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第二周
周一
{ |x+2 }
1.(2024·济宁模拟)已知集合A={-2，-1，1，2}，B= x ≤0 ，则A∩B中元素的个数为( )
x-1
A.1 B.2
C.3 D.4
答案 B
x+2
解析 由 ≤0，得(x+2)(x-1)≤0且x-1≠0，
x-1
解得-2≤x<1，即B={x|-2≤x<1}，
所以A∩B={-2，-1}，有2个元素.
2.(2024·太原模拟)已知在△ABC中，A=120°， D是BC的中点，且AD=1，则△ABC的面积的最大值为(
)
A.√3 B.2√3
C.1 D.2
答案 A
1
解析 因为A=120°，所以⃗AB·⃗AC=|⃗AB||⃗AC|cos 120°=- bc，
2
1
因为AD是中线，所以⃗AD= (⃗AB+⃗AC)，
2
1
⃗AD2= (⃗AB2 +⃗AC2+2⃗AB·⃗AC)，
4
所以4=b2+c2-bc≥bc，当且仅当b=c时，等号成立，
1 1 √3
故△ABC的面积为S= bcsin A≤ ×4× =√3，当且仅当b=c时，等号成立.
2 2 2
2
3.(多选)(2024·枣庄模拟)若函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)+ ，则( )
x
A.f(x)的图象关于(0，0)对称
( √2)
B.f(x)在 0， 上单调递增
2
√2
C.f(x)的极小值点为
2
D.f(x)有两个零点
答案 AC2
解析 对于函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)+ ，
x
{1+x>0,
令 1-x>0,
x≠0,
解得-10，
2
(√2 )
即f(x)在 ，1 上单调递增，
2
( √2)
根据奇函数的对称性可知f(x)在 -1，- 上单调递增，
2
( √2 )
在 - ，0 上单调递减，
2
√2 √2
所以f(x)的极小值点为 ，极大值点为- ，故C正确；
2 2
(√2)
又f(x) =f =ln(3+2√2)+2√2>0，
极小值 2
且当x趋近于1时，f(x)趋近于无穷大，当x趋近于0时，f(x)趋近于无穷大，
所以f(x)在(0，1)上无零点，根据对称性可知f(x)在(-1，0)上无零点，
故f(x)无零点，故D错误.
a
8
4.(2024·昆明模拟)记数列{a }的前n项和为S ，若a =2，2a -3a =2n，则 = .
n n 1 n+1 n 2+S
8
1
答案
2a 3 a
解析 由2a -3a =2n，得
n+1
= ×
n
+1，
n+1 n 2n-1 4 2n-2
则 a n+1 -4= 3( a n -4 ) ，
2n-1 4 2n-2
a a
1 n
又 -4=0，则 =4，则a =2n，
2-1 2n-2 n
2(1-28
)
a =28，S = =29-2，
8 8 1-2
a 28 1
8
= = .
2+S 29 2
8
5.(2024·温州适应性考试)由四棱柱ABCD-A B C D 截去三棱锥D -A DC 后得到如图所示的几何体，四边形
1 1 1 1 1 1 1
ABCD是菱形，AC=4，BD=2，O为AC与BD的交点，B O⊥平面ABCD.
1
(1)求证：B O∥平面A DC ；
1 1 1
(2)若B O=2√3，求平面A DC 与平面BCC B 夹角的大小.
1 1 1 1 1
(1)证明 如图，取A C 中点O ，连接B O ，O D，OO ，
1 1 1 1 1 1 1
则由题意B B∥AA ∥OO 且B B=AA =OO ，故四边形B BOO 是平行四边形，
1 1 1 1 1 1 1 1
所以B O ∥BO且B O =BO，故B O ∥OD且B O =OD，
1 1 1 1 1 1 1 1
所以四边形B O DO是平行四边形，故B O∥O D，
1 1 1 1
又B O⊄平面A DC ，O D 平面A DC ，
1 1 1 1 1 1
所以B 1 O∥平面A 1 DC 1 . ⊂
(2)解 由题意可知AC，BD，OB 两两垂直，
1
故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则由题意A(0，-2，0)，D(1，0，0)，C(0，2，0)，B(-1，0，0)，B (0，0，2√3)，
1
又⃗A A =⃗CC =⃗BB =(1，0，2√3)，
1 1 1
所以 ⃗OC =⃗OC+⃗CC =⃗OC+⃗BB =(0，2，0)+(1，0，2√3)=(1，2，2√3)，
1 1 1
⃗OA =⃗OA+⃗A A =⃗OA+⃗BB =(0，-2，0)+(1，0，2√3)=(1，-2，2√3)，
1 1 1
即A (1，-2，2√3)，C (1，2，2√3)，O (1，0，2√3)，
1 1 1所以 ⃗B C =(1，2，0)， ⃗CC =(1，0，2√3)，⃗D A =(0，-2，2√3)， ⃗DO =(0，0，2√3)，
1 1 1 1 1
设平面BCC B 的法向量为m=(x ，y ，z )，
1 1 1 1 1
{m⊥⃗B C ,
1 1
则
m⊥⃗CC ,
1
{ x +2y =0,
1 1
所以
x +2√3z =0,
1 1
取x =2√3，则m=(2√3，-√3，-1)，
1
{n⊥⃗DO ,
1
设平面A DC 的法向量为n=(x ，y ，z )，则
1 1 2 2 2 n⊥⃗DA ,
1
{ 2√3z =0,
2
所以 取x =1，则n=(1，0，0)，
-2y +2√3z =0, 2
2 2
m·n 2√3 √3
所以cos〈m，n〉= = = ，
|m||n| 4×1 2
设平面A DC 与平面BCC B 的夹角为θ，
1 1 1 1
√3 π
则cos θ=|cos〈m，n〉|= ，所以平面A DC 与平面BCC B 夹角的大小为 .
2 1 1 1 1 6
