
⊙
（2）若∠A＝90°，^AD=^AB，求
⊙
证：PB﹣PD=❑√2PC．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）连接AC，
∵∠D＝90°，
∴AC是 O的直径，
∵∠BAC＝∠P＝30°，
⊙
∴AC＝2BC＝6，
所以圆O的半径为3；
（2）∵∠A＝90°，
∴∠C＝90°，
∵AC为圆O直径，
∴∠D＝∠B＝90°，
∴四边形ABCD为矩形．
∵^AD=^AB，
∴AB＝AD，∴矩形ABCD为正方形，
在BP上截取BE＝DP，
∴△BCE≌△DPC，
∴PC＝CE，
∴△CPE为等腰直角三角形，
∴PE=❑√2PC，
∴PB＝PD+❑√2PC．
类型六：构造圆的内接四边形
1．如图，点A，B，C，D，E在 O上，^AB所对的圆心角为50°，则∠C+∠E等于（ ）
⊙
A．155° B．150° C．160° D．162°
【答案】A
【解答】解：连接AE，
∵四边形ACDE是 O的内接四边形，
∴∠C+∠AED＝180°，
⊙
∵^AB所对的圆心角为50°，
1
∴∠AEB= ×50°＝25°，
2
∴∠C+∠BED＝180°﹣∠AEB＝155°，
故选：A．
2．如图，点A、B、C、D、E都在 O上，BE是直径，BE∥CD，∠E＝26°，则∠A的度数为（ ）
⊙A．26° B．25° C．65° D．64°
【答案】D
【解答】解：如图，连接BC，
∵BE∥CD，∠E＝26°，
∴∠ECD＝∠E＝26°，
∵BE是 O的直径，
∴∠BCE＝90°，
⊙
∴∠BCD＝90°+26°＝116°，
∵四边形ABCD为 O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
⊙
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝64°，
故选：D．
3．如图，在圆O中，∠AOB＝118°，点C在劣弧AB上，∠BAC＝35°，则∠ABC＝（ ）
A．31° B．24° C．26° D．27°
【答案】B
【解答】解：如图，在优弧AB上任取一点D，连接BD、AD，1 1
∴∠D= ∠AOB= ×118°=59°，
2 2
∴四边形ACBD是圆内接四边形，
∴∠C+∠D＝180°，
∴∠C＝121°，
∵∠ABC+∠BAC+∠C＝180°，
∴∠ABC＝24°，
故选：B．
4．如图，点A，B，C，D，E在 O上顺次排列，已知AB＝BC，∠ABD＝∠BCE．
（1）求证：BD＝CE；
⊙
（2）若直线AE过圆心O，设∠BCE的度数为 ，C^D的度数为 ．
①当 ＝60时，求 的值；
α β
②探索 和 满足的等量关系．
β α
α β
【答案】（1）详见解答；
（2）①110°；
②6 + ＝720°．
【解答】证明：（1）∵AB＝BC，
α β
∴^AB=^BC，
∵∠ABD＝∠BCE，
∴^AED=^BAE，即^AE+^DE=^AB+^AE，
∴^AB=^DE，
∵^AB=^BC，∴^BC+C^D=^DE+C^D，
即^BD=C^E，
∴BD＝CE；
（2）解：①∵C^D的度数 ＝60°，
180°−60°
∴^AB=^BC=^DE，其度数都 β 等于 = 40°，
3
∴∠AOB＝40°，
∵点A、点B、点C、点E在 O上，
∴∠BCE+∠A＝180°，
⊙
180°−40°
∴∠BCE＝180°﹣（ ）
2
＝180°﹣70°
＝110°，
即 ＝110°；
②6 + ＝720°，理由如下：
α
∵C^D的度数 ，
α β
180°−β
∴^AB=^BC=β^DE，其度数都等于
，
3
180°−β
∴∠AOB= ，
3
∵四边形ABCE是 O的内接四边形，
∴∠BCE+∠A＝180°，
⊙
∴∠BCE＝180°﹣∠A
180°−∠AOB
＝180°﹣（ ）
2
1
＝90°+ ∠AOB
2
1 180°−β
＝90°+ × ，
2 3
1 180°−β
即 ＝90°+ × ，
2 3
∴6 α + ＝720°．
α β类型七：构造隐形圆
1．如图，点O为线段BC的中点，点A、C、D到点O的距离相等，若∠ABC＝50°，则∠ADC的度数是
130 °．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，
∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝50°，
∴∠ADC＝130°，
故答案为：130．
2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B是第一象限内的一个动点并且使∠OBA＝
90°，点C（0，3），则BC的最小值为 ❑√13− 2 ．
【答案】❑√13−2．
【解答】解：如图，以OA为直径作 D，连接CD，交 D于B，此时BC长最小，
⊙ ⊙∵A（4，0），C（0，3），
∴OC＝3，OA＝4，
∴OD＝DB＝2，
∴CD=❑√OC2+OD2=❑√32+22=❑√13，
∴BC＝CD﹣BD=❑√13−2，
故答案为：❑√13−2．
3．如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC、AB＝6，BC＝4，点P是△ABC内部的一个动点，连接PC，且满足
∠PAB＝∠PBC，过点P作PD⊥BC交BC于点D．
（1）∠APB＝ 90 ° ；
12
（2）当线段CP最短时，△BCP的面积为 ．
5
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PAB＝∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°；
故答案为：90°；
（2）设AB的中点为O，连接OP，则OP＝OA＝OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴点P在以AB为直径的 O上，连接OC交 O于点P，此时PC最小，
在Rt△BCO中，∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，
⊙ ⊙
∴OC=❑√BO2+BC2=5，∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．
PC 2
∴ = ，
OC 5
1 1
∵S = BC•OB= ×4×3＝6，
△OBC 2 2
2 2 12
∴S = S = ×6 = ，
△BCP 5 △OBC 5 5
12
故答案为： ．
5
4．如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝8，BC＝6，P是△ABC内部的一个动点，满足∠PAB＝∠PBC．
则线段CP长的最小值为 2❑√13− 4 ．
【答案】2❑√13−4．
【解答】解：∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠PBA+∠PBC＝90°，
∵∠PAB＝∠PBC，
∴∠PBA+∠PAB＝90°，
∴∠APB＝90°，
如图，取AB的中点为O，连接OP，1
∴OP= AB=4，
2
∵P是△ABC内部的一个动点，
∴P的运动轨迹为以O为圆心，4为半径的劣弧^BD；
∴当O、P、C三点共线时，PC最小，
此时PC＝OC﹣OP＝OC﹣4，
如图，
∵OC=❑√OB2+BC2=❑√42+62=2❑√13，
∴PC=2❑√13−4；
故答案为：2❑√13−4．
5．如图，在 Rt△ABC 中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB＝
∠PBC，则线段CP长的最小值为 2 ．
【答案】2．
【解答】解：∵AB⊥BC，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PAB＝∠PBC
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的 O上，当O、P、C共线时PC最小，
在Rt△BCO中，AB＝6，BC＝4，
⊙
1
∴OB= AB＝3，
2
∴OC=❑√OB2+BC2=5，
∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．
∴PC最小值为2．
故答案为2．6．如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是平面内一动点，且∠APB＝90°，取BC的中点
E，连接PE，则线段PE的最大值为 3+❑√13 ．
【答案】3+❑√13．
【解答】解：如图所示，取AB的中点O，
∵AB＝6，
1
∴OB= AB=3，
2
∵E是BC的中点，BC＝4，
∴BE＝2，
∵∠APB＝90°，
∴点P在以AB的圆上运动，即点P在以O为圆心，3为半径的圆上运动，
∴当O在线段PE上时，PE有最大值，
连接EO交 O于D，则点P运动到点D时PE有最大值，
由勾股定理⊙得OE=❑√OB2+BE2=❑√13，
∴DE=OD+OE=3+❑√13，
∴PE的最大值为3+❑√13，
故答案为：3+❑√13．
