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专题 01 一元二次方程（5 知识&15 题型&5 易错&9 方法清单）【清单01】一元二次方程的概念
一元二次方程
【清单02】一元二次方程的解法
解法
【清单03】一元二次方程的判别式
【清单04】二次三项式的因式分解
步骤：
【清单05】一元二次方程的应用题一般步骤：
【题型一】一元二次方程的定义
【典例1】（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）下列方程中关于x的一元二次方程是（ ）
A．ax2+bx+c=0B．x2-2y-1=0 C．x2-x(x-2)-1=0D．x2-2x-3=0
【答案】D
【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键；根据一元
二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一分析各选项是否符合
条件即可．
【详解】解：∵一元二次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程，
选项A：ax2+bx+c=0，当a≠0时是一元二次方程，但题中未明确a≠0，故不一定成立；
选项B：x2-2y-1=0，含有两个未知数x和y，不是一元二次方程；
选项C：x2-x(x-2)-1=0，化简得：2x-1=0，是一元一次方程；
选项D：x2-2x-3=0，只含未知数x，且最高次数为2，符合定义；
故选D．
【变式1】（24-25九年级上·四川眉山·期末）关于x的方程(m-1)x|m+1|+mx-1=0是一元二次方程，则
（ ）
A．m=1 B．m≠1 C．m=-3 D．m=1或m=-3
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义即形如ax2+bx+c=0(a≠0)的整式方程，熟练掌握定义是解
题的关键．根据一元二次方程的二次项系数不为零，最高次项的次数为2，求解即可．
【详解】解：∵ x的方程(m-1)x|m+1|+mx-1=0是一元二次方程，
∴ |m+1|=2，且m-1≠0，
解得：m=-3，
故选：C．【变式2】（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）下列方程，①3x2+x=20，②2x2-3xy+4=0，③
1
x2- =4，④x2=0是一元二次方程的是（ ）
x
A．①② B．①②④ C．①③④ D．①④
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义：只含有
一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程，根据一元二次方程的定义逐个判断即
可．
【详解】解：①3x2+x=20是一元二次方程，符合题意，
②2x2-3xy+4=0含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意，
1
③x2- =4不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意，
x
④x2=0时一元二次方程，符合题意；
综上：①④是一元二次方程，
故选：D．
【题型二】一元二次方程的一般形式
【典例2】（24-25九年级上·福建漳州·期末）方程3x2=2-5x化成一般形式是 ．
【答案】3x2+5x-2=0
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
根据一元二次方程的一般形式进行变形即可．
【详解】解：方程3x2=2-5x化成一般形式是3x2+5x-2=0．
故答案为3x2+5x-2=0．
【变式1】（24-25九年级上·全国·期末）方程x2-4x-7=0的一次项系数是（ ）
A．1 B．2 C．-4 D．-7
【答案】C
【分析】此题考查一元二次方程的定义，形如ax2+bx+c=0 (a≠0)的方程是一元二次方程，其中a是
二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，据此解答．
【详解】解：方程x2-4x-7=0的一次项系数是-4，
故选：C．
【变式2】（24-25八年级下·浙江金华·期末）一元二次方程9x2=5-4x化为一般形式后，二次项系数、一
次项系数、常数项分别是（ ）．A．9，5，-4 B．9，4，-5 C．9，-5，4 D．9，-4，5
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的各项系数是解题的关键．元
二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），其中a叫做二次项系数，b叫做一次
项系数，c叫做常数项，由此解答即可．
【详解】解：由9x2=5-4x得9x2+4x-5=0，
所以二次项系数、一次项系数、常数项分别是9，4，-5，
故选：B．
【变式3】（24-25九年级上·广东河源·期末）把一元二次方程x(2x-1)=4x化成一般式，则a,b,c的值分
别是 （ ）
A．1，4，1 B．2，-5，0 C．3，4，0 D．-2，-5，1
【答案】B
【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解本题的关键．
将方程整理成一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，确定各项系数a、b、c的值．
【详解】解：原方程为x(2x-1)=4x，
展开左边得2x2-x=4x，
移项，得2x2-x-4x=0，
方程化简为2x2-5x=0，
可得a=2，b=-5，c=0，
故选：B．
【题型三】一元二次方程的解
【典例3】（24-25九年级上·江西南昌·期末）若x=1是方程x2-bx-2=0的一个解，则b的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方
程的解．把x=1代入一元二次方程得到1-b-2=0，然后解一次方程即可．
【详解】解：把x=1代入方程x2-bx-2=0得，1-b-2=0，
解得b=-1．
故选：B．
【变式1】（24-25九年级上·云南昭通·期末）已知m是一元二次方程x2-x+3=0的一个根，则
2019-m2+m的值为（ ）A．2023 B．2022 C．2020 D．2019
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方
程的解．把x=m代入方程x2-x+3=0得m2-m=-3，再把2019-m2+m变形为2019-(m2-m)，然后
利用整体代入的方法计算．
【详解】解：把x=m代入方程x2-x+3=0得m2-m=-3，
所以m2-m=-3，
所以2019-m2+m=2019-(m2-m)=2019-(-3)=2019+3=2022．
故选：B．
【变式2】（24-25九年级上·河北保定·期末）下列数中，能使方程x2-4=0成立的x的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．16
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解，将各个选项的x的值代入计算即可得解．
【详解】解：A、当x=1时，12-4=1-4=-3≠0，故不符合题意；
B、当x=2时，22-4=4-4=0，故符合题意；
C、当x=4时，42-4=16-4=12≠0，故不符合题意；
D、当x=16时，162-4=256-4=252≠0，故不符合题意；
故选：B．
【变式3】（24-25九年级上·广西北海·期末）若x=1是关于x的一元二次方程x2-mx=0的一个根，则m的
值为( )
A．2 B．-2 C．1 D．-1
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解；将已知根 x=1 代入一元二次方程，直接求解 m 的值．
【详解】解：∵ x=1 是方程 x2-mx=0 的根，
∴ 代入得 12-m×1=0，
即 1-m=0，
∴ m=1．
故选：C．
【题型四】解一元二次方程-配方法
【典例4】（24-25九年级上·河南周口·期末）用配方法解一元二次方程x2-8x+8=0，此方程可变形为（ ）
A．(x-4) 2=4 B．(x+4) 2=4 C．(x-4) 2=8 D．(x+4) 2=8
【答案】C
【分析】本题考查了配方法，解答时熟练掌握配方法的步骤是关键．先将常数项移到等号的右边，在
方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成一个完全平方式即可．
【详解】解：移项，得x2-8x=-8
配方，得x2-8x+16=-8+16
即(x-4) 2=8
故答案为：C．
【变式1】（24-25八年级下·云南昆明·期末）用配方法解方程x2+4x-11=0时，若将方程变形为
(x+m) 2=n，则m+n=（ ）
A．18 B．20 C．19 D．17
【答案】D
【分析】本题主要考查了解一元二次方程－配方法，熟知配方法是解题的关键．通过配方法将方程转
化为(x+m) 2=n的形式，确定m和n的值后求和．
【详解】解：x2+4x-11=0，
x2+4x=11，
∴x2+4x+4=11+4，
∴(x+2) 2=15，
∴m=2，n=15，
∴m+n=17，
故选：D．
【变式2】（24-25九年级上·甘肃天水·期末）解方程：x2-4x=96．
【答案】x =12，x =-8
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程的方法，根据方程的形式选择合适的方法求解．
利用配方法，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，则左边是完全平方式，右边是常数，即可求
解.【详解】解：x2-4x=96
配方得：x2-4x+4=96+4
即(x-2) 2=100
开方得：x-2=±10
∴x=±10+2
∴x =12，x =-8
1 2
【变式3】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）解方程：(x+3)(x+7)=-2．
【答案】x =-5+❑√2,x =-5-❑√2
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、
公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键．先计算多项式乘以多项式，再利用配方法解一元二次
方程即可得．
【详解】解：(x+3)(x+7)=-2，
x2+10x+21=-2，
x2+10x+21+4=-2+4，
x2+10x+25=2，
(x+5) 2=2，
x+5=±❑√2，
x=-5±❑√2，
所以方程的解为x =-5+❑√2,x =-5-❑√2．
1 2
【题型五】解一元二次方程-公式法
【典例5】（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）解方程：3x2-8x+3=0．
4+❑√7 4-❑√7
【答案】x = ，x = ．
1 3 2 3
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，具体是求根公式法的运用．熟练掌握一元二次方程求
根公式以及判别式与根的关系是解题的关键，要先根据方程确定系数a、b、c的值，再计算判别式，
最后代入求根公式求解．对于一元二次方程3x2-8x+3=0，可使用一元二次方程的求根公式
-b±❑√b2-4ac
x= 来求解，其中a、b、c是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的系数，先计算出
2a判别式Δ=b2-4ac的值，再代入求根公式得出方程的解．
【详解】解：方程3x2-8x+3=0中，a=3，b=-8，c=3．
∴Δ=b2-4ac
=(-8) 2-4×3×3
=64-36
=28，
-(-8)±❑√28 8±2❑√7 4±❑√7
x= = = ，
2×3 6 3
4+❑√7 4-❑√7
∴x = ，x = ．
1 3 2 3
2+❑√4-4×(-1)
【变式1】（24-25八年级下·河北张家口·期末）若x= 是某个一元二次方程的一个根，则
2
这个一元二次方程可以是（ ）
A．x2-2x-1=0 B．x2+2x-1=0
C．x2+2x+1=0 D．x2-2x+1=0
【答案】A
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解本题的关键．
-b±❑√b2-4ac 2+❑√4-4×(-1)
根据一元二次方程求根公式x= ，对照x= 得出一元二次方程
2a 2
ax2+bx+c=0的字母系数即可得出答案．
-b±❑√b2-4ac
【详解】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0的根为x= ，
2a
2+❑√4-4×(-1)
∵x= 是用公式法解一元二次方程得到的一个根，
2
∴a,b,c可以为：a=1,b=-2,c=-1，
∴满足要求的方程为：x2-2x-1=0，
故选：A．
【变式2】（24-25九年级上·北京海淀·期末）解方程：x2-4x-6=0．
【答案】x =2+❑√10，x =2-❑√10
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择恰当的解法是解题的关键．先求出Δ=b2-4ac=40>0，
再由求根公式，即可求解．【详解】解：a=1，b=-4，c=-6，
∴Δ=(-4) 2-4×1×(-6)
=40>0，
-(-4)±❑√40
∴x= =2±❑√10，
2
故x =2+❑√10，x =2-❑√10．
1 2
【题型六】解一元二次方程-因式分解法
【典例6】（24-25八年级下·北京平谷·期末）解方程：
(1)2x2=3x
(2)x2-6x-16=0
3
【答案】(1)x =0，x =
1 2 2
(2)x =8，x =-2
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握解一元 二次方程的方法是解题的关键．
（1）移项，提公因式分解因式解答；
（2）用二次三项式的因式分解方法分解因式解答．
【详解】（1）解：2x2=3x，
移项，得2x2-3x=0，
提公因式，得x(2x-3)=0，
∴x=0，2x-3=0，
3
∴x =0，x = ．
1 2 2
（2）解：x2-6x-16=0，
分解因式，得(x-8)(x+2)=0，
∴x-8=0，x+2=0，
∴x =8，x =-2．
1 2
【变式1】（24-25九年级上·四川泸州·期末）方程x(x+2)=3(x+2)的根是（ ）
A．x=3 B．x=-2
C．x =-2，x =3 D．x =-3，x =2
1 2 1 2
【答案】C
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，利用因式分解法求解即可，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的
方法是解题的关键．
【详解】解：∵x(x+2)=3(x+2)，
∴x(x+2)-3(x+2)=0，
∴(x+2)(x-3)=0，
∴x+2=0或x-3=0，
解得：x =-2，x =3．
1 2
故选：C．
【变式2】（24-25八年级下·广西梧州·期末）定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号
max{a,b}表示a，b中的较大值，如：max{2,4}=4，max{-2,-4}=-2等等；按照这个规定，若
max{-1,5}=x2-3x-5，则x的值是（ ）
A．5 B．5或-2 C．5或3 D．3或0
【答案】B
【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程−因式分解法．
根据新定义得出求解即可．
【详解】解：∵max{-1,5}=x2-3x-5，-1<5，
∴x2-3x-5=5，
即x2-3x-10=0，
∴(x+2)(x-5)=0，
解得x =-2,x =5．
1 2
故选B．
【变式3】（24-25九年级上·河南商丘·期末）若二次三项式x2+mx-n可以分解为(x+3)(x-7)，则方程
x2+mx-n=0的两根为（ ）
A．3和7 B．-3和-7 C．3和-7 D．-3和7
【答案】D
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解答即可求解，理解题意是解题的关键．
【详解】解：∵二次三项式x2+mx-n可以分解为(x+3)(x-7)，
∴方程x2+mx-n=0因式分解，得(x+3)(x-7)=0，
∴x+3=0或x-7=0，
∴x =-3，x =7，
1 2故选：D．
【变式4】（24-25九年级上·广东肇庆·期末）解方程：x2+6x-7=0．
【答案】x =-7,x =1
1 2
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用十字相乘法把方程左边分解因式，进而得到两个一元
一次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵x2+6x-7=0，
∴(x+7)(x-1)=0，
∴x+7=0或x-1=0，
解得：x =-7,x =1．
1 2
【题型七】用适当的方法解方程
【典例7】（24-25九年级上·湖北孝感·期末）用适当的方法解关于x的一元二次方程：
(1)x2-2x-1=0
(2)x(x-3)+x-3=0
【答案】(1)x =1-❑√2，x =1+❑√2；
1 2
(2)x =3，x =-1．
1 2
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程的常用方法有：直接开方法、配方法、
公式法、分解因式法．
(1)把常数项-1移到等号的右边，然后等号的两边同时加1，可得：x2-2x+1=2，利用完全平方公式
分解因式可得：(x-1) 2=2，再把等式的两边同时开平方，可得：x-1=±❑√2，等式的两边同时加1求
出方程的解；
(2)把x-3整体作为一个因式，提公因式可得：(x-3)(x+1)=0，根据两数的积为0，则这两个因数中
至少有一个为0，可得：x-3=0或x+1=0，解两个一元一次方程可求方程的根．
【详解】（1）解：∵x2-2x-1=0，
∴x2-2x+1=2，
∴(x-1) 2=2，
∴x-1=±❑√2，
∴x =1-❑√2，x =1+❑√2；
1 2
（2）解：∵x(x-3)+x-3=0，∴(x-3)(x+1)=0，
∴x-3=0或x+1=0，
∴x =3，x =-1．
1 2
【变式1】（23-24九年级上·云南昆明·期末）用适当的方法解下列一元二次方程：
(1)x2+4x=0； (2)2x2+3x+1=0．
【答案】(1)x =0，x =-4；
1 2
1
(2)x =- ，x =-1．
1 2 2
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力．
（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【详解】（1）解：x2+4x=0；
x(x+4)=0，
∴x=0或x+4=0，
∴x =0，x =-4；
1 2
（2）解：2x2+3x+1=0
∵a=2，b=3，c=1
．b2-4ac=32-4×2×1=9-8=1>0，
-3±1
∴ x= ，
2×2
1
∴ x =- ，x =-1．
1 2 2
【变式2】（23-24九年级上·河南商丘·期末）用适当的方法解下列一元二次方程：
(1)x(4x-1)=9-x； (2)x2-6x-16=0．
3 3
【答案】(1)x =- ，x = ；
1 2 2 2
(2)x =8，x =-2．
1 2
【分析】（1）方程整理得4x2=9，再利用直接开平方法解答即可求解；
（2）移项，利用配方法解答即可求解；
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：去括号得，4x2-x=9-x，
移项、合并同类项得，4x2=9，9
∴x2=
，
4
√9 3
∴x=±❑ =± ，
4 2
3 3
∴x =- ，x = ；
1 2 2 2
（2）解： 移项得，x2-6x=16，
配方得，x2-6x+9=16+9，
即(x-3) 2=25，
∴x-3=±5
∴x =8，x =-2．
1 2
【变式3】（23-24九年级上·重庆綦江·期末）用适当方法解下列方程：
(1)x2-6x-3=0； (2)2(x-2) 2=3(x-2)．
【答案】(1)x =3+2❑√3，x =3-2❑√3；
1 2
7
(2)x =2，x = ．
1 2 2
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）先把常数项移到方程右边，再两边加上一次项系数的一半的平方进行配方，据此解方程即可；
（2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：∵x2-6x-3=0，
∴x2-6x=3，
∴x2-6x+9=3+9，
∴(x-3) 2=12，
∴x-3=±2❑√3，
解得x =3+2❑√3，x =3-2❑√3；
1 2
（2）解：∵2(x-2) 2=3(x-2)，
∴2(x-2) 2-3(x-2)=0，∴(x-2)[2(x-2)-3]=0，
∴x-2=0或2x-4-3=0，
7
解得x =2，x = ．
1 2 2
【题型八】根据判别式判断一元二次方程根的根的情况
【典例8】（25-26九年级上·河南·期末）关于x的一元二次方程x2-2x=-1的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】B
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；
通过将方程化为标准形式，计算判别式Δ的值，根据Δ的符号判断根的情况即可．
【详解】解：∵原方程为x2-2x=-1，
∴化为标准形式：x2-2x+1=0，
其中a=1，b=-2，c=1，
∴判别式Δ=b2-4ac=(-2) 2-4×1×1=4-4=0，
∵Δ=0，
∴方程有两个相等的实数根；
故选B．
【变式1】（23-24九年级上·山西阳泉·期末）一元二次方程3x2+4x+5=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】C
【分析】此题考查了一元二次方程的根的判别式，求得Δ=42-4×3×5=-44<0，从而判断方程没
有实数根，熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式Δ=b2-4ac，当Δ>0时，方程有
两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根是解题的关
键．
【详解】解：Δ=42-4×3×5=-44<0，
∴方程没有实数根，
故选：C．【变式2】（2024·四川自贡·中考真题）关于x的一元二次方程x2+kx-2=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“一元二次方程根的判别式判断一元二次方程
根的情况”是解本题的关键．对于ax2+bx+c=0(a≠0)，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，
当Δ=0时，方程有两个相等的实数根，当Δ<0时，方程没有实数根，据此即可解答．
【详解】解：∵ x2+kx-2=0，
∴Δ=b2-4ac=k2-4×1×(-2)=k2+8>0，
所以原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【变式3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）定义新运算：m*n=m2-mn-3，例如：
2*3=22-2×3-3=-5，则关于x的一元二次方程x*3=1的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【详解】本题主要考查一元二次方程根的情况和新定义运算题型，根据新运算的定义，方程转化为标
准一元二次方程，计算判别式判断根的情况．
【分析】解：由新运算定义，方程x*3=1可化为：x2-3x-3=1．
整理为标准形式：x2-3x-4=0．
计算判别式：Δ=(-3) 2-4×1×(-4)=9+16=25．
因Δ=25>0，方程有两个不相等的实数根；
故选D．
【题型九】根据一元二次方程根的根的情况求参数
【典例9】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有实数根，则实数m的
取值范围是（ ）
A．m≤1 B．m<1 C．m≥1 D．m>1
【答案】A
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，理解掌握一元二次方程根的判别式的判别情况是解题的关键．
方程有实根，则有Δ=b2-4ac≥0，由此即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有实数根，且a=1，b=-2，c=m，
∴Δ=b2-4ac=(-2) 2-4×1×m=4-4m≥0，
∴m≤1，
故选：A．
【变式1】（24-25九年级上·广东梅州·期末）若一元二次方程 x²+mx+1=0有两个相等的实数根，则m
的值是（ ）
A．2 B．±2 C．±8 D．±❑√2
【答案】B
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据题意可得出
Δ=b2-4ac=0，代入即可求出m的值．
【详解】∵一元二次方程 x²+mx+1=0有两个相等的实数根，
∴Δ=b2-4ac=m2-4×1×1=0，
解得：m=±2．
故选：B．
【变式2】（24-25八年级下·重庆江北·期末）若关于x的一元二次方程x2+x+k=0有两个不相等的实数根，
则k的取值范围是（ ）
1 1 1 1
A．k> B．k≥ C．k< D．k≤
4 4 4 4
【答案】C
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式；根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于零时，
方程有两个不相等的实数根．将方程系数代入判别式公式，解不等式即可求出．
【详解】解：对于方程x2+x+k=0，其判别式为Δ=b2-4ac．
其中a=1，b=1，c=k，代入得Δ=12-4⋅1⋅k=1-4k．
因为方程有两个不相等的实数根，所以Δ>0，即1-4k>0．
解不等式：
1-4k>0，
-4k>-1，
1
k< ，
41
因此，k的取值范围是k< ，
4
故选：C．
【变式3】（24-25九年级上·广东韶关·期末）若关于x的一元二次方程x2-2x-k=0没有实数根，则k的
取值范围是（ ）
A．k<-2 B．k>-2 C．k<-1 D．k>-1
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据Δ=b2-4ac<0即可求出k的取值范围，熟练掌握
一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2-2x-k=0没有实数根，
∴Δ=(-2) 2-4×1×(-k)<0
解得：k<-1．
故选：C．
【题型十】一元二次方程根与系数的关系
【典例10】（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）若关于x的一元二次方程x2+2x+p=0两根为x ，x ，
1 2
1 1
且
+ =5，则p的值为（
）
x x
1 2
2 2
A．- B． C．-10 D．10
5 5
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系：若方程的两实数根为x ,x ，
1 2
b c
则x +x =- ,x ⋅x = ．根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系得到
1 2 a 1 2 a
2 1 1 x +x -2
x +x =- =-2,x ⋅x =p，然后通分， + = 1 2= ，从而得到关于p的方程，解方程即
1 2 1 1 2 x x x x p
1 2 1 2
可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+p=0两根为x ，x ，
1 2
2
∴x +x =- =-2,x ⋅x =p，
1 2 1 1 21 1 x +x -2
∴ + = 1 2= ，
x x x x p
1 2 1 2
1 1
而
+ =5，
x x
1 2
-2
∴ =5，
p
2
∴p=- ，经检验符合题意；
5
故选：A．
【变式1】（24-25九年级上·河北·期末）已知关于x的一元二次方程x2-3x+k=0的两根分别为x ，x
1 2
(1)求k的取值范围；
(2)若x2+x2=5，求k的值．
1 2
9
【答案】(1)k≤
4
(2)k=2
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟知根的判别式和根与系数的
关系是解题的关键．
（1）根据题意原方程有两个实数根，则Δ=(-3) 2-4⋅1⋅k≥0，据此求解即可；
（2）由根与系数的关系可得x +x =3，x x =k，则可推出x2+x2=9-2k=5，解方程即可得到答
1 2 1 2 1 2
案．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2-3x+k=0的两根分别为x ，x ，
1 2
∴Δ=(-3) 2-4k≥0，
9
∴k≤ ；
4
（2）解：∵关于x的一元二次方程x2-3x+k=0的两根分别为x ，x ，
1 2
∴x +x =3，x x =k，
1 2 1 2
∴x2+x2=(x +x ) 2-2x x =32-2k=9-2k，
1 2 1 2 ❑ 1 2
∵x2+x2=5，
1 2∴9-2k=5，
∴k=2，
9
∵k=2< ，
4
∴k=2符合题意，
∴k=2．
【变式2】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知关于x的一元二次方程x2+5x-m=0的一个根是-6，则
另一个根是（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），熟悉韦达定理内容是解题关键．若一
b c
元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x 、x ，则x❑ +x =- ，x ·x = ，根据一元二次
1 2 1 2 a 1 2 a
方程根与系数的关系代入数值即可求解．
【详解】解：设一元二次方程x2+5x-m=0的两个根分别是x =-6，x ，
1 2
5
由韦达定理可知，x❑ +x =- =-5，
1 2 1
∴x =-5-x =-5-(-6)=1．
2 1
故选：D．
【变式3】（24-25九年级上·湖北孝感·期末）若一元二次方程x2-2x-1=0的两个实数根为x ，x ，则
1 2
x x 的值为（ ）
1 2
A．1 B．-1 C．-2 D．2
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程
b c
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x ，x ，满足x +x =- ，x ⋅x = ．根据一元二次方程根与系数的
1 2 1 2 a 1 2 a
关系进行解答即可．
【详解】解：∵方程x2-2x-1=0的两根为x ，x ，
1 2
c -1
∴x ⋅x = =- =-1．
1 2 a 1
故选：B．
【变式4】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）已知x ,x 是一元二次方程x2-2x-1=0的两个根，则
1 2x x +x +x 的值为（ ）
1 2 1 2
A．-3 B．-1 C．1 D．3
【答案】C
【分析】本题考查根与系数关系，解题的关键是掌握．利用根与系数关系求解．
【详解】解：∵x ,x 是一元二次方程x2-2x-1=0的两个根，
1 2
∴x x =-1，x +x =2，
1 2 1 2
∴x x +x +x =1．
1 2 1 2
故选：C．
【变式5】（24-25九年级上·河北唐山·期末）α, β是方程x2-2x+m=0的两个根，若α2+β2=2，则m的
值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
【答案】B
【分析】本题考查根与系数的关系，能用m表示出两根之积，再结合整体思想是解题的关键．
利用根与系数的关系可用表示出α+β和αβ，再根据题中所给等式α2+β2=2，变形为(α+β) 2-2αβ=2，
代入，求解即可．
【详解】解：∵α, β是方程x2-2x+m=0的两个根，
∴α+β=2，αβ=m，
∵α2+β2=2，
∴(α+β) 2-2αβ=2，
∴22-2m=2，
∴m=1．
故选：B．
【变式6】（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）若α，β是方程x2+2x-2024=0的两个实数根，则
α2+3α+β的值为（ ）
A．2024 B．2022 C．-2024 D．4048
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，由α，β是方程x2+2x-2024=0的两个实数根，
得到α2+2α=2024，α+β=-2，进而即可求解，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：∵α，β是方程x2+2x-2024=0的两个实数根，
∴α2+2α-2024=0，α+β=-2，∴α2+2α=2024，
∴α2+3α+β
=α2+2α+α+β
=2024+(-2)
=2022，
故选：B．
【题型十一】一元二次方程应用-与几何图形的综合应用
【典例11】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长
度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用
其他材料做了宽为1米的两扇小门．
(1)设花圃的一边AB长为x米，请用含x的代数式表示另一边AD的长为 米；
(2)若此时花圃的面积刚好为60平方米，求此时花圃的长与宽；
(3)建成花圃的面积能为61平方米吗？请说明理由．
【答案】(1)27-3x
(2)宽为5米，长为12米
(3)不能，理由见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及列代数式，找准等量关系，正确列出
一元二次方程是解题的关键．
（1）由题意列出代数式即可．
（2）根据花圃的面积刚好为60平方米，结合题意可列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
（3）设花圃的一边AB长为y米，则AD=25+1+1-3 y=27-3 y (m)，根据花圃的面积为61平方米，
列出一元二次方程，然后由根的判别式，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵长方形花圃的宽AB长为x米，
∴另一边AD的长为AD=BC=25-3x+2=27-3x米，
故答案为：27-3x；
（2）解：∵花圃的面积刚好为60平方米，
∴x(27-3x)=60，
化简得：x2-9x+20=0，解得：x =4，x =5，
1 2
∵墙的最大可用长度为14米，
当x=4时，27-3x=15>14，不符合题意，舍去；
当x=5时，27-3x=12<14，符合题意；
答：此时花圃的长与宽边分别为12米和5米；
（3）解：建成花圃的面积不可能为61平方米，理由如下：
设花圃的一边AB长为y米，
则AD=25+1+1-3 y=27-3 y (m)，
根据题意可得：y(27-3 y)=61，
整理得：3 y2-27 y+61=0，
∵Δ=(-27) 2-4×3×61=-3<0，
∴方程无解，
∴建成花圃的面积不可能为61平方米．
【变式1】（24-25九年级上·北京丰台·期末）造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明．这些
发明对人类文明发展产生了深远的影响．某校科技节活动中，计划在如图所示的长100cm，宽40cm
的展板上展出介绍四大发明的海报，每幅海报面积均为640cm2，若展板外沿与海报之间、相邻海报之
间均贴有宽度为xcm的彩色纸带，求彩色纸带的宽度．
【答案】4cm
【分析】本题考查了根据矩形的面积公式的列一元二次方程解决实际问题的运用及一元二次方程解法
的运用．解答时检验根是否符合题意是容易被忽略的地方．
设彩色纸带的宽为xcm，根据题目条件由面积公式列出方程，求出其解就可以．
【详解】解：设彩色纸带的宽为xcm，
根据题意，得(100-5x)(40-2x)=640×4，
解方程，得x =4，x =36（不合题意，舍去)．
1 2答：彩色纸带的宽为4cm．
【变式2】（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）有两张长12cm，宽10cm的矩形纸板，分别按照图1与图2
两种方式裁去若干小正方形和小矩形，剩余部分（阴影部分）恰好做成无盖和有盖的长方体纸盒各一
个．
(1)做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是______（填“图1”或“图2”）．
(2)若图1中裁去的小正方形边长为2cm，则做成的纸盒的底面积是______．
(3)若按图2裁剪方式做成纸盒的底面积为24cm2，则剪去的小正方形的边长为多少cm？
【答案】(1)图2
(2)48cm2
(3)2cm
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、长方体的平面展开图等知识，找准等量关系，正确建立方
程是解题关键．
（1）根据长方体的平面展开图特点即可得；
（2）先求出底面长方形的长、宽，再利用长方形的面积公式计算即可得；
（3）设剪去的小正方形的边长为xcm，根据按图2裁剪方式做成纸盒的底面积为24cm2建立方程，解
方程即可得．
【详解】（1）解：做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是图2，
故答案为：图2．
（2）解：∵图1中裁去的小正方形边长为2cm，
∴底面长方形的长为12-2-2=8(cm)，宽为10-2-2=6(cm)，
∴做成的纸盒的底面积是8×6=48(cm2)，
故答案为：48cm2．
（3）解：设剪去的小正方形的边长为xcm，
12-2x
由题意得：(10-2x)⋅ =24，
2
解得：x=2或x=9，当x=9时，10-2x=10-2×9=-8<0，不符合题意，舍去，
∴x=2，
答：剪去的小正方形的边长为2cm．
【变式3】（24-25九年级上·广东深圳·期末）某校在科技节开幕式上，计划用一块正方形空地进行无人机
表演，从这块空地上划出部分区域作为安全区（如图），原空地一边减少了4m，另一边减少了2m，
剩余空地为起飞区．设原正方形空地的边长为xm．
(1)起飞区的边AB的长为______m（用含x的代数式表示）；
(2)若起飞区的面积为120m2，求原正方形空地的边长．
【答案】(1)(x-4)；
(2)原正方形空地的边长为14m．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：
（1）根据题意，列出AB的代数式即可；
（2）根据题意列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：根据题意，起飞区的边AB的长为(x-4)m，
故答案为：(x-4)；
（2）解∶ 根据题意可得：(x-2)(x-4)=120，即x2-6x-112=0，
解得：x=14，x=-8(舍去).
答：原正方形空地的边长为14m．
【题型十二】一元二次方程应用-增长率问题
【典例12】（24-25九年级上·广西来宾·期末）为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和
团队精神，2024年10月21日至24日某市开展青少年机器人竞赛活动．某商家为本次比赛供应器材，
因供过于求，还余20套器材需要进行零售．为了尽快减少库存，商家决定采取降价措施，原来每套器
材的售价为100元，经过两次降价后每套器材的售价为81元，并且每次降价的百分率相同．
(1)求每次降价的百分率；
(2)若每套器材的进价为76元，通过以上两次降价的方式，将剩余的20套器材全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一降价至少售出多少套器材后方可进行第二次降价？
【答案】(1)10%
(2)12套
【分析】（1）设每次降价的百分率x，根据题意列出方程即可求解；
（2）设第一次降价售出a套器材，则第二次降价售出(20-a)套器材，由题意列出不等式解答即可求
解；
本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找到等量关系和不等量关系是解
题的关键．
【详解】（1）解：设每次降价的百分率x，
由题可得，100(1-x) 2=81，
解得x =0.1=10%，x =1.9（不合，舍去），
1 2
答：每次降价的百分率为10%；
（2）解：设第一次降价售出a套器材，则第二次降价售出(20-a)套器材，
由题意可得，[100(1-10%)-76]a+(81-76)(20-a)≥200，
1
解得a≥11 ，
9
∵a是整数，
∴a的最小值是12，
答：第一次降价至少售出12套器材后，方可进行第二次降价．
【变式1】（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公
报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.22万元和3.69万元．设2020年至
2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ）
A．3.22(1-x) 2=3.69 B．3.22(1+x) 2=3.69
C．3.69(1-x) 2=3.22 D．3.69(1+x) 2=3.22
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据平均增长率的等量关系，a(1+x) 2=b，列出方程即
可．【详解】解：由题意，可列方程为：3.22(1+x) 2=3.69；
故选B．
【变式12】（24-25九年级上·四川德阳·期末）电影《志愿军：雄兵出击》于2024年国庆档上映，该电影
讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，一上映就获得全国人民的追捧．据不完全统计，某市第一天
票房约200万元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达728万元，设平均每天
票房的增长率为x，则方程可以列为（ ）
A．200(1+x) 2=728
B．(1+x) 2=728
C．200+200(1+x)+200(1+x) 2=728
D．200+200x+200x2=728
【答案】C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．设平均每天票房的增长率为x，根据三天后累计票房收入达728万元，即可得出关于x的一元
二次方程，此题得解．
【详解】解：第一天为：200万元，
第二天为：200(1+x)万元，
第三天为：200(1+x) 2万元，
三天累计为：200+200(1+x)+200(1+x) 2=728．
故选：C．
【变式13】（24-25九年级上·广东佛山·期末）某商店在国庆前购进某种文创品，预计每件盈利20元，其
中2024年10月1日至10月4日的日销售量如图所示．(1)求2024年10月2日至10月4日文创品的日平均增长率；
(2)用你学过的知识预估2024年10月5日的日销售盈利情况．
【答案】(1)2024年10月2日至10月4日文创品的日平均增长率为25%；
(2)预估2024年10月5日的日销售盈利625元．
【分析】（1）设2024年10月2日至10月4日文创品的日平均增长率为x， 由题意得16(1+x) 2=25，
然后解方程并检验即可；
（2）根据题意列式计算即可；
本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】（1）解：设2024年10月2日至10月4日文创品的日平均增长率为x，
由题意得：16(1+x) 2=25，
解得：x =0.25=25%，x =-2.25（不符合题意舍去），
1 2
答：2024年10月2日至10月4日文创品的日平均增长率为25%；
（2）解：由题意可知，25×20×(1+25%)=500×1.25=625（元），
答：预估2024年10月5日的日销售盈利625元．
【题型十三】一元二次方程应用-传染问题
【典例13】（23-24九年级上·广东惠州·期末）今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，如果外出时能够戴
上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两
轮传染后共有49人患了支原体肺炎(假设每个人每轮传染的人数同样多)，求每轮传染中平均一个人传
染了几个人？
【答案】6
【分析】本题主要考查一元二次方程，解题的关键是找到等量关系，列方程计算．
【详解】解：设每轮传染巾平均一个人传染了x个人，
列方程得：(1+x) 2=49，
解得：x =6，x =-8（舍去），
1 2
答：每轮传染巾平均一个人传染了6个人．
【变式1】（24-25九年级上·广东汕头·期末）在一次聚餐上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯66次，
则参加聚餐的人数为（ ）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
【答案】D【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程．
x-1
设参加聚餐的人数为x人，每人碰杯次数为 次，根据一共碰杯66次，列出一元二次方程，解之
2
即可得出答案．
【详解】解：设参加聚餐的人数为x人，
1
依题可得： x(x-1)=66，
2
化简得：x2-x-132=0，
解得：x =12，x =-11（舍去），
1 2
故选：D．
【变式2】（23-24九年级上·宁夏吴忠·期末）某校有一位同学感染了流感，经过两次感染后，全校共有
144人染上了流感．设每一次感染中，平均一个人传染给了x人，列方程为（ ）
A．x+2(1+x)=144 B．1+x(x+1)=144
C．1+x+x(x+1)=144 D．x(x+1)=144
【答案】C
【分析】考查了一元二次方程的应用，本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是
患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．
设平均一个人传染给了x人，根据一个人患了流感且经过两轮传染后共144人患了流感，即可得出关
于x的一元二次方程．
【详解】解：解：设平均一个人传染给了x人，
依题意，得：1+x+x(x+1)=144，
故选：C．
【变式3】（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）九年级毕业之际，在毕业晚会上同学们互赠照片以表留念，
每人给其他同学送一张照片，一共送出110张照片．设晚会上有x人，则可列方程为（ ）
1
A．x(x+1)=110 B． x(x-1)=110
2
1
C．x(x-1)=110 D． x(x+1)=110
2
【答案】C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握题目中的等量关系是解题的关键．
设晚会上有x人，那么每名同学要送出(x-1)张，根据一共送出110张照片列出方程即可．
【详解】解：设晚会上有x人，
∴每名同学要送出(x-1)张；∵全班同学是互赠照片，一共送出110张照片，
∴x(x-1)=110．
故选：C．
【变式4】（23-24九年级上·四川泸州·期末）小明在研学实践中发现一种植物的主干长出若干数目的支干，
每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21，则这种植物每个支干长出的小
分支个数是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这种植物每个支干长出的小分支个数是x,则支干个数为
x，小分支个数为x2，根据主干、支干和小分支的总数是21即可求解．
【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x,则支干个数为x，小分支个数为x2，
由题意得：1+x+x2=21，
解得：x =4,x =-5（舍），
1 2
故选：D．
【题型十四】一元二次方程应用-经济问题
【典例14】（24-25九年级上·河南周口·期末）直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成
本价为40元的商品进行直播销售，如果按每件50元销售，每天可卖出500件．通过市场调查发现，
单件商品的售价每增加1元，日销售量减少10件，若将每件商品提价后定为x元，日销售量设为y件．
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)为了使每天的销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则售价应定为多少元？
【答案】(1)y=-10x+1000(50≤x≤100)
(2)售价应定为60元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，一次函数的实际应用、一元一次不等式的应用等知识
点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出函数关系式（方程）是解题的关键．
（1）原销售量500减去减少的件数即可得到提价后的日销售量，于是可得y与x的函数表达式，再根
据题意列出不等式，然后解不等式可得x取值范围；
（2）根据“每件利润×日销售量=日销售利润”列出方程，再解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意可得：y=500-(x-50)×10，
整理得：y=-10x+1000，
∵日销售量y≥0，
∴-10x+1000≥0，解得x≤100；又∵售价要大于成本价40元，且原售价为每件50元，提价后为x元，
∴x≥50，
∴x的取值范围为50≤x≤100，
∴y与x的函数表达式为：y=-10x+1000(50≤x≤100)；
（2）解：根据题意，得：(x-40)(-10x+1000)=8000，
解得：x =60，x =80，
1 2
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴x=60．
答：售价应定为60元．
【变式1】（24-25九年级上·四川成都·期末）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村
全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，据统计某电商平台10月份的水果销售量是50000kg，
12月份的水果销售量是72000kg．
(1)若该平台10月份到12月份销售的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
(2)市场调查发现，某店铺的水果进价为6元/kg，若售价为10元/kg，每天能销售200kg，售价每降
价0.1元，每天可多售出20kg．水果的售价为多少元时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)20%
(2)售价为8.5元时，每天可获得最大利润为1250元
【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程和二次
函数表达式是解题的关键．
（1）设月平均增长率是x，利用12月份的水果销售量=10月份的水果销售量×(1+月平均增长率) 2，
即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设售价降低x元，利润为w，则水果的销售利润为(4-x)元/kg，每天的销售量为(200+200x)
件，列出函数关系式解答即可．
【详解】（1）解：设月平均增长率是x，
由题意得：50000(1+x) 2=72000，
解得：x =-2.2（不合题意，舍去），x =0.2=20%，
1 2
故该平台10月份到12月份销售的月平均增长率是20%．
（2）解：设售价降低x元，利润为w，
x
则水果的销售利润为10-6-x=(4-x)元/kg，每天的销售量为200+20× =(200+200x)件，
0.1∴w=(4-x)(200+200x)=-200(x-1.5) 2+1250，
∵-200<0，
∴降价1.5元，即售价为8.5元时，每天可获得最大利润为1250元．
【变式2】（24-25九年级上·四川达州·期末）某商场以每件20元的价格购进种商品，经市场调查发现该商
品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)该商场规定这种商品每件售价不得高于40元，商场要想获得600元的利润，每件商品的售价应定
为多少元？
【答案】(1)y=-2x+120
(2)30元
【分析】本题考查了一次函数、一元二次方程的实际应用，注意计算的准确性是解题关键．
（1）设y与x之间的函数关系式为：y=kx+b，将点(25,70)，(35,50)代入即可求解；
（2）根据题意得到(-2x+120)(x-20)=600，然后解方程求解即可．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为：y=kx+b，
将点(25,70)，(35,50)代入得：¿，
解得：¿，
∴y与x之间的函数关系式为：y=-2x+120；
（2）解：由题意得：(-2x+120)(x-20)=600，
整理得，x2-80x+1500=0，
解得：x =30，x =50，
1 2
∵商场规定这种商品每件售价不得高于40元，
∴x=30，
∴商品要想获得600元的利润，每件商品的售价应定为30元．
【变式3】（25-26九年级上·山西临汾·月考）第九届亚冬会在我国冰城哈尔滨召开．其吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出售，经
统计，2025年3月份的销售量为256件，2025年5月份的销售量为400件．
(1)求该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率？
(2)从5月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经测试，发现该款吉祥物每降价1元，月销
售量就会增加20件．当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润能达到8400元？
【答案】(1)25%
(2)8元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
（1）设该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为x，根据题意建立方程
256(1+x) 2=400，解方程即可得；
（2）设当该款吉祥物降价a元时，月销售利润能达到8400元，根据利润=（售价-降价的金额-进价）
×月销售量建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：设该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为x，
由题意得：256(1+x) 2=400，
解得x=0.25=25%或x=-2.25<0（不符合题意，舍去），
答：该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为25%．
（2）解：设当该款吉祥物降价a元时，月销售利润能达到8400元，
由题意得：(68-a-45)(400+20a)=8400，
解得a=8或a=-5<0（不符合题意，舍去），
答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润能达到8400元．
【题型十五】一元二次方程应用-动态几何问题【典例15】（24-25九年级上·四川宜宾·期末）如图，矩形ABCD中，AB=16cm，AD=6cm，动点P从
点A出发，以每秒3cm的速度向点B匀速移动，同时，点Q从点C出发，以每秒2cm的速度向点D匀
速移动，当其中一点到达终点时停止，同时另一点也随之停止移动．
(1)经过多少时间时，四边形APQD为矩形；
(2)经过多少时间时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
(3)经过多少时间时，点P和点Q之间的距离是10cm．
16
【答案】(1)当t= 时，四边形APQD为矩形；
5
(2)当t为5时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
8 24
(3)当t为 或 时，点P和点Q的距离为10cm
5 5
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及勾股定理，解题的关
键是：（1）根据各线段之间的关系，用含t的代数式表示出各线段的长度；（2）找准等量关系，正
确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）当运动时间为t s时，根据点P，Q的运动方向及运动速度，即可用含t的代数式表示出各线段
的长度；
（2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值；
（3）过点Q作QE⊥AB于点E，则PE=|16-5t|，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，
解之即可得出结论．
【详解】（1）解：当运动时间为ts时，AP=3tcm，BP=(16-3t)cm，CQ=2tcm，
DQ=(16-2t)cm．
依题意得：3t=16-2t，
16
解得：t= ．
516
答：当t= 时，四边形APQD为矩形；
5
1
（2）解：依题意得： [(16-3t)+2t]×6=33，
2
整理得：16-t=11，
解得：t=5．
答：当t为5时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
（3）解：过点Q作QE⊥AB于点E，则PE=|(16-3t)-2t|=|16-5t|，如图所示．
依题意得：|16-5t| 2+62=102，
即(16-5t) 2=82，
8 24
解得t = ，t = ．
1 5 2 5
8 24
答：当t为 或 时，点P和点Q的距离为10cm．
5 5
【变式1】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P
从点B出发向终点C以每秒1个单位长度移动，点Q从点C出发向终点A以每秒2个单位长度移动，
P，Q两点同时出发，一点先到达终点时P，Q两点同时停止，则（ ）秒后，△CPQ的面积等于5．A．1 B．5 C．1或5 D．2或4
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列方程是解题的关键．
1
设移动时间为t秒，因为8÷2=4秒，所以0≤t≤4，列方程得 ×2t×(6-t)=5，解方程即可得到答案．
2
【详解】解：设移动时间为t秒，
∵ 8÷2=4秒，
∴ 0≤t≤4，
1
根据题意得 ×2t×(6-t)=5，
2
解得t=1或t=5（不符合题意，舍去），
∴ 1秒后，△CPQ的面积等于5，
故选：A．
【变式2】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=12cm，点P从点A开
始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速
度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒
（t>0）．
(1)当t为何值时，PQ的长度等于10cm？
(2)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于104cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)t=2(2)t=1
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的
关键．
（1）由题意得AP=2tcm,BQ=4tcm，则PB=AB-AP=(10-2t)cm，再由勾股定理得出关于t的一
元二次方程，计算即可得解；
（2）根据题意得出关于t的一元二次方程，计算即可得解．
【详解】（1）解：由题意得：AP=2tcm,BQ=4tcm，则PB=AB-AP=(10-2t)cm，
由勾股定理可得：PB2+BQ2=PQ2，即(10-2t) 2+(4t) 2=102，
解得：t =0（不符合题意，舍去），t =2；
1 2
当t=2秒时，PQ的长度等于10cm；
（2）解：存在t=2秒，能够使得五边形APQCD的面积等于104cm2．理由如下：
1 1
由题意可得：矩形ABCD的面积是：10×12=120(cm2)，S = PB⋅BQ= ×(10-2t)×4t，
△PBQ 2 2
∵使得五边形APQCD的面积等于104cm2，
∴△PBQ的面积为120-104=16(cm2)，
1
∴(10-2t)×4t× =16，
2
解得：t =4，t =1，
1 2
当t=4时，BQ=16cm>12cm，不符合题意；
当t=1时，BQ=4cm<12cm，符合题意；
即当t=1秒时，使得五边形APQCD的面积等于104cm2．
【变式2】（22-23九年级上·广东东莞·期末）在△ABC中，∠C=90°，AC=32，BC=16，一动点P
从点C出发沿C→B方向以每秒4个单位长度的速度向终点B运动，另一动点Q从点A出发沿A→C
C方向以每秒8个单位长度的速度向终点C运动，P，Q两点同时出发，同时停止运动．设运动时间为
t秒．
(1)当t为何值时，△PCQ是等腰直角三角形？1
(2)当S = S 时，求t的值；
△PCQ 4 △ABC
(3)在运动过程中，线段PQ能平分△ABC的面积吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
8
【答案】(1)t=
3
(2)t=2
(3)不能，理由见解析
【分析】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的面积的求法．
（1）先表示出CP=4t，CQ=32-8t，判断出CQ=CP，进而建立方程求解，即可得出答案；
1
（2）利用“S = S ”建立方程求解，即可求出答案；
△PCQ 4 △ABC
1
（3）假设在运动过程中，线段PQ能平分△ABC的面积，进而利用“S = S ”建立方程，
△PCQ 2 △ABC
判断出此方程无实数根，即可得出答案．
【详解】（1）解：由运动知，CP=4t，AQ=8t，
∴CQ=AC-AQ=32-8t，
∵点P在从C向点A运动，点Q从点A向点C运动，
∴00，方程有
两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根，根据一元二次
方程的定义及判别式的意义得到m≠0且Δ=(-2) 2-4m×3=0，然后解不等式即可得到满足条件的m
的值．
【详解】解：根据题意得，m≠0且Δ=(-2) 2-4m×3=0，
1
解得m= ，
3
1
所以m的值为 ．
3
1
故答案为： ．
3
【题型二】一元二次方程应用-增长率问题
1．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）某商店销售美味的靖远羊肉，去年第二季度的总利润达13902元，4
月的利润为4200元．设该商店5，6月销售羊肉利润的月平均增长率为x，则可列出方程为（ ）
A．4200(1+x) 2=13902 B．4200(1+x)+4200(1+x) 2=13902
C．4200(1+x%) 2=13902 D．4200+4200(1+x)+4200(1+x) 2=13902
【答案】D
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，正确找到等量关系列出方程是解题关键．一般用
增长后的量=增长前的量×(1+增长率），如果设月平均增长率为x，表示出5，6月销售羊肉利润，然
后根据已知条件可得出方程．
【详解】解：由题意可得：4200+4200(1+x)+4200(1+x) 2=13902．
故选：D．
2．（24-25九年级上·重庆·期末）据报道，某人工智能科技公司2023年的年利润为500万元，由于其在技
术研发和市场拓展方面的持续投入，该公司的年利润逐年增长，到2025年的年利润预计将达到720万
元，设该公司这两年年利润的平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．500(1+x) 2=720B．500(1+2x) 2=720
C．500(1+x)+500(1+x) 2=720
D．500+500(1+x)+500(1+x) 2=720
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该公司这两年年利润的平均增长率为x，由题意得
500(1+x) 2=720，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】解：设该公司这两年年利润的平均增长率为x，
由题意得：500(1+x) 2=720，
故选：A．
【题型三】一元二次方程应用-几何面积问题
1．（25-26九年级上·北京·开学考试）列方程解决实际问题：
某学校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为
46米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学
们进行劳动实践，若设菜地的宽AB为x米．
(1)BC=_________米（用含x的代数式表示）；
(2)若围成的菜地面积为180平方米，求此时的宽AB．
【答案】(1)48-3x
(2)10米
【分析】本题考查一元二次方程的应用，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据篱笆总长及长、宽关系列代数式即可，注意前端有2个小门；
（2）根据长宽之积为180列一元二次方程，求出解后判断BC是否小于墙的最大可用长度即可．
【详解】（1）解：由题意知，BC=46-3x+2=48-3x，
故答案为：48-3x；
（2）解：由题意得x(48-3x)=180，整理得x2-16x+60=0，
解得x=6或x=10，
当x=6时，BC=48-3×6=30>22，不合题意；
当x=10时，BC=48-3×10=18<22，符合题意；
故宽AB为10米．
2．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，某农户准备利用墙面（墙面足够长），用34m长的栅栏围一
个矩形羊圈ABCD和一个边长为1m的正方形狗屋CEFG（图中阴影部分为羊的活动范围）．设
AB=xm．
(1)BC的长为___________m；（用含x的代数式表示）
(2)若羊的活动范围的面积为95m2，求AB的长；
(3)羊的活动范围的面积能否为130m2？若能，求出此时AB的长；若不能，请说明理由．
【答案】(1)(32-2x)
(2)AB的长为12m或4m；
(3)羊的活动范围的面积不能为130m2．理由见解析
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，列代数式等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）根据AB+DC+BC+EF+FG=34得到2x+BC+2=34，整理即可得到答案；
（2）根据羊的活动范围的面积为S -S 列出代数式即可；
长方形ABCD 正方形CEFG
（3）依题意得：x(32-2x)-1=130，根据根的判别式，即可得到答案；
【详解】（1）解：依题意得AB=DC=x，EF=FG=1，
∵AB+DC+BC+EF+FG=34，
∴2x+BC+2=34，
∴BC=32-2x；
故答案为：(32-2x)；
（2）解：依题意得：羊的活动范围的面积为S -S ，
长方形ABCD 正方形CEFG
∴x(32-2x)-1=95，即x2-16x+48=0，
解得x =12，x =4
1 2
∴AB的长为12m或4m；
（3）解：羊的活动范围的面积不能为130m2．理由如下，
依题意得：x(32-2x)-1=130，即2x2-32x+131=0，∵Δ=(-32) 2-4×2×131=-24<0，
∴羊的活动范围的面积不能为130m2．
【题型四】一元二次方程应用-经济问题
1．（24-25九年级上·湖南岳阳·期末）某商场销售一种小商品，进货价为40元/件．当售价为60元/件时，
每天的销售量为180件．在销售过程中发现：销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少10件．设销
售价格上涨x元/件（x为偶数），每天的销售量为y件．
(1)请写出y与x的函数关系式．
(2)商场要想每天销售该商品的利润为3900元，则每件涨价多少元？
【答案】(1)y=-5x+180；
(2)6元或10元；
【分析】（1）根据销售单价每上涨2元，每天的销售量减少10件，可列出y与x的函数关系式；
（2）根据利润等于每件的利润乘以销售量列出一元二次方程，解方程即可．
x
【详解】（1）解：由题意得：y=180- ×10=-5x+180，
2
∴y与x的函数关系式为y=-5x+180；
（2）解：由题意得：(60+x-40)(-5x+180)=3900，
整理得：x2-16x+60=0，
解得：x =6，x =10，
1 2
∴商场要想每天销售该商品的利润为3900元，则每件涨价6元或10元.
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，关键是根据等量关系写出函数解析
式和一元二次方程．
2．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）2024“夏爽中原老家河南”全省户外运动旅游产品宣传推广活动
在新乡八里沟景区启动，现场发布了徒步、蹦极、露营、戏水等河南省户外运动产品主题旅游线路．
某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以任
满．客房定价每提高10元，就会有1间客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出
每天20元的维护费用，设每间客房的定价提高了x元．
(1)填表（不需化简）：
入住的房间数量 房间价格 总维护费用
提价 60 200 60×20
前提价 __________ __________ __________
后
(2)若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？
（纯收入=总收入-维护费用）
x x
【答案】(1)60- ；200+x；(60- )×20
10 10
(2)每间客房的定价应为300元
【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用．
（1）住满为60间，x表示每个房间每天的定价增加量；定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，
x
房间空闲个数为 ，入住量=60-房间空闲个数，列出代数式；
10
（2）用：每天的房间收费=每间房实际定价×入住量，每间房实际定价=200+x，列出方程．
【详解】（1）解：∵增加10元，就有一个房间空闲，增加20元就有两个房间空闲，以此类推，空闲
x
的房间为 ，
10
x x
∴入住的房间数量=60- ，房间价格是(200+x)元，总维护费用是(60- )×20．
10 10
x x
故答案是：60- ；200+x；(60- )×20；
10 10
x x
（2）解：依题意得：(200+x)(60- )-(60- )×20=14000，
10 10
整理，得x2-420x+32000=0，
解得x =320，x =100．
1 2
x
当x=320时，有游客居住的客房数量是：60- =28（间）．
10
x
当x=100时，有游客居住的客房数量是：60- =50（间）．
10
所以当x=100时，能吸引更多的游客，则每个房间的定价为200+100=300（元）．
答：每间客房的定价应为300元．
【题型五】一元二次方程应用-动态几何问题
1．（22-23九年级上·贵州安顺·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿
AB向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当其中一点
达到终点时，另一点也随之停止．设P，Q两点移动的时间为xs，求：(1)当x为何值时，△PBQ为等腰三角形；
(2)当x为何值时，△PBQ的面积为5cm2；
(3)当x为何值时，△PDQ为等腰三角形．
【答案】(1)当x=2时，△PBQ是等腰三角形
(2)x为1或5时，△PBQ的面积为5cm2
(3)x为(8-2❑√13)或(6❑√13-18)时，△PDQ是等腰三角形
【分析】（1）由题意得AP=xcm，BQ=2xcm，得BP=(6-x)cm，CQ=(12-2x)cm，当
△PBQ为等腰三角形时，BP=BQ，得出方程，解方程即可；
（2）由三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可；
（3）根据题意，分两种情况：①当DP=DQ时，在Rt△APD和Rt△CDQ中，由勾股定理得出方
程，解方程即可；
②当QP=DQ时，在Rt△BPQ和Rt△CDQ中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=6cm，AD=BC=12cm，∠A=∠B=∠C=90°，
根据题意得：AP=xcm，BQ=2xcm，
∴BP=(6-x)cm，CQ=(12-2x)cm，
当△PBQ为等腰三角形时，BP=BQ，
∴6-x=2x，
解得：x=2，
即当x=2时，△PBQ是等腰三角形；
1
（2）解：由题意得： (6-x)⋅2x=5，
2
整理得：x2-6x+5=0，
解得：x =1，x =5，
1 2
答：当x为1或5时，△PBQ的面积为5cm2；
（3）解：根据题意，分两种情况：
①当DP=DQ时，如图1所示：在Rt△APD和Rt△CDQ中，由勾股定理得：DP2=x2+122，DQ2=62+(12-2x) 2，
∴x2+122=62+(12-2x) 2，
解得：x=8-2❑√13或x=8+2❑√13（不合题意舍去），
∴x=8-2❑√13；
②当QP=DQ时，如图2所示：
在Rt△BPQ和Rt△CDQ中，PQ2=(6-x) 2+(2x) 2，DQ2=62+(12-2x) 2，
∴(6-x) 2+(2x) 2=62+(12-2x) 2，
解得：x=6❑√13-18或x=-6❑√13-18（不合题意舍去），
∴x=6❑√13-18．
综上所述，当x为(8-2❑√13)或(6❑√13-18)时，△PDQ是等腰三角形．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形面积公式、一元二
次方程的解法、勾股定理、分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题
的关键．
【题型一】一元二次方程的解法——直接开平法·适用方程形式：当方程可化为 或 （ ）的形式时，可直接通过开平方求解.
·求解方法：
（1）若 ，则 （ 时无实数根）；
（2）若 ，则 ，再解一元一次方程.
【题型二】一元二次方程的解法——配方法
在方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (mx+a) 2 =b（b≥0）的形式；
【题型三】一元二次方程的解法——因式分解法
把ax²+bx+c=0可化成(ax+b)(cx+d)=0，口诀：右化零，左分解，两因式，各求解.
【题型四】一元二次方程的解法——公式法
1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)；
2）求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解；
-b±❑√b2-4ac
3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式：x= ；
2a
4）最后求出x ，x
1 2。
【题型五】一元二次方程根的判断
b2
−4ac＞0
① 时，方程有两个不相等的实数根；
b2
−4ac=0
② 时，方程有两个相等的实数根；
b2
③
−4ac＜0时，方程无实数根，反之亦成立
【题型六】一元二次方程的根与系数关系
x +x b x x c
根与系数的关系：即 ax2 +bx+c=0的两根为 x 1 、 x 2，则 1 2 =− a， 1 ⋅ 2 = a 利用韦达定理
。可以求一些代数式的值（式子变形），如
【题型七】一元二次方程的应用-变化率问题
设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下
a×(1±x) a(1±x) a(1±x)
降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b
【题型八】一元二次方程的应用-握手、比赛问题
n(n−1)
2
握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握 次手。
n(n−1)
赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送 张卡片。
-每每问题
【题型九】一元二次方程的应用
（1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量；
b
×y件
（2）每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数 a 量
