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第六周
[周一]
1.(2022·漳州模拟)如图，在平面四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，△ABC的内角
A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos B＋acos C＋ccos A＝0.
(1)求B；
(2)若AB＝CD＝2，△ABC的面积为2，求AD.
解 (1)由bcos B＋acos C＋ccos A＝0及正弦定理得
sin Bcos B＋sin Acos C＋cos Asin C＝0，
所以sin Bcos B＋sin(A＋C)＝0，
所以sin Bcos B＋sin B＝0，
因为00，
所以cos B＝－，
所以B＝.
(2)因为△ABC的面积为2，
所以S ＝acsin B＝2，
△ABC
即a＝2，所以a＝2，
由余弦定理得
AC＝＝2，
所以cos∠CAB＝
＝＝，
因为AC平分∠BAD，
所以cos∠CAB＝cos∠CAD，
所以CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos∠CAD，
所以4＝20＋AD2－2×2×AD×，
所以AD2－8AD＋16＝0，
所以AD＝4.[周二]
2．(2022·石家庄模拟)设数列{a}的前n项和为S.已知a＝1,2a ＝S＋2(n∈N*)．
n n 1 n＋1 n
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)数列{b}满足b＝ (n∈N*)，求数列{b}的前n项和T.
n n n n
解 (1)当n≥2时，
由2a ＝S＋2，得2a＝S ＋2，
n＋1 n n n－1
两式相减得2a －2a＝a，
n＋1 n n
所以＝，
因为a＝1，则a＝＝，
1 2
所以＝，符合＝，
所以数列{a}是以1为首项，为公比的等比数列，所以a＝n－1.
n n
(2)b＝ ＝(n－2)·n－1，
n
则T＝－1×0＋0×＋1×2＋…＋(n－2)·n－1，
n
T＝－1×＋0×2＋1×3＋…＋(n－3)·n－1＋(n－2)·n，
n
两式相减得－T＝－1＋＋2＋…＋n－1－(n－2)·n
n
＝－2＋－(n－2)n，
所以T＝2(n－4)n＋8.
n
[周三]
3．(2022·衡水模拟)某学校的射击比赛，开始时选手在距离目标100 m处射击，若命中则记
3分，且停止射击．若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但需在距离目标150 m处
射击，这时命中目标记2分，且停止射击．若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此
时需在距离目标200 m处射击，若第三次命中则记1分，并停止射击．若三次都未命中则记
0分，并停止射击．已知选手甲的命中率与目标的距离的平方成反比，他在100 m处击中目
标的概率为，且各次射击都相互独立．
(1)求选手甲在射击中得0分的概率；
(2)设选手甲在比赛中的得分为ξ，求ξ的分布列和均值．
解 (1)记选手甲第一、二、三次射击命中目标分别为事件A，B，C，三次都没有击中目标为事件D，则P(A)＝.
设选手甲在x m处击中目标的概率为P(x)，
则P(x)＝.
由x＝100时，P(A)＝，得＝，
所以k＝5 000，P(x)＝，
所以P(B)＝，P(C)＝.
由于各次射击都是相互独立的，所以选手甲在射击中得0分的概率为
P(D)＝P()＝××＝.
(2)由题设知，ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝3)＝，
P(ξ＝2)＝×＝，
P(ξ＝1)＝××＝，
P(ξ＝0)＝.
则ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
所以均值为E(ξ)＝×1＋×2＋×3＝.
[周四]
4．(2022·潍坊模拟)图1是由矩形ACC A 、等边△ABC和平行四边形ABBA 组成的一个平
1 1 1 2
面图形，其中AB＝2，AA ＝AA ＝1，N为AC 的中点．将其沿AC，AB翻折，使得AA 与
1 2 1 1 1
AA 重合，连接BC ，BN，如图2.
2 1 1
(1)证明：在图2中，AC⊥BN，且B，C，C ，B 四点共面；
1 1
(2)在图2中，若二面角C －AC－B的大小为θ，且tan θ＝－，求直线AB与平面BCC B 所
1 1 1
成角的正弦值．
(1)证明 取AC的中点M，连接NM，BM，如图，因为ACC A 为矩形，N为AC 的中点，
1 1 1 1
所以AC⊥MN，
因为△ABC为等边三角形，所以AC⊥MB，
又MN∩MB＝M，MN，MB⊂平面BMN，
所以AC⊥平面BMN，又BN⊂平面BMN，
所以AC⊥BN，
在矩形ACC A 中，AA∥CC ，在平行四边形ABBA 中，AA∥BB，
1 1 1 1 1 1 1 1
因此BB∥CC ，
1 1
所以B，C，C ，B 四点共面．
1 1
(2)解 由(1)知MN⊥AC，BM⊥AC，
则∠NMB为二面角C －AC－B的平面角，
1
θ＝∠NMB，
在平面BMN内过M作Mz⊥MB，有AC⊥Mz，以M为坐标原点建立如图所示的空间直角坐
标系，
A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1,0,0)，
N(0，cos θ，sin θ)，C (－1，cos θ，sin θ)，
1
AB＝(－1，，0)，CB＝(1，，0)，
CC1＝(0，cos θ，sin θ)，
设平面BCC B 的法向量为n＝(x，y，z)，
1 1
则
令y＝－1，得n＝，
由tan θ＝－得n＝(，－1，－2)，
设直线AB与平面BCC B 所成角为α，
1 1
于是得sin α＝|cos〈n，AB〉|＝
＝＝，所以直线AB与平面BCC B 所成角的正弦值是.
1 1[周五]
5．(2022·深圳模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)经过点A(2,0)，且点A到C的渐近线的
距离为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点(4,0)作斜率不为0的直线l与双曲线C交于M，N两点，直线x＝4分别交直线AM，
AN于点E，F.试判断以EF为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；反之
请说明理由．
解 (1)由题意得a＝2，
双曲线C的渐近线方程为y＝±x，
所以有＝，
解得b＝，
因此，双曲线C的方程为－＝1.
(2)①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为
y＝k(x－4)，
由
可得(3－4k2)x2＋32k2x－64k2－12＝0，
k≠±，Δ>0，
设M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
则由x＋x＝，xx＝，
1 2 1 2
由直线AM方程y＝(x－2)，
令x＝4，得点E，
由直线AN方程y＝(x－2)，
令x＝4，得点F，
则以EF为直径的圆的方程为(x－4)(x－4)＋＝0，
令y＝0，有(x－4)2＝－，
将y＝k(x－4)，y＝k(x－4)代入上式，
1 1 2 2
得(x－4)2＝－，
可得(x－4)2＝－＝9，
解得x＝1，或x＝7，
即以EF为直径的圆经过点(1,0)和(7,0)；
②当直线l斜率不存在时，直线l与直线x＝4重合，此时M，N与E，F重合，将x＝4代入
双曲线方程得y＝±3，则以EF为直径的圆的方程为(x－4)2＋y2＝9，也过点(1,0)，(7,0)，综上，以EF为直径的圆过定点(1,0)，(7,0)．
[周六]
6．(2022·广州模拟)已知函数f(x)＝(x－1)ex＋x.
(1)判断f(x)的单调性；
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≥(x＋1)ln(x＋1)－ax2－1恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)因为f(x)＝(x－1)ex＋x，
所以f′(x)＝xex＋1.
令g(x)＝xex＋1，
则g′(x)＝(1＋x)ex.
当x∈(－∞，－1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当x∈(－1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增．
故g(x)≥g(－1)＝1－>0，
即f′(x)>0，则f(x)在R上单调递增．
(2)f(x)≥(x＋1)ln(x＋1)－ax2－1等价于
(x－1)ex－(x＋1)ln(x＋1)＋ax2＋x＋1≥0.
令h(x)＝(x－1)ex－(x＋1)ln(x＋1)＋ax2＋x＋1，
则h′(x)＝xex－ln(x＋1)＋2ax.
令φ(x)＝xex－ln(x＋1)＋2ax，
则φ′(x)＝(x＋1)ex－＋2a，
显然φ′(x)在[0，＋∞)上单调递增，
故φ′(x)≥φ′(0)＝2a.
当a≥0时，φ′(x)≥0，φ(x)在[0，＋∞)上单调递增，
φ(x)≥φ(0)＝0，即h′(x)≥0，
则h(x)在[0，＋∞)上单调递增，h(x)≥h(0)＝0，符合条件．
当a<0时，φ′(0)＝2a<0，
φ′(－2a)＝(－2a＋1)e－2a－＋2a>－2a＋1－1＋2a＝0，
所以∃x∈(0，－2a)，φ′(x)＝0.
0 0
当x∈[0，x)时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减，则φ(x)<φ(0)＝0.
0
即当x∈[0，x)时，h′(x)<0，
0
则h(x)在[0，x)上单调递减，
0
则当x∈[0，x)时，h(x)≤h(0)＝0，不符合条件．
0综上所述，实数a的取值范围是[0，＋∞)．
