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专题 01 一元二次方程（期末复习讲义）
核心考点 复习目标 考情规律
一元二次方程及 能准确判断正负数在实际情境中的意 基础必考点，常出现在选择或填空题
有关概念 义。
解一元二次方程 掌握配方法、公式法、因式分解法等求 优先看能否因式分解（十字相乘常见），
的方法 解一元二次方程的解法。 不行则用公式法，如果题目明确“用配方
法解方程”，则必须按配方法的步骤写过
程。
根的判别式 熟记根的判别式和求根公式，准确找到 已知方程根的情况，求参数范围（Δ≥0）。
对应系数，同时能够利用判别式的值判
断方程解的情况。
根与系数的关系 适用于已知根的关系求系数，或不解方 韦达定理应用常在综合题出现，注意“不
（韦达定理） 程求根的表达式值。 解方程”条件下求对称式。
一元二次方程的 掌握根据实际问题建立数学模型的方 增长率问题和利润与销售问题考查较高
实际应用 法。 频。
知识点01 一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫
一元二次方程．
（2）一元二次方程的一般形式：
．
（3）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住 5个方面：“化简后”；“一个未知
数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．知识点02 一元二次方程的解及解法
一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个
未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程
的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这 x ，x 是一元二次方程
1 2
ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax 2+bx +c＝0（a≠0），ax 2+bx +c＝0（a≠0）．
1 1 2 2
直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次
方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±❑√p；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±❑√p．
配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元
二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个
负数，则判定此方程无实数解．
公式法
-b±❑√b2-4ac
（1）把x= （b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公
2a
式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次
方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的
形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也
就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化
思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个
因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原
方程的解．
换元法
1．解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，
这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，
将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，
变得容易处理．
2．我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字
母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通
过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
知识点03 根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
知识点04 根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x ，x 是方程x2+px+q＝0的两根时，x +x ＝﹣
1 2 1 2
p，x x ＝q，反过来可得p＝﹣（x +x ），q＝x x ，前者是已知系数确定根的相关问题，
1 2 1 2 1 2
后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）
1 2
b c b c
的两根时，x +x =- ，x x = ，反过来也成立，即 =-（x +x ）， =x x ．
1 2 a 1 2 a a 1 2 a 1 2
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．
②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．
③不解方程求关于根的式子的值，如求，x 2+x 2等等．
1 2
④判断两根的符号．
⑤求作新方程．
⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根
与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
知识点05 一元二次方程的实际应用
由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，
找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等
量关系，即列出一元二次方程．
一元二次方程的应用
1．列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所
列方程的解，检验和作答．
2．列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百
分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角
形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．
③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到
一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件
会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
题型一 一元二次方程的定义
解｜题｜技｜巧
一元二次方程成立必须同时满足三个条件：
1．是整式方程，即等号两边都是整式．方程中如果有分母，且未知数在分母上，那
么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根
号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）；
2．只含有一个未知数；
3．未知数项的最高次数是2；
4．在判断一个方程是否为一元二次方程时一定要先将其化成一般形式．
易｜错｜点｜拨
当二次项系数含待定字母时，易忽略字母值不可使二次项系数为0。
【典例1】（25-26九年级上·江西南昌·月考）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2+2y=3 B．x+ y=2 C．ax2+16x+1=0 D．x2-9=0
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的识别，掌握只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式是一元
二次方程是解题关键．根据一元二次方程的定义判断各选项即可．
【详解】解：A、x2+2y=3中含两个未知数，不符合一元二次方程的定义，选项错误；
B、x+ y=2中含两个未知数，且未知数的最高次数为1，不符合一元二次方程的定义，选项错误；
C、ax2+16x+1=0中，当a=0时，不是一元二次方程，选项错误；
D、x2-9=0中，只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，符合一元二次方程的定义，选
项正确；故选：D．
【典例2】（25-26九年级上·河南平顶山·期中）一元二次方程5x2-4x+1=0的二次项系数、一次项系数、
常数项分别是（ ）
A．5，4，1 B．5，-4，1 C．-5，-4，1 D．-5，-4，-1
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的一般式，根据一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)，直接
读取二次项系数、一次项系数和常数项即可．
【详解】解：一元二次方程5x2-4x+1=0的二次项系数为5，一次项系数为-4，常数项为1；
故选B
【变式1】（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
1
A．x2+4=0 B．ax2+bx+c=0 C．x2+ y+1=0 D．x2+5=
x
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的定义，需注意整式方程和未知数个数的限制
根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项
【详解】∵ 一元二次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程，
选项A：x2+4=0，只含未知数x，最高次数为2，且为整式方程，∴ 是一元二次方程；
选项B：ax2+bx+c=0，若a=0则不是二次方程，∴ 不一定是一元二次方程；
选项C：x2+ y+1=0，含有两个未知数x和y，∴ 不是一元方程；
1
选项D：x2+5=
，含有分式，不是整式方程，∴ 不是一元二次方程；
x
故选A
【变式2】关于x的一元二次方程(m-3)x2+2x+m2-9=0有一个根为0，那么m的值为 ．
【答案】-3
【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的解，掌握相关知识是解决问题的关键．将根
x=0 代入方程，得到关于 m 的方程，解出 m，并检验是否满足一元二次方程的条件．
【详解】解：将 x=0 代入方程 (m-3)x2+2x+m2-9=0，
得 m2-9=0，
即 m2=9，
解得 m=3 或 m=-3，∵一元二次方程二次项系数 m-3≠0，
∴m≠3，
∴m=-3．
故答案为：-3．
【变式3】（25-26九年级上·吉林松原·期中）已知一元二次方程(2-x)(x+3)=0，将其化成二次项系数为
正数的一般形式后，它的常数项是 ．
【答案】-6
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，需将方程化为二次项系数为正的一般形式后确定常数项．
【详解】解：展开方程(2-x)(x+3)=0，得-x2-x+6=0．
由于二次项系数为负，方程两边乘以-1，得x2+x-6=0．
因此常数项为-6．
故答案为：-6．
题型二 一元二次方程的解
解｜题｜技｜巧
根据题中所给方程的解（根），将其代入方程，然后再求解方程中参数的值或者含参数的代
数式的值。
【典例1】（21-22九年级上·浙江台州·期末）下列一元二次方程中，有一个根为x=1的是（ ）
A．x2=3x-4 B．x2=2x-1 C．x2-2x=1 D．x2+2x=1
【答案】B
【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，把x=1代入选项中每个方程进行检验即可得到答案．
【详解】解：把x=1代入x2=3x-4，得x2=1,3x-4=-1，
∴x2≠3x-4，故A不符合题意；
把x=1代入x2=2x-1，得x2=1,2x-1=1，
∴x2=2x-1，故B符合题意；
把x=1代入x2-2x，得x2-2x=-1，
∴x2-2x≠1，故C不符合题意；
把x=1代入x2+2x，得x2+2x=3，
∴x2+2x≠1，故D不符合题意；
故选：B
【典例2】（25-26九年级上·湖北孝感·期中）若x=-1是方程x2+x+2+k=0的一个根，则k的值是（ ）
A．0 B．2 C．-2 D．±2【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．根据方程的解满
足方程，将已知根x=-1代入方程，直接计算求出k的值．
【详解】解： ∵x=-1是方程 x2+x+2+k=0 的根，
∴ (-1) 2+(-1)+2+k=0，
即1-1+2+k=0，
∴k=-2．
故选：C．
【典例3】（25-26九年级上·河南驻马店·开学考试）已知一元二次方程2x2-x-3=0的一个根为m，则
4m2-2m+3的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，由已知可得2m2-m=3，再整体代入代数式
计算即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．
【详解】解：∵一元二次方程2x2-x-3=0的一个根为m，
∴2m2-m-3=0，
即2m2-m=3，
∴4m2-2m+3=2(2m2-m)+3=2×3+3=9，
故选：C．
【变式1】（25-26九年级上·江西上饶·期中）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有一个实数根是-1，
则m= ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握方程的解是满足方程的未知数的值成为解题的关键．
将x=-1代入方程得到关于m的方程求解即可．
【详解】解：将x=-1代入方程x2+2x+m=0，得：
(-1) 2+2×(-1)+m=0，
解得：m=1．
故答案为：1．
【变式2】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）已知a为一元二次方程x2+3x-10=0的根，那么2a2+6a-3的值是 ．
【答案】17
【分析】本题考查一元二次方程根的定义，代数式求值，利用一元二次方程根的定义，将x=a代入方程得
到a2+3a=10，再将所求表达式2a2+6a-3变形为2(a2+3a)-3，代入计算即可．
【详解】解：∵a为一元二次方程x2+3x-10=0的根，
∴a2+3a-10=0，
即a2+3a=10，
∴2a2+6a-3=2(a2+3a)-3=2×10-3=20-3=17．
故答案为：17．
题型三 一元二次方程的解法
解｜题｜技｜巧
1、直接开平方法解一元二次方程需注意：
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
2、用配方法解一元二次方程的步骤为：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个
负数，则判定此方程无实数解．
3、公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
4、因式分解法解一元二次方程的一般步骤为：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
建议：
首选因式分解法（如果容易分解）
次选配方法（适用于二次项系数为1或完全平方）
万能公式法（适用所有情况，但计算要细心）
直接开平方法（适用于缺少一次项或完全平方形式）
养成检验习惯，避免丢根、增根
注意判别式，先判断实数根的存在性
保持步骤完整，减少计算错误
易｜错｜点｜拨
1、系数辨识错误
2、系数代入公式时符号错误
3、判别式计算错误
4、解答格式不规范
【典例1】解方程：（2x﹣1）2＝81．
【分析】利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答．
【解答】解：∵（2x﹣1）2＝81，
∴2x﹣1＝±9，
∴2x﹣1＝9或2x﹣1＝﹣9，
∴x＝5，x＝﹣4．
1 2
【典例2】用配方法解方程：2x2﹣6x+3＝0；
【分析】方程整理后，利用配方法求出解即可；
3
【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣3x=- ，
2
9 9 3 3 3
配方得：x2﹣3x+ = - ，即（x- ）2= ，
4 4 2 2 4
3 ❑√3
开方得：x- =± ，
2 2
3+❑√3 3-❑√3
解得：x = ，x = ；
1 2 2 2
【典例3】用公式法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0．
【分析】先计算根的判别式的值，然后利用求根公式写出方程的解．【解答】解：2x2﹣3x﹣1＝0，
a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，
∵Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，
3±❑√17 3±❑√17
∴x= = ，
2×2 4
3+❑√17 3-❑√17
所以x = ，x = ．
1 4 2 4
【典例4】3x（x﹣1）＝2﹣2x（因式分解法）．
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：3x（x﹣1）＝2﹣2x，
3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（3x+2）＝0，
∴x﹣1＝0或3x+2＝0，
2
∴x＝1，x =- ．
1 2 3
【变式1】解方程：2（x﹣2）2﹣4＝0．
【分析】方程整理后，利用直接开平方法求出解即可．
【解答】解：方程整理得：（x﹣2）2＝2，
开方得：x﹣2＝±❑√2，
解得：x＝2+❑√2，x＝2-❑√2．
1 2
【变式2】用配方法解方程：3x2﹣x﹣1＝0．
【分析】利用解一元二次方程﹣配方法：先把二次项系数化为 1，然后方程两边同时加上一次项系数一半
的平方，进行计算即可解答．
【解答】解：3x2﹣x﹣1＝0，
1 1
x2- x- =0，
3 3
1 1
x2- x= ，
3 3
1 1 1 1
x2- x+（ ）2= +（ ）2，
3 6 3 6
1 13
（x- ）2= ，
6 36
1 ❑√13
x- =± ，
6 61 ❑√13 1 ❑√13
x- = 或x- =- ，
6 6 6 6
❑√13+1 1-❑√13
x = ，x = ．
1 6 2 6
【变式3】用公式法解方程：x2﹣2x﹣8＝0．
【分析】先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式计算方程的根．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣8，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣8）＝36＞0，
-b±❑√b2-4ac 2±6
x= = =1±3，
2a 2×1
所以x＝4，x＝﹣2．
1 2
【变式4】解方程：（x﹣2）2＝（2x﹣1）2．
【分析】方程移项后，利用平方差公式分解，求出解即可．
【解答】解：移项得：（x﹣2）2﹣（2x﹣1）2＝0，
分解因式得：（x﹣2+2x﹣1）（x﹣2﹣2x+1）＝0，
即﹣3（x﹣1）（x+1）＝0，
所以x﹣1＝0或x+1＝0，
解得：x＝1，x＝﹣1．
1 2
题型四 根的判别式
解｜题｜技｜巧
已知根的情况，求参数取值范围：
步骤：
写出一元二次方程一般形式。
列出判别式 Δ 关于参数的表达式。
根据条件列不等式：
两个不等实根 ⇨ Δ > 0
两个相等实根 ⇨ Δ = 0
无实根 ⇨ Δ < 0
有实根 ⇨ Δ ≥ 0
解不等式，注意二次项系数不为 0。
易｜错｜点｜拨
当二次项系数含参数时，要保证二次项系数不为0且满足Δ的条件。
【典例1】已知关于x的一元二次方程x2−2x+m−1＝0．
（1）当m取何值时，这个方程有两个不相等的实数根？（2）若x＝1是这个方程的一个根，求m的值和另一根．
【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，可得Δ＞0，从而可以求得m的
取值范围；
（2）把x＝1代入已知方程，得到关于m的一元一次方程，通过解该方程来求m的值，则可得出答案．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＝4﹣4m+4＞0，
即m＜2．
（2）当x＝1时，1﹣2+m﹣1＝0，
∴m＝2，
∴x2−2x+1＝0，
解得x＝x＝1．
1 2
即另一根是1．
【变式1】已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+（a+3）x+a+1＝0的一个根．
（1）求实数a的值；
（2）求证：方程总有两个不相等的实数根．
【分析】（1）根据一元二次方程的解的定义，将x＝1代入关于x的一元二次方程x2+（a+3）x+a+1＝0，
列出关于a的方程，通过解该方程求得a值即可；
（2）求出根的判别式Δ＝（a+1）2+4＞0，据此可得答案；
【解答】（1）解：∵x＝1是关于x的一元二次方程x2+（a+3）x+a+1＝0的一个根．
∴1+a+3+a+1＝0，
解得a＝﹣2.5；
（2）证明：∵Δ＝（a+3）2﹣4（a+1）
＝a2+6a+9﹣4a﹣4
＝a2+2a+5
＝（a+1）2+4＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
题型五 一元二次方程的实际应用
解｜题｜技｜巧
列一元二次方程解应用题的“六字诀”：
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方
程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
易｜错｜点｜拨（选取其一或者其他版块均可）
列方程解实际问题的三个重要环节：
1．整体地、系统地审题；
2．把握问题中的等量关系；
3．正确求解方程并检验解的合理性.
【典例1】陕西重型汽车有限公司（简称陕汽重卡）是由湘火炬汽车集团股份有限公司与陕西汽车集团有
限责任公司合资组建的大型汽车公司企业，该企业随着生产技术的不断提升，生产的某款汽车的价格由
2021年8月份的39万元/辆下降到10月份的31.59万元/辆，若月平均降价的百分率保持不变，试求月平
均降价率．
【分析】设月平均降价的百分率为 x，根据汽车的价格由 2021年8月份的39万元/辆下降到10月份的
31.59万元/辆列出方程，解方程即可．
【解答】解：设月平均降价的百分率为x，
根据题意得：39（1﹣x）2＝31.59，
解得x＝0.1＝10%，x＝1.9（不合题意，舍去），
1 2
答：月平均降价率为10%．
【典例2】（25-26九年级上·河北衡水·期中）淘宝网站上一家化妆品网店一款面膜每盒进价为80元，销售
价为120元时，每周可售出200盒，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每盒面膜降价5
元，那么平均每周可多售出30盒，设每盒面膜降价x元．
(1)每周销售量增加______盒，每盒面膜盈利______元；（用含x的代数式表示）
(2)商家能达到平均每周盈利8200元吗？请说明你的理由．
【答案】(1)6x；(40-x)
(2)不能，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解决本题的关键．
（1）设每盒面膜降价x元，根据题意即可得到每周销售量增加6x盒，每盒面膜盈利(40-x)元；
（2）根据题意可列方程(40-x)(200+6x)=8200，进而即可求解．
【详解】（1）解：设每盒面膜降价x元，x
则每周销售量增加 ×30=6x（盒），每盒面膜盈利120-x-80=(40-x)元，
5
故答案为：6x，(40-x)；
（2）解：商家不能达到平均每周盈利8200元，理由如下：
依题意得：(40-x)(200+6x)=8200
3x2-20x+100=0，
∴a=3,b=-20,c=100，
∵Δ=b2-4ac
=(-20) 2-4×3×100
=400-1200
=-800<0，
∴此方程无解，即商家不能达到平均每周盈利8200元．
【典例3】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，在直角△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8
cm．点P从点A出发，沿AB向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发，沿BC向点C以
2cm/s的速度移动，设运动时间为t（秒）．
(1)用t的代数式表示：BP=_______，BQ=_______．
(2)线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出移动时间；若不能，请说明理由．
【答案】(1)6-x，2x；
(2)不能，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，
（1）根据速度乘以时间求出点运动的距离即可；
（2）经过t秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，根据△BPQ的面积是△ABC的面积的一
半，列出一元二次方程，化为一般式，再利用根的判别式可得结论．
【详解】（1）解：由题意知：AP=x，BQ=2x，则BP=6-x，
故答案为：6-x，2x；（2）解：不能，理由如下：
设经过t秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，即△BPQ是 △ABC面积的一半，
1 1 1
由题意知： (6-t)⋅2t= × ×6×8，
2 2 2
∴t2-6t+12=0，
∵Δ=b²-4ac=(-6) 2-4×1×12=-12<0，
∴此方程无解，
∴线段PQ不能将 △ABC分成面积相等的两部分．
【变式1】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到
智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．
据统计，8月份进馆120人次，进馆人次逐月增加，到10月份累计进馆570人次，若进馆人次的月平均增
长率相同．
(1)求进馆人次的月平均增长率；
(2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过400人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，学
校图书馆能否接纳11月份的进馆人次？说明理由．
【答案】(1)50%
(2)不能，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、含乘方的有理数混合运算的应用，找准等量关系，正确建立方
程是解题关键．
（1）设进馆人次的月平均增长率为x，根据到10月份累计进馆570人次建立方程，解方程即可得；
（2）结合（1）的结论，先求出10月份的进馆人次，再求出11月份的进馆人次，与400人次进行大小比
较，由此即可得．
【详解】（1）解：设进馆人次的月平均增长率为x，
由题意得：120+120(1+x)+120(1+x) 2=570，
整理得：4x2+12x-7=0，
解得x=0.5=50%或x=-3.5<0（不符合题意，舍去），
答：进馆人次的月平均增长率为50%．
（2）解：学校图书馆不能接纳11月份的进馆人次．理由如下：
由（1）已得：进馆人次的月平均增长率为50%，
∴10月份的进馆人次为120×(1+50%) 2=270（人次），∴11月份的进馆人次为270×(1+50%)=405（人次），
∵因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过400人次，且405>400，
∴学校图书馆不能接纳11月份的进馆人次．
【变式2】新晋网红打卡地一一重庆规划展览馆吸引众多游客，某商家借此购进一批文创产品钥匙扣和手
账本．商家用1600元购买钥匙扣，800元购买手账本，每个钥匙扣和手账本的进价之和为10元，且购
进手账本的数量是钥匙扣的2倍．
（1）求商家购买每个钥匙扣的进价和每个手账本的进价；
（2）商家在销售过程中发现，当手账本的售价为每个5元，钥匙扣的售价为每个15元时，平均每天可
售出40个手账本，20个钥匙扣．据统计，钥匙扣的售价每降低 0.5元平均每天可多售出5个，且降价
幅度不超过20%．商家在保证手账本的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使钥匙扣和手账
本平均每天的总获利为300元，则每个钥匙扣的售价为多少元？
1600 800
【分析】（1）设商家购买每个钥匙扣的进价是x元，可得： ×2= ，解方程并检验，即可得商
x 10-x
家购买每个钥匙扣的进价是8元，每个手账本的进价是2元；
15-m
（2）设每个钥匙扣的售价为m元，有（m﹣8）×（20+ ×5）+40×（5﹣2）＝300，得m＝11，m＝
0.5 1 2
14，根据降价幅度不超过20%，即知每个钥匙扣的售价为14元．
【解答】解：（1）设商家购买每个钥匙扣的进价是x元，则每个手账本的进价是（10﹣x）元，
1600 800
根据题意得： ×2= ，
x 10-x
解得x＝8，
经检验，x＝8是原方程的解，也符合题意，
∴10﹣x＝10﹣8＝2，
答：商家购买每个钥匙扣的进价是8元，每个手账本的进价是2元；
（2）设每个钥匙扣的售价为m元，
15-m
根据题意得：（m﹣8）×（20+ ×5）+40×（5﹣2）＝300，
0.5
整理得：m2﹣25m+154＝0，
解得m＝11，m＝14，
1 2
∵降价幅度不超过20%，
15-m
∴ ≤20%，
15
∴m≥12，∴m＝14，
答：每个钥匙扣的售价为14元．
【变式3】（25-26九年级上·广西河池·期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．
点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速
度移动．当点Q移动到点C时，点P、Q停止移动．设点运动的时间为t秒．
(1)用含t的式子表示：AP=______cm，BP=______cm，BQ=______cm；
(2)当t为何值时，△PBQ的面积等于8cm2．
【答案】(1)t；(6-t)；2t．
(2)2或4
【分析】本题考查列代数式，一元二次方程的实际应用：
（1）根据题意，列出代数式即可；
（2）根据三角形的面积公式，列出方程进行求解即可。
【详解】（1）解：由题意，AP=tcm，BQ=2tcm，
∴BP=AB-AP=(6-t)cm；
1
（2）根据三角形的面积公式，得 BP⋅BQ=8，
2
1
即 (6-t)⋅2t=8，整理，得t2-6t+8=0．
2
解得t =2，t =4．
1 2
由题意可知，0≤t≤4，
故当t的值为2或4时，△PBQ的面积等于8cm2．
期末基础通关练（测试时间：10分钟）1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
2
A．y-2x=0 B．x2= +1
x
C．4- y2=0 D．ax2+bx+c=0
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的
定义：只含一个未知数，并且未知数的项的最高次数为2的整式方程是一元二次方程．据此判断即可．
【详解】解：一元二次方程需满足：①只含一个未知数；②含有未知数的项的最高次数为2；③整式方程．
选项A：含两个未知数x和y，不符合①，此选项不合题意；
2 2
选项B：方程可化为 x2- -1=0，含分式 ，不是整式方程，不符合③，此选项不符合题意；
x x
选项C：方程 4- y2=0 只含未知数y，且最高次数为2，是整式方程，此选项符合题意；
选项D：当 a=0 时，不是一元二次方程，此选项不符合题意．
故选：C．
2．方程2x2-6x+9=0的二次项系数，一次项系数，常数项分别为（ ）
A．6，2，9 B．2，-6，9 C．2，-6，-9 D．-2，6，-9
【答案】B
【分析】此题考查了一元二次方程的一般式，根据一元二次方程的标准形式ax2+bx+c=0求解即可．
【详解】∵方程2x2-6x+9=0，
∴二次项系数a=2，一次项系数b=-6，常数项c=9．
故选：B．
3．若x=1是方程x2-x+c=0的一个根，则c的值是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的根，掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键．直接利用方程根的定
义代入计算即可．
【详解】∵ x=1是方程x2-x+c=0 的根，
∴代入得：12-1+c=0，即0+c=0，
∴ c=0．
故选：B．
4．用配方法解方程x2-4x-5=0时，配方后正确的是（ ）A．(x+2) 2=9 B．(x+2) 2=1 C．(x-2) 2=9 D．(x-2) 2=21
【答案】C
【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先将常数项移项，再两边
同加上一次项系数一半的平方，由此即可得．
【详解】解：x2-4x-5=0，
x2-4x=5，
x2-4x+4=5+4，
(x-2) 2=9，
故选：C．
5．关于x的一元二次方程x2+5x-4=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．只有一个实数根 D．有两个相等的实数根
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2-4ac有
如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，
方程无实数根．
通过计算一元二次方程根的判别式，判断根的情况即可．
【详解】解：∵ x2+5x-4=0中a=1，b=5，c=-4，
∴ Δ=b2-4ac=52-4×1×(-4)=25+16=41>0，
∴ 方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
6．方程x2+2x-3=m有两个实数根，m的取值范围为（ ）
A．m>-4 B．m≥-4 C．m<-4 D．m≤-4
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式Δ=b2-4ac与根的关系，熟练掌握根
的判别式与根的关系式解答本题的关键．当Δ>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，一
元二次方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，一元二次方程没有实数根．
将方程化为一元二次方程的一般形式，利用判别式是非负数列式求解即可．【详解】解：∵方程 x2+2x-3=m即x2+2x-3-m=0有两个实数根，
∴Δ=22-4×1×(-3-m)=4+12+4m=16+4m≥0．
∴16+4m≥0，
∴4m≥-16，
∴m≥-4．
故选 B．
7．关于x的方程(m-1)x|m|+1-(m-1)x+1=0是一元二次方程，则m的值是 ．
【答案】-1
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得未知数的最高次数为2且二次项
系数不为0，列方程求解．
【详解】解：由一元二次方程的定义，得|m|+1=2且m-1≠0．
解|m|+1=2，得|m|=1，
所以m=±1．
又由m-1≠0，得m≠1，
因此m=-1．
故答案为-1．
8．已知a是方程x2-3x-2=0的一个根，则a2-3a值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查一元二次方程的解．
将x=a代入方程，即可求得a2-3a的值．
【详解】解：∵a是方程x2-3x-2=0的一个根，
∴a2-3a-2=0，
∴a2-3a=2．
故答案为：2．
9．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有225人患了流感，每轮传染中平均一人传染几个人？设每轮传
染中平均一个人传染x人，则可列方程是 ．
【答案】(1+x) 2=225
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意、找准等量关系是解题的关键．
根据流感传染模型，初始患病人数为1人，每轮传染中平均一人传染x人．第一轮传染后患病人数为1+x
人，第二轮传染新增患病人数为x(1+x)人，两轮后总患病人数为1+x+x(1+x)人．再根据题意两轮后共225人即可列出方程．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染x人．
第一轮传染后，患流感的人数为：1+1⋅x=1+x．
第二轮传染时，第一轮后的每个患者传染x人，新增患病人数为：x(1+x)．
第二轮传染后，总患病人数为：1+x+x(1+x)．
因为经过两轮传染后总人数共有225人患了流感，
所以列方程：1+x+x(1+x)=225，整理得：(1+x) 2=225．
故答案为：(1+x) 2=225．
10．用适当的方法解下列方程
(1)x2+6x-7=0；
(2)2x2+3x-5=0
【答案】(1)x =1,x =-7
1 2
5
(2)x =1,x =-
1 2 2
【分析】此题考查了解一元二次方程；
（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【详解】（1）解：x2+6x-7=0
∴(x-1)(x+7)=0
∴x-1=0或x+7=0
解得：x =1,x =-7
1 2
（2）2x2+3x-5=0
∴(x-1)(2x+5)=0
∴x-1=0或2x+5=0
5
解得：x =1,x =-
1 2 2
13．阅读与思考
配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几
个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：
x2+2x-3=(x2+2x+1)-1-3=(x+1) 2-22=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)；
②求代数式 x2-6x+11的最小值：
x2-6x+11=(x2-6x+9)-9+11=(x-3) 2+2，
∵(x-3) 2是非负数，即(x-3) 2≥0，
∴(x-3) 2+2≥2，则代数式． x2-6x+11的最小值是2．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)用配方法因式分解： x2+4x-12；
(2)求 x2+8x+12的最小值；
【答案】(1)(x+6)(x-2)
(2)-4
【分析】本题考查了配方法的应用．
（1）通过配方法将二次三项式化为完全平方式与常数差的形式，再利用平方差公式因式分解；
（2）通过配方法将代数式化为完全平方式与常数的和，利用平方非负性求最小值．
【详解】（1）解：x2+4x-12
=(x2+4x+4)-4-12
=(x+2) 2-16
=(x+2) 2-42
=(x+2+4)(x+2-4)
=(x+6)(x-2)
（2）解：x2+8x+12
=(x2+8x+16)-16+12
=(x+4) 2-4
∵ (x+4) 2≥0∴ (x+4) 2-4≥-4
∴ 代数式的最小值为 -4
15．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A出发，沿边AB以1cm/s的速度
向点B移动，点Q从点B出发沿边BC以2cm/s的速度向点C移动，点P、Q同时出发．当其中一点到达终
点时，另一点也停止移动．
(1)几秒后，△PBQ的面积为4cm2？
(2)几秒后，PQ的长为5cm？
【答案】(1)1秒后，△PBQ的面积为4cm2
(2)2秒后，PQ的长为5cm
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程是解题的关键：
（1）设t秒后，△PBQ的面积为4cm2，根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可；
（2）设t秒后，PQ的长为5cm，根据勾股定理列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：设t秒后，△PBQ的面积为4cm2，
由题意，AP=tcm,BQ=2tcm，(0≤t≤3.5)，
∴BP=AB-AP=(5-t)cm，
1
∴ ⋅2t(5-t)=4，解得t=1或t=4（不合题意，舍去）；
2
故1秒后，△PBQ的面积为4cm2；
（2）由（1）和勾股定理可得：(5-t) 2+2t2=52，
解得t=0（舍去）或t=2；
故2秒后，PQ的长为5cm．
期末重难突破练（测试时间：10分钟）
1．设x ，x 是关于x的方程x2-3x-5=0的两个根，则x +x = ．
1 2 1 2
【答案】3
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系；根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根
之和即可．【详解】解：对于方程x2-3x-5=0，其中二次项系数a=1，一次项系数b=-3，常数项c=-5．
b -3
根据根与系数的关系，两根之和x +x =- =- =3．
1 2 a 1
故答案为：3．
2．已知方程x2+(m-3)x+1-2m=0（m为常数）．
(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
1 1
(2)若x ，x 是原方程的两根，且 + =-2，求m的值．
1 2 x x
1 2
【答案】(1)见解析
(2)1
【分析】本题考查根的判别式，根与系数关系等．
（1）根据方程可知a=1，b=m-3，c=1-2m，再利用Δ=b2-4ac即可证明本题答案；
（2）利用方程可知x +x =-(m-3)，x x =1-2m，再将题干式子通分代入两根之和与两根之积，即可
1 2 1 2
得到本题答案．
【详解】（1）解：证明：∵a=1，b=m-3，c=1-2m，
∴Δ=b2-4ac，
=(m-3) 2-4×1×(1-2m)，
=m2+2m+5，
=(m+1) 2+4>0，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x ，x 是原方程的两根，
1 2
∴x +x =-(m-3)，x x =1-2m，
1 2 1 2
1 1
∵
+ =-2，
x x
1 2
x +x
∴
1 2=-2，
x x
1 2
-(m-3)
∴ =-2，
1-2m
解得，m=1，
检验，m=1是分式方程的解，∴m的值为1．
3．顺应2025年AI教育硬件爆发趋势，某品牌AI学习机经销商统计了产品销量，该品牌AI学习机8月份销
售50台，10月份销售72台，8月份到10月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌AI学习机销售量的月增长率；
(2)若此种AI学习机的进价为30元/台，商家调查显示，当售价为40元/台时，月销售量为500台，在此基础
上售价每上涨1元/台，月销售量将减少10台，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则
该品牌AI学习机每个售价应定为多少元？
【答案】(1)
20%
(2)
50元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用：
（1）设该品牌AI学习机销售量的月增长率为x，8月份到10月份销售量的月增长率相同，则到10月为
50(1+x) 2，列出等式计算；
（2）设该品牌AI学习机每个售价应定为y元，先求出每台的销售利润和月销售量，整理计算售价即可．
【详解】（1）解：设该品牌AI学习机销售量的月增长率为x，
根据题意得：50(1+x) 2=72，
解得：x =0.2=20%，x =-2.2（不符合题意，舍去）．
1 2
答：该品牌AI学习机销售量的月增长率为20%；
（2）解：设该品牌AI学习机每个售价应定为y元，
则每台的销售利润为(y-30)元，月销售量为500-10(y-40)=(900-10 y)台，
根据题意得：(y-30)(900-10 y)=8000，
整理得：y2-120 y+3500=0，
解得：y =50，y =70，
1 2
又因为要尽可能让顾客得到实惠，所以取y=50．
答：该品牌AI学习机每个售价应定为50元．
期末综合拓展练（测试时间：15分钟）
1．阅读与思考
配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几
个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：
x2+2x-3=(x2+2x+1)-1-3=(x+1) 2-22=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)；
②求代数式 x2-6x+11的最小值：
x2-6x+11=(x2-6x+9)-9+11=(x-3) 2+2，
∵(x-3) 2是非负数，即(x-3) 2≥0，
∴(x-3) 2+2≥2，则代数式． x2-6x+11的最小值是2．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)用配方法因式分解： x2+4x-12；
(2)求 x2+8x+12的最小值；
【答案】(1)(x+6)(x-2)
(2)-4
【分析】本题考查了配方法的应用．
（1）通过配方法将二次三项式化为完全平方式与常数差的形式，再利用平方差公式因式分解；
（2）通过配方法将代数式化为完全平方式与常数的和，利用平方非负性求最小值．
【详解】（1）解：x2+4x-12
=(x2+4x+4)-4-12
=(x+2) 2-16
=(x+2) 2-42
=(x+2+4)(x+2-4)
=(x+6)(x-2)
（2）解：x2+8x+12
=(x2+8x+16)-16+12
=(x+4) 2-4
∵ (x+4) 2≥0∴ (x+4) 2-4≥-4
∴ 代数式的最小值为 -4
2．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A出发，沿边AB以1cm/s的速度
向点B移动，点Q从点B出发沿边BC以2cm/s的速度向点C移动，点P、Q同时出发．当其中一点到达终
点时，另一点也停止移动．
(1)几秒后，△PBQ的面积为4cm2？
(2)几秒后，PQ的长为5cm？
【答案】(1)1秒后，△PBQ的面积为4cm2
(2)2秒后，PQ的长为5cm
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程是解题的关键：
（1）设t秒后，△PBQ的面积为4cm2，根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可；
（2）设t秒后，PQ的长为5cm，根据勾股定理列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：设t秒后，△PBQ的面积为4cm2，
由题意，AP=tcm,BQ=2tcm，(0≤t≤3.5)，
∴BP=AB-AP=(5-t)cm，
1
∴ ⋅2t(5-t)=4，解得t=1或t=4（不合题意，舍去）；
2
故1秒后，△PBQ的面积为4cm2；
（2）由（1）和勾股定理可得：(5-t) 2+2t2=52，
解得t=0（舍去）或t=2；
故2秒后，PQ的长为5cm．
