文档内容
考点 32 机械波
1. 3年真题考点分布
题型 选择题、填空题和解答题
机械波及其波动图像；波的多解问题；振动图像和波动图像的综合问题；波
高考考点
的干涉和波的衍射；多普勒效应
北京卷4题、海南卷4题、浙江卷11题、浙江卷14题、上海卷7题、湖北
2023 卷7题、辽宁卷8题、新课标卷1题、湖南卷3题、全国乙卷26题、全国甲
卷26题、浙江春招1题
重庆卷16题、北京卷6题、天津卷5题、福建卷8题、辽宁卷3题、河北卷
新高考 2022 16题、浙江卷16题、山东卷9题、湖南卷16题、广东卷16题、全国甲卷
26题、全国乙卷26题、上海卷7题
天津卷4题、湖北卷10题、湖南卷16题、全国乙卷26题、全国甲卷26
2021 题、海南卷16题、北京卷3题、山东卷10题、浙江卷9题、重庆卷17题、
辽宁卷7题、浙江春招13题
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】近3年新高考卷对于运动的描述考查共计37次，主要考查：
1.机械波及其波动图像；
2.波的多解问题；
3.振动图像和波动图像的综合问题；
4.波的干涉、衍射现象以及多普勒效应；
【备考策略】掌握机械波的传播特点，并能波动图像判断波的传播方向和振动情况；掌握振动图像和波动
图像结合的综合性问题，能从这两种图像中找出隐藏的物理量和关系；有波振动方向、传播
方向不确定性和波的周期问题，掌握波的多解问题；理解波的叠加原则，能正确判断并计算
波的振动减弱和加强区域；理解波发生明显衍射的条件，判断生活中的衍射问题；理解并运
用多普勒效应解释生活中的物理现象。
【命题预测】本考点在全国各省考卷中出现频率是最高的板块，各个省份是必考的内容之一。往往将振动
图像和波动图像结合在一起，传播方向和周期的不确定性，出现高频的多解问题。有时也会
与生活实际问题结合在一起，考察波的叠加、衍射和多普勒效应等问题。2024年考生在复习
本考点是，不仅要掌握较难的题型，简单点的题型也不能忽略，学会同时抓。
1考法 1 机械波及波动图像
一、机械波
1．波的形成和传播
（1）产生条件
①有波源；②有介质，如空气、水、绳子等。
（2）传播特点
①传播振动形式、能量和信息；②介质中质点不随波迁移；③介质中各质点振动频率、起振方向都与
波源相同。
2．机械波的分类
质点振动方向和波的传播方向的关
分类 形状 举例
系
横波 垂直 凹凸相间；有波峰、波谷 绳波等
纵波 在同一条直线上 疏密相间；有密部、疏部 弹簧波、声波等
二、机械波的图像
1．坐标轴：横坐标x表示在波的传播方向上各质点的平衡位置，纵坐标y表示某一时刻各质点偏离平衡位
置的位移。
2．意义：表示介质中的“各个质点”在“某一时刻”的位移。
3．图像(以简谐波为例)
24．应用
（1）可直接读取 振幅 A 、 波长 λ，以及该时刻各质点偏离平衡位置的位移。
（2）可确定该时刻各质点加速度的方向，并能比较该时刻不同质点速度或加速度的大小。
（3）可结合波的传播方向确定各质点的振动方向，或结合某个质点的振动方向确定波的传播方向。
三、波速、波长、频率(周期)及其关系
1．波长λ：在波的传播方向上，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离。
2．波速v：波在介质中的传播速度，由介质本身的性质决定，不同的介质，一般波速不同。
3．频率f：由波源决定，等于波源的“各个质点”；与周期的关系为f＝。
4．波长、波速、频率和周期的关系：v＝fλ＝。
四、机械波的传播特点
1. 波传到任意一点，该点的起振方向都和波源的起振方向相同；
2. 介质中每个质点做的都是受迫振动，所以任一质点的振动频率和周期都与波源相同.因此可以断定：波从
一种介质进入另一种介质，由于介质的情况不同，它的波长和波速可能改变，但频率和周期都不会改变.
3. 波源经过一个周期T完成一次全振动，波恰好向前传播一个波长的距离所以有v＝fλ＝.
4. 质点振动nT(波传播 n)时，波形不变；
5. 相隔波长整数倍的两质点，振动状态总相同；相隔半波长奇数倍的两质点，振动状态总相反。
角度 1 ：波的传播方向与质点的振动方向的关系
【典例1】（多选）（2023·天津·统考高考真题）一列机械波的波源是坐标轴原点，从 时波源开始振动，
时波形如图，则下列说法正确的有（ ）
A．在这种介质中波速 B． 处质点在 时位于波谷
C．波源振动方程 D． 处质点半个周期内向左位移半个波长
【答案】BC
3【详解】A．由图中可知 时，波传播的距离为x=2.5m，故波的速度为 ，故A错
误；
B．由图可知该波的波长为 ，所以波的周期为 ，波传播到 需要的时间
由图可知该波的起振方向向下， 该波振动了0.1s，即 ，所以位于波谷，故B正确；
C．根据图像可知该波的振动方程为 ，故C正确；
D．质点只是上下振动，不随波左右移动，故D错误。
故选BC。
角度 2 : 振动图像和波动图像的结合运用
【典例2】（多选）（2023·全国·统考高考真题）一列简谐横波沿x轴传播，图（a）是 时刻的波形图；
P是介质中位于 处的质点，其振动图像如图（b）所示。下列说法正确的是（ ）
A．波速为
B．波向左传播
C．波的振幅是
D． 处的质点在 时位于平衡位置
E．质点P在0~7s时间内运动的路程为
【答案】ABE
【详解】A．由图a可知波长为4m，由图b可知波的周期为2s，则波速为 ，故A正确；
B．由图b可知t=0时，P点向下运动，根据“上下坡”法可知波向左传播，故B正确；
C．由图a可知波的振幅为5cm，故C错误；
DE．根据图a可知t=0时x=3m处的质点位于波谷处，由于
可知在t=7s时质点位于波峰处；质点P运动的路程为 ，故D错误，E正确；
4故选ABE。
波的传播方向与质点的振动方向的判断
方法
沿波的传播方向，上坡时质点向下 振动，下
S
上下坡法 坡时质点向上振动
波形图上某点表示传播方向和振动 方向的箭
同侧法 头在图线同侧
将波形图沿传播方向进行微小平 移，再由
微平移法 某一位置的两波形曲线上 的点来判定
1．（2023·安徽·模拟预测）坐标原点O处有一波源， 时刻，波源开始振动。在 ， 的区域
波形如图所示，质点P位于 处。下列说法正确的是（ ）
A．波源的振动周期是
B．在 的时间内质点P通过的路程为
C．质点P在 时以最大速度平行于y轴向上运动
D．一观察者在 的位置沿x轴向波源运动，观测到该波的频率将大于
【答案】D
【详解】A．根据题意，结合图可得 ，解得 ，故A错误；
B．根据题意，由图可知，该波的波长为 ，则波速为
5时刻，波源开始振动，传播到 点的时间为
则在 的时间内质点P振动的时间为
则在 的时间内质点P通过的路程为 ，故B错误；
C．根据题意，由同侧法可知， 质点 以最大速度平行于y轴向上运动， 时，即经过了半个
周期，质点 以最大速度平行于y轴向下运动，故C错误；
D．由上述分析可知，波源的频率为
当观察者靠近波源时，由多普勒效应可知，观测到该波的频率将大于 ，故D正确。
故选D。
2．（多选）（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校考三模）图甲为一列简谐横波 时的波形图，图乙为质
点 的振动图像，则下列说法正确的是（ ）
A．该波沿x轴正方向传播
B． 时，质点 与 的连线距离最远
C．从 到 内，质点 运动的路程为
D．波在 后的传播过程中，质点 和 的加速度大小始终相等
【答案】BCD
【详解】A．由图乙可知， 时， 向y轴正方向振动，由图甲，根据同侧法可知，该波沿x轴负方向
传播，A错误；
B．由图乙可知
所以 时 在波谷， 在波峰，因此质点 与 的连线距离最远，B正确；
C． 因此从 到 内，振动了 ，路程为 ，C正确；
D． 和 相差半个波长，所以波在 后的传播过程中，振动方向相反，加速度大小始终相等，D正确。
故选BCD。
考法 2 波的多解问题
1. 周期性
（1）时间周期性：时间间隔△t 与周期T 的倍数关系不明.
6（2）空间周期性：传播距离△x 与波长λ的倍数关系不明.
波经△t由质点O传到相距△x的质点A，两质点振动情况始终相同，则△t= nT， △x=nλ 。
2. 双向性
（1）传播方向双向性：无法确定传播方向时，两个方向都要考虑
（2）振动方向双向性：无法确定位移方向或振动方向是要考虑正负两个方向
3. 波形的隐含性
只给出完整波形的一部分，或只给出几个质点的振动情况和质点之间的联系，
而其余信息处于隐含状态，这时波形可能有多种情况.
例：波上恰好处于平衡位置的两质点间只有一个波峰.
角度 1 ：传播方向的多解问题
【典例3】（2023·海南·统考高考真题）下面上下两图分别是一列机械波在传播方向上相距6m的两个质点
P、Q的振动图像，下列说法正确的是（ ）
A．该波的周期是5s B．该波的波速是3m/s
C．4s时P质点向上振动 D．4s时Q质点向上振动
【答案】C
【详解】A．由振动图像可看出该波的周期是4s，A错误；
B．由于Q、P两个质点振动反相，则可知两者间距离等于 ，n = 0，1，2，…
7根据 ，n = 0，1，2，…，B错误；
C．由P质点的振动图像可看出，在4s时P质点在平衡位置向上振动，C正确；
D．由Q质点的振动图像可看出，在4s时Q质点在平衡位置向下振动，D错误。
故选C。
角度 2 ：周期引起的多解问题
【典例4】（2023·河北唐山·开滦第一中学校考模拟预测）如图，平衡位置位于原点O的振源做简谐运动，
其运动的表达式为 。该振动激发一列沿x轴正方向传播的简谐波。某次振源的位置达
到正向最大位移处时，坐标为（9，0）的P点恰好开始振动且OP之间存在4个波谷，从该时刻开始计时，
下列说法正确的是（ ）
A．P点起振时沿y轴正方向运动
B．该列简谐波的波速60m/s
C．t=1.2s时，P点的加速度沿y轴负方向且最大
D．t=1.2s时，坐标为（21，0）的Q点（图中未画出）通过的路程为0.2m
【答案】D
【详解】A．根据表达式可知，简谐波的振幅为0.05m，频率为5Hz，周期为0.2s，各个质点的起振方向沿
着y轴负方向，A错误；
B．P点恰好开始振动时，振源在最大位移处，可知OP间的距离为
（n=0，1，2，……）
（n=0，1，2，……）
根据公式 ，P点开始振动时，OP之间存在4个波谷，则
公式中n=3，代入得波速为v=12m/s，B错误；
C．由于t=1.2s=6T，P点经过平衡位置向y轴负方向运动，加速度为0，C错误；
D．波经过1s传到Q点，t=1.2s时Q点振动了0.2s，经过的路程为Δs=4A=0.2m，D正确。
故选D。
81．（2023·天津·模拟预测）如图所示，实线是一列简谐横波在 时刻的波形图，虚线是 时刻的
波形图，已知质点M的平衡位置距O点距离为5m。下列说法正确的是（ ）
A．若波沿x轴负向传播时，其周期可能为
B．无论波向哪个方向传播，质点M在 时刻一定沿y轴正方向运动
C．若该波沿x轴正向传播，其波速可能为
D．若波沿x轴负向传播时，当周期 时，质点M在 到 时间内运动的路程为
【答案】A
【详解】A．波沿x轴负方向传播，则 、1、2、3……
从而得到周期 、1、2、3……
当 时， s，A正确；
B．波沿x轴负方向传播，根据上下坡法可知质点M在 时刻沿y轴负方向运动；波沿x轴正方向传播，根
据上下坡法可知质点M在 时刻沿y轴正方向运动，B错误；
C．由图可知：该波波长为4m，波沿x轴负方向传播，则 、1、2、3……
当 时
若该波沿x轴正向传播，则 、1、2、3…… ，其波速不可能为 ，C错误；
D．若波沿x轴负方向传播时，由 s
当 时， s
则质点M在 到 时间内，质点M运动的路程为 ，D错误。
故选A。
92．（多选）（2023·天津和平·耀华中学校考二模）如图所示，实线是沿x轴负方向传播的一列简谐横波在
时刻的波形图，虚线是这列波在 时刻的波形图，则下列说法正确的是（ ）
A．这列波的周期可能是
B．这列波的波长是
C． 处的质点在 内振动的路程可能是
D． 时， 处的质点速度沿y轴负方向
【答案】BC
【详解】A．简谐横波沿x轴负方向传播，由波形的平移法有 ，解得
，n是整数，则T不可能是0.3s，故A错误；
B．从图中可以看出波长 ，故B正确；
C．当n=0时，T=0.6s，则x=2m处的质点在 0.6s内即一个周期内振动的路程是s=4A=40cm，
故C正确；
D．由波形平移法知，t=0.2s时，x=4m处的质点速度沿y轴正方向，故D错误。
故选BC。
3．（2023·河北·模拟预测）一列沿x轴正方向传播的简谐横波，O点是波源，其振动图像如甲图，x轴上
A、B两点的坐标分别是x =0.5m、x =1.5m，如图乙，质点B比A晚起振 ，则下列说法正确的是
A B
（ ）
A．该波的波长为4m B．该波的波速为1.5m/s
C． ，A、B两质点的位移相同 D． ，A、B两质点的速度相同
【答案】BCD
10【详解】B．根据 ，波从A传至B点用时 ，则 ，B正确；
A．波长 ，A错误；
C．A、B间距 ，当A、B中点处于波峰或波谷时，A、B两质点的位移相同，波传播至A、B中点的
时间
再经 至波峰，之后每半周期中点经过波谷或波峰，故
当 时，
A、B两质点的位移相同，C正确；
D．当A、B中点处于平衡位置时，A、B两质点的速度相同
当 时，
A、B两质点的速度相同，D正确。
故选BCD。
考法 3 振动图像和波动图像的综合应用
1．振动图像与波的图像的比较
振动图像 波的图像
图像
物理意义 表示某质点各个时刻的位移 表示某时刻各质点的位移
(1)质点振动周期 (1)波长、振幅
(2)质点振幅 (2)任意一质点在该时刻的位移
图像信息
(3)各时刻质点位移 (3)任意一质点在该时刻的加速度方向
(4)各时刻速度、加速度方向 (4)传播方向、振动方向的互判
随时间推移，图像延续，但已有
图像变化 随时间推移，图像沿传播方向平移
形状不变
记录着一个人一段时间内活动的 记录着许多人某时刻动作、表情的集
形象比喻
录像带 体照片
“一分、一看、二找”巧解波的图像与振动图像综合类问题
11【典例5】（2023·湖北·统考高考真题）一列简谐横波沿x轴正向传播，波长为 ，振幅为 。介质
中有a和b两个质点，其平衡位置分别位于 和 处。某时刻b质点的位移为 ，
且向y轴正方向运动。从该时刻开始计时，a质点的振动图像为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】ab之间的距离为
此时b点的位移4cm且向y轴正方向运动，令此时b点的相位为 ，则有
解得 或 （舍去，向下振动）
由ab之间的距离关系可知
则 ，可知a点此时的位移为
且向下振动，即此时的波形图为
故选A。
【典例6】（2023·湖南·统考高考真题）如图（a），在均匀介质中有 和 四点，其中 三
12点位于同一直线上， 垂直 ． 时，位于 处的三个完全相同的横
波波源同时开始振动，振动图像均如图（b）所示，振动方向与平面 垂直，已知波长为 ．下列说法
正确的是（ ）
A．这三列波的波速均为
B． 时， 处的质点开始振动
C． 时， 处的质点向 轴负方向运动
D． 时， 处的质点与平衡位置的距离是
【答案】C
【详解】A．由图（b）的振动图像可知，振动的周期为4s，故三列波的波速为 ，A错误；
B．由图（a）可知，D处距离波源最近的距离为3m，故开始振动后波源C处的横波传播到D处所需的时
间为 ，故 时，D处的质点还未开始振动，B错误；
C．由几何关系可知 ，波源A、B产生的横波传播到D处所需的时间为
故 时，仅波源C处的横波传播到D处，此时D处的质点振动时间为
由振动图像可知此时D处的质点向y轴负方向运动，C正确；
D． 时，波源C处的横波传播到D处后振动时间为
由振动图像可知此时D处为波源C处传播横波的波谷； 时，波源A、B处的横波传播到D处后振动时
间为
由振动图像可知此时D处为波源A、B处传播横波的波峰。根据波的叠加原理可知此时D处质点的位移为
，故 时，D处的质点与平衡位置的距离是2cm。D错误。
故选C。
1．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）如图甲所示，S是上下振动的波源，它所产生的横波分别沿
直线向左、右两边传播，形成两列简谐横波，在波源左、右两侧有Q、P两点，与波源S在同一水平直线
13上，它们的振动图像分别是图乙和图丙，且 ， ，则这两列波的波速可能的最大值是（
）
A．170m/s B．120m/s C．50m/s D．10m/s
【答案】D
【详解】由于波向左右两边传播具有对称性，可以在S点右侧找对称点Q'来处理。 和P之间有
可得 ，又 ，因此可得
当 时， 。
故选D。
2．（2023·贵州黔东南·校考模拟预测）一根绳子的一端固定在光滑水平面上，从某时刻开始使绳子另一端
做简谐运动，其振动图像如图甲。以绳子某一端为原点建立x轴，7s后水平面内形成的绳波波形如图乙。
据此可知，该绳波的传播方向为___________（填“x轴正方向”或“x轴负方向”），波速大小为
___________，再经过10s后绳上质点P的运动方向为___________（填“y轴正方向”或“y轴负方向”）。
【答案】 x轴负方向 0.5m/s y轴负方向
【详解】[1]由振源的振动图像可知，7s时振源在平衡位置向上振动，结合波形图可知，该绳波的传播方向
为x轴负方向；
[2]波速大小为
[3]该时刻质点P在平衡位置向上振动，再经过10s=2.5T后绳上质点P回到平衡位置向下振动，即质点P的
运动方向为y轴负方向。
3．（2023·陕西·校联考模拟预测）青蛙在平静的水面上鸣叫时引起水面振动，形成如图甲所示的水波（把
水波当成横波处理）。假设原点O处为青蛙所在位置，O处的波源垂直xoy平面振动后，产生的简谐横波
在xoy平面内传播。实线圆、虚线圆分别表示 时刻相邻的波峰和波谷，此时波恰好传到图甲中的实线
圆处，图乙为图甲中质点B的振动图像，z轴垂直于xoy水平面，z轴的正方向为竖直向上，求：
14（1）波在水中的传播速度；
（2）C点第2次到达波峰的时刻。
【答案】（1）0.5m/s；（2）
【详解】（1）实线圆、虚线圆分别表示 时刻相邻的波峰和波谷，有图甲可知
由图乙可知周期， ，则波在水中的传播速度为
（2）根据题意可知O处此时处于波峰位置，且
实线圆传递到C点的时间为
所以C点第2次到达波峰的时刻为
考法 4 波的干涉和衍射 多普勒效应
1．波的干涉中振动加强点和减弱点的判断
某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差Δr，稳定干涉中，振动加强区域
或震动减弱区域的空间位置是不变的；
（1）当两波源振动步调一致时，若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，则振动加强；若Δr＝(2n＋1)(n＝0,1,2，…)，则
振动减弱．加强区域中心质点的振幅等于两列波的振幅之和，即：振动变剧烈了；
15（2）当两波源振动步调相反时，若 Δr＝(2n＋1)(n＝0,1,2,3，…)，则振动加强；若 Δr＝nλ(n＝
0,1,2，…)，则振动减弱．减弱区域中心质点的振幅等于两列波振幅之差，即：振动减弱了。
2．多普勒效应的成因分析
(1)接收频率：观察者接收到的频率等于观察者在单位时间内接收到的完全波的个数．
(2)波源与观察者如果相互靠近，观察者接收到的频率增大．
(3)波源与观察者如果相互远离，观察者接收到的频率减小．
(4)波源和观察者如果相对静止，观察者接收到的频率等于波源的频率．
角度 1 ：波的叠加
【典例7】（2023·浙江·统考高考真题）如图所示，置于管口T前的声源发出一列单一频率声波，分成两列
强度不同的声波分别沿A、B两管传播到出口O。先调节A、B两管等长，O处探测到声波强度为400个单
位，然后将A管拉长 ，在O处第一次探测到声波强度最小，其强度为100个单位。已知声波强度
与声波振幅平方成正比，不计声波在管道中传播的能量损失，则（ ）
A．声波的波长 B．声波的波长
C．两声波的振幅之比为 D．两声波的振幅之比为
【答案】C
16【详解】CD．分析可知A、B两管等长时，声波的振动加强，将A管拉长 后，两声波在 点减弱，
根据题意设声波加强时振幅为20，声波减弱时振幅为10，则 ，
可得两声波的振幅之比 ，故C正确，D错误；
AB．根据振动减弱的条件可得 ，解得 ，故AB错误。
故选C。
角度 2 ：波的衍射
【典例8】（2023·湖北·模拟预测）如图，P为桥墩，A为靠近桥墩浮在水面的叶片，波源S连续振动，形
成水波，此时叶片A静止不动。为使水波能带动叶片振动，可用的方法是（ ）
A．增大波源振幅 B．降低波源频率
C．减小波源距桥墩的距离 D．增大波源频率
【答案】B
【详解】叶片A静止不动，是由于桥墩尺寸太大，没有发生明显衍射现象，为了水波能带动叶片振动，必
须增大波长，根据
波速由介质决定，介质一定，波速一定，当降低波源频率，波长增大，更容易产生衍射现象。
故选B。
角度 3 ：多普勒效应
【典例9】（2023·山东青岛·统考二模）我国研制的“复兴号动车组”首次实现了时速350km/h的自动驾
驶，此时多普勒效应会影响无线通信系统稳定，这要求通信基站能分析误差并及时校正。如图一辆行驶的
动车组发出一频率为 、持续时间为 的通讯信号，与动车组行驶方向在同一直线上的通信基站A、B接
收到信号的频率和持续时间分别为 、 和 、 ，下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】根据多普勒效应，远离波源的接收者接到的频率变小，接近波源的接收者接收到的频率变大，则
17， ，故 ， ，所以 ，
故选A。
1．（多选）（2023·辽宁·统考高考真题）“球鼻艏”是位于远洋轮船船头水面下方的装置，当轮船以设计
的标准速度航行时，球鼻艏推起的波与船首推起的波如图所示，两列波的叠加可以大幅度减小水对轮船的
阻力。下列现象的物理原理与之相同的是（ ）
A．插入水中的筷子、看起来折断了 B．阳光下的肥皂膜，呈现彩色条纹
C．驶近站台的火车，汽笛音调变高 D．振动音叉的周围，声音忽高忽低
【答案】BD
【详解】该现象属于波的叠加原理；插入水中的筷子看起来折断了是光的折射造成的，与该问题的物理原
理不相符；阳光下的肥皂膜呈现彩色条纹，是由于光从薄膜上下表面的反射光叠加造成的干涉现象，与该
问题的物理原理相符；驶近站台的火车汽笛音调变高是多普勒现象造成的，与该问题的物理原理不相符；
振动音叉的周围声音忽高忽低，是声音的叠加造成的干涉现象，与该问题的物理原理相符。
故选BD。
2．（2023·浙江·统考高考真题）下列说法正确的是（ ）
A．热量能自发地从低温物体传到高温物体
B．液体的表面张力方向总是跟液面相切
C．在不同的惯性参考系中，物理规律的形式是不同的
D．当波源与观察者相互接近时，观察者观测到波的频率大于波源振动的频率
【答案】BD
【详解】A．根据热力学第二定律可知热量能不可能自发地从低温物体传到高温物体，故A错误；
B．液体的表面张力方向总是跟液面相切，故B正确；
C．由狭义相对论的两个基本假设可知，在不同的惯性参考系中，一切物理规律都是相同的，故C错误；
D．根据多普勒效应可知当波源与观察者相互接近时，观察者观测到波的频率大于波源振动的频率，故D
正确。
故选BD。
3．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）如图甲所示，A、B、C是介质中的三个点，A、C间
距为 ，B、C间距为1m，两个波源分别位于A、B两点，且同时从 时刻开始振动，振动图像如
18图乙所示。已知A点波源振动形成的波长为2m。则（ ）
A．A点波源振动形成的波在此介质中波速为 B．B点波源振动形成的波长为1.5m
C．A、B中点是振动加强点 D． 时C点位移为-7cm
【答案】AD
【详解】A．根据乙图可知，A点波源振动的周期为0.4s，故形成的波在此介质中波速为 ，
选项A正确；
B．同种介质中，两列波的传播速度相等，故B的波速也为5m/s，根据乙图可知，B点波源振动的周期为
0.6s，B点波源振动形成的波长为 ，选项B错误；
C．由于两列波的周期不同，在同一位置不同时刻振动的叠加效果不同，A、B中点不是振动加强点，故选
项C错误；
D．根据乙图可知，A点波源的振动波在C的振动位移关系为
B的振动位移图像为
将t=2.15s代入得 ，选项D正确。
故选AD。
【基础过关】
1．（2023·江西上饶·校联考二模）下列有关机械振动和机械波的说法正确的是（ ）
A．在频率相同的两列波的叠加区域，若质点到两列波源的距离相等，该质点的振动一定加强
B．单摆具有等时性，是因为其振动周期与摆球的质量和振幅均无关
C．火车鸣笛向我们驶来时，我们听到的笛声频率比声源发声的频率高
D．弹簧振子做简谐运动时，若某两个时刻位移相同，则这两个时刻的速度也一定相同
E．机械波中各个质点通过受迫振动的形式传递能量和信息
【答案】BCE
【详解】A．在两列波的叠加区域，某质点到两列波源的距离相等，若两个波源初相位相同，该质点的振
动一定加强，而若两个波源初相位相反，则该点振动减弱，故A错误；
19B．单摆具有等时性，是因为其振动周期取决于摆长与所在处的重力加速度，与摆球的质量和振幅均无关，
故B正确；
C．火车鸣笛向我们驶来时，根据多普勒效应，我们听到的笛声频率将比声源发声的频率高，故C正确；
D．弹簧振子做简谐运动时，若某两个时刻位移相同，则这两个时刻的速度大小相等，方向可能相同也可
能相反，故D错误；
E．机械波中各个质点由相邻近的先振动的质点通过相互作用带动起来依次振动的，通过受迫振动的形式
传递能量和信息，故E正确。
故选BCE。
2．（2023·甘肃·统考二模）在下列现象中，可以用多普勒效应解释的有（ ）
A．天文学上观察到双星（相距较近、均绕它们连线上某点做圆周运动的两颗恒星）光谱随时间的周期
性变化
B．当水波通过障碍物时，若障碍物的尺寸与波长差不多，或比波长小时，将发生明显的衍射现象
C．观察者听到远去的列车发出的汽笛声，音调会变低
D．同一声源发出的声波，在空气和水中传播的速度不同
E．超声波被血管中的血流反射后，探测器接收到的超声波频率发生变化
【答案】ACE
【详解】A．天文学上观察到双星（相距较近、均绕它们连线上某点做圆周运动的两颗恒星）光谱随时间
的周期性变化，双星位置发生了变化，可以用多普勒效应解释，故A正确；
B．当水波通过障碍物时，若障碍物的尺寸与波长差不多，或比波长小得多时，将发生明显的衍射现象，
不能用多普勒效应解释，故B错误；
C．观察者听到远去的列车发出的汽笛声，根据多普勒效应可知音调会变低，故C正确；
D．同一声源发出的声波，在空气和水中传播的速度不同，不能用多普勒效应解释，故D错误；
E．超声波被血管中的血流反射后，探测器接收到的超声波频率发生变化，可以用多普勒效应解释，故E正
确。
故选ACE。
3．（2023·宁夏银川·银川二中校考一模）周期为8.0s的简谐横波沿x轴传播，该波在t＝0时的图像如图所
示，此时质点P沿y轴负方向运动。下列说法正确的是（ ）
A．该波沿x轴负方向传播
B．该波的传播速度为2.5m/s
C．x＝5m处质点的振动经过6s传到P，所以t＝6s时P处于波谷
D．当遇到直径为20m的圆形障碍物时，该波能发生明显的衍射现象
20E．当波源向着观测者运动时，观测者接收到该波的频率大于波源的实际频率
【答案】BDE
【详解】A．质点P沿y轴负方向运动，根据波形平移法可知，该波沿x轴正方向传播，故A错误；
B．由题意可知周期为 ，由图像可知波长 ，则该波的传播速度为 ，故B
正确。
C． 时刻， 处质点位于波峰位置， 处质点的振动传到P所用时间为
所以 时P处于波峰，故C错误；
D．当孔或障碍物的尺寸与波长相差不多或者小于波长时波能发生明显的衍射现象，故D正确；
E．根据多普勒效应，当波源向着观测者运动时，观测者接收到的该波的频率大于波源的实际频率，故E正
确。
故选BDE。
4．（2023·贵州·校联考模拟预测）一列简谐横波沿 轴正方向传播，图甲为该波传播到质点 （平衡位置
在 处的质点）处时的波形图，图乙为质点 （平衡位置在 处的质点）从此时刻开始计时的振
动图像， 是平衡位置在 处的质点，则下列说法正确的是（ ）
A．如果该波在传播过程中遇到尺寸为 的障碍物，该波可发生明显的衍射现象
B．这列波沿x轴正方向的传播速度是
C．质点 开始振动时的方向沿y轴正方向
D．由图甲对应时刻开始计时，经过 质点 ，第一次到达波谷
E．由图甲对应时刻开始计时，质点 的振动方程为
【答案】ADE
【详解】A．根据题意，由图甲可知，该波的波长为 ，则在传播过程中遇到尺寸为 的障碍物，该波
可发生明显的衍射现象，故A正确；
B．根据题意，由图乙可知，周期为 ，由公式 可得，传播速度为 ，故B错误；
C．根据题意，由同侧法可知，质点 开始振动的方向为沿y轴负方向，则质点 开始振动时的方向也沿y
轴负方向，故C错误；
21D．根据题意可知，波传播到质点 所在位置，需要的时间为 ，则经过 质点 振动的时间
为
由于质点的起振方向为y轴负方向，则第一次到达波谷，故D正确；
E．由图甲可知，振幅为 ，由平衡位置开始向下振动，又有
则质点 的振动方程为 ，故E正确。
故选ADE。
5．（2023·辽宁·模拟预测）如图所示，实线是一列沿x轴正方向传播的简谐横波在t=0时刻的波形图，虚
线是这列波在t=0.2s时刻的波形图，则下列说法正确的是（ ）
A．这列波的波长为12cm
B．在t=0.2s时，x=6cm处的质点速度沿y轴正方向
C．这列波的波速可能为0.4m/s
D．这列波遇到5m宽的物体，能发生明显的衍射现象
【答案】AC
【详解】A.根据图中虚线可以看出波长为12cm，A正确
B.因为波沿x轴正方向传播，根据平移法，可以得到在t=0.2s时，x=6cm处的质点速度沿y轴负方向，B错
误
C.根据图像可知，波传播的距离 ，波的速度 ，C
正确
D.因为波长远小于5m，所以不会发生明显的衍射现象，D错误
6．（2023·全国·模拟预测）一列简谐波沿x轴正方向传播，t＝0时的波形如图所示，质点B恰好在波谷，
且经过0.1s第一次回到平衡位置，质点A在B的左侧．则（ ）
A．质点A正在向下运动
B．质点B正在向上运动
22C．t＝0.5s时，质点A在向上运动
D．t＝0.5s时，质点B在向下运动
【答案】C
【详解】简谐波沿x轴正方向传播，根据峰前质点上振，可知质点A正在向上运动，故A错误；质点B恰
好在波谷，瞬时速度为零，故B错误；t=0时，质点B恰好在波谷，且经过0.1s第一次回到平衡位置，可
知波的周期为T=0.4s，根据周期性可知 时，质点A在向上运动，故C正确；根据周期性可知
时，质点B刚好在平衡位置向上振动，故D错误．所以C正确，ABD错误．
7．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考三模）一列沿x轴负方向传播的简谐横波在t=0时刻的波形图如
图所示，波速大小为1.5m/s，P、 两质点平衡位置的坐标分别为1m、4m。经过多长时间，P、 两质点
的速度相同（ ）
A． B． C． D．5s
【答案】C
【详解】该波的周期为
P质点平衡位置的坐标为1m，则从x=8m处传到该位置相位差为
根据图像可知P质点的振动方程为
质点Q的振动方程为
当yP=-yQ，时，二者的速度相同，则有 ，解得
故选C。
8．（2023·湖北·校联考模拟预测）如图所示，一列简谐横波向右传播，a、b两质点的平衡位置相距为l，
在某时刻a、b均振动到平衡位置，且a、b之间仅有一个波谷。这列波的波长不可能是（ ）
23A． B． C．l D．
【答案】B
【详解】因a、b之间仅有一个波谷，则该时刻的波形可能有以下四种情况： ； ； ；
。
故不可能的是B项；
故选B。
9．（2023·重庆·统考二模）如图所示，某均匀介质中一列沿 轴正方向传播的简谐横波（图中末画出），
波速为 ，两质点 、 位于 轴上。以该波传到质点 为计时起点，质点 的振动方程为
，经过时间 该波传到质点 时，质点 位于 轴上方距其平衡位置 处且向上振动。
由此可知（ ）
A．该波的波长为 B．质点 开始振动的方向是向上
C．质点P、Q平衡位置的间距可能为 D．
【答案】C
【详解】A．由题知，该波的周期
波长 ，故A错误；，
B．由振动方程 ，可知，质点 的起振方向向下，故B错误；
C．由分析知，质点P、Q平衡位置的间距 ，其中
当 时， ，故C正确；
D．由题知 ，其中 ，可知D错误。
故选C。
10．（2023·全国·校联考模拟预测）一列简谐横波沿 轴传播，图甲是 时的波形图，图乙是平衡位置
在 处的质点 的振动图像，则这列简谐波的波速为__________ ， 时平衡位置在
处的质点 偏离平衡位置的位移为__________ 。
24【答案】 2
【详解】[1]由图可知，这列简谐波的周期为 ，波长为 ，则波速为
[2] 时，质点 在平衡位置且沿 轴正方向振动，则简谐波沿 轴负方向传播；此时质点 在平衡位置
向下运动，再经过 后质点 在波谷，则偏离平衡位置的位移为 。
【能力提升】
1．（2023·广东湛江·统考二模）如图所示，小鸭A（视为质点）在平静的河道内靠近岸边戏水，在水面上
引起一列稳定的水波，B为岸边的一点，已知P点为小鸭A和B点连线的中点，则下列说法正确的是（
）
A．P处质点比B处质点的振动频率大
B．P处质点将随水波运动到B点
C．P点与B点的振动方向一定相反
D．小鸭A与质点P（已经振动）的振动周期相等
【答案】D
【详解】AD．介质中的质点都在模仿波源，所以质点的振动周期和频率都相同，所以P处质点与B处质点
的振动频率一样，小鸭A与质点P（已经振动）的振动周期相等，A错误，D正确；
B．根据波的形成与传播，可知介质中的质点只在各自的平衡位置附近振动，不会随波逐流，B错误；
C．由于不确定P点与B点的距离与波长的关系，所以不能确定这两点的振动方向是相同还是相反，C错误。
故选D。
2．（2023·湖北·模拟预测）如图所示，在原点O处有一个波源，从 时刻位于波源处的质点从平衡位置
25开始沿y轴正方向做简谐运动，振幅为4cm，产生的简谐横波在均匀介质中沿x轴正向传播。 时，
平衡位置坐标为 的质点P开始运动，此时波源质点的振动位移为2cm，对该简谐波，下列说法错
误的是（ ）
A．该列简谐横波在介质中传播的最大波长为36m
B．该列简谐横波的传播速度为
C．周期可能为6s
D．周期为可能
【答案】A
【详解】CD．由题意可知，
当 时，周期即为6s，或
当 时，周期即为 ，故CD正确，不符题意；
B．由题意可知，该列简谐横波的传播速度为 ，故B正确，不符题意；
A．该列简谐横波在介质中传播的最大波长为 ，故A错误，符合题意。
本题选错误的故选A。
3．（2023·湖北·模拟预测）如图甲所示，在 平面内有两个波源 （ ， ）和 （4m， ），两波
源做垂直于 平面的简谐运动，其振动图像分别如图乙和图丙所示，两波源形成的机械波在 平面内
向各个方向传播，波速均为 。 平面上有A、B两点，其位置坐标分别为A（ ， ）， （
， ），则（ ）
26A．两波源形成的波不同，不能产生干涉现象
B．图中点A（ ， ）的振幅为
C．AB连线上有一个振动加强点
D．两波源的连线上有11个振动加强点，它们的位移大小始终是6m
【答案】C
【详解】A．由图乙、图丙可知两列波的周期都为 ，则两列波的频率都为
可知两列波的频率相同，相位差恒定，可形成稳定的干涉现象，故A错误；
B．两列波的波长均为
A点到两波源的波程差为
由于两波源的起振方向相反，可知A点为振动减弱点，故A点的振幅为 ，故B错误；
C． 点到两波源的波程差为
由于两波源的起振方向相反，可知A、 两点均为振动减弱点，而两波源到A点波程差为 ，两波源到
点波程差为 ，因此A、 连线上有一个波程差为 的点，该点为振动加强点，故C正确；
D．两波源的连线上（不含波源）点与两波源的波程差满足
由于两波源的起振方向相反，可知当波程差满足 时，该点为振动加强点，则有
，
可知两波源的连线上有12个振动加强点，它们的振幅为 ，位移在 到 之间变化，故D错误。
故选C。
4．（多选）（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）关于下列五幅图像所对应的物理规律，下列说法正
确的是（ ）
27A．图1：弹簧振子的加速度大小与位移大小成正比
B．图2：若把单摆从北京移到赤道上，则单摆的振动频率会增加
C．图3：任意时刻M、N、P三点的位移都相同
D．图4：如图甲为汽车消音器，图乙为其结构简化图，声音从入口进入，经a、b传播后从出口排出，
消音原理主要是干涉
E．图5：观察者不动，波源S向右运动，相等的时间内，左边观察者接收到波的个数比右边的少
【答案】ADE
【详解】A．弹簧振子的加速度与回复力成正比，回复力大小与位移大小成正比，所以加速度大小与位移
成正比，故A正确；
B．根据单摆的振动频率 ，可知若把单摆从北京移到赤道上，重力加速度减小，因此单摆的振
动频率减小，故B错误；
C．对题图3，M、N两点的平衡位置的距离小于一个波长，位移有时相同，有时不相同，而M、P两点的
平衡位置的距离等于一个波长，位移总是相同，故C错误：
D．该消声器的消声原理为波的干涉；利用声波沿两个通道传播的路程差为半个波长的奇数倍，就能产生
稳定的消声效果，故D正确；
E．对题图5，观察者不动，波源向右运动，相等的时间内，左边观察者接收到波的个数比右边的少，这就
是多普勒效应，故E正确。
故选ADE。
5．（多选）（2023·云南曲靖·校考模拟预测）如图所示， 是上、下振动的振源，频率为 ，所激发
的波向左、右方向传播，波速为 ，其振动先后传到 、 两点。已知 ， 。当
通过平衡位置向上振动时， 、 两个质点（ ）
28A． 在波谷 B． 在波峰 C． 的速度方向向下 D． 的速度方向向上
【答案】AD
【详解】由公式，可知波长为
因为 ，
当 通过平衡位置向上振动时，根据周期性特点，可知 质点比振源迟 ，此时处于波谷； 质点振动
与振源同步，此时处于平衡位置且速度方向向上。
故选AD。
6．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）在x轴上有两个波源P、Q从 时刻起开始振动，
平衡位置位于 处的质点P的振动图像如左图，平衡位置位于 处的质点Q的振动图像如右图，
波在x轴上传播，介质中的波速为0.5m/s，则下列说法中正确的是（ ）
A．t=5s时，位于 处的质点速度方向向上
B． 处的质点在15s内走过的路程为
C． 处的质点位移始终为零
D．在 的区域内，加强点比减弱点的个数多
【答案】AD
【详解】A．P波源的振动形式经过4s传到
的位置，Q波源的振动形式经过16s传到 的位置，故
只有P波源产生的波在振动，且振动时间为 ，根据图象可知，此时质点速度方向向上，故A正
确；
B．P波源的振动形式经过7s传到， 的位置，Q波源的振动形式经过13s传到 的位置，在0
～7s中， 处的质点不振动；7~13s内质点走过的路程为8cm；13~15s两列波叠加加强，振幅为
8cm，走过的路程为4 cm，故总路程为 cm，故B错误；
C．P波源的振动形式经过16s传到
的位置，Q波源的振动形式经过4s传到 的位置，故在4~16s内
处的质点做简谐运动，位移并非始终为零，故C错误；
29D．波长为6m，结合两波源振动方向相反可判断 ，9.5m处为加强点，x=2，5，8m处为减弱
点，故加强点比减弱点个数多，故D正确。
故选AD。
7．（2023·山东青岛·统考一模）一列简谐横波沿x轴正方向传播，图甲是 时刻的波形图，图乙和丙分
别是x轴上某两处质点的振动图像。这两质点平衡位置之间的距离可能是（ ）
A．0.5m B．1.8m C．1.9m D．2.0m
【答案】AC
【详解】由图甲可知，波的波长为
解得 ，振幅为
设图乙的质点为A，根据题图可知，其在 时在平衡位置上方， ，运动方向沿y轴正方向；设
图丙的质点为B，其处于平衡位置，向下振动，结合波形图找到两质点的对应点，如图所示
四分之一波长为0.3m，若A在B的左边，两平衡位置的距离为
若A在B的右边，两平衡位置的距离为
若考虑周期性得 ，或
故选AC。
8．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）两列简谐横波的振幅都是10cm，传播速度大小相同。
实线波的频率为2Hz，沿x轴正方向传播，虚线波沿x轴负方向传播。某时刻两列波在如图所示区域相遇，
则（ ）
30A．实线波和虚线波的频率之比为2：3
B．平衡位置为x=6m处的质点此刻速度方向为沿y轴正方向
C．平衡位置为x=8.5m处的质点此刻位移y=10cm
D．从图示时刻起再经过0.25s，平衡位置为x=5m处的质点的位移y<0
【答案】BD
【详解】A．根据 ，可知实线波和虚线波的频率之比为3：2，故A错误；
B．根据上下坡法可知，实线波平衡位置为x=6m处的质点沿y轴正方向运动，虚线波平衡位置为x=6m处
的质点沿y轴正方向运动，可知平衡位置为x=6m处的质点此刻速度方向为沿y轴正方向，故B正确；
C．实线波平衡位置为x=8.5m处的质点的位移为 ，虚线波平衡位置为x=8.5m处的质点的位移为
，根据位移的叠加可知平衡位置为x=8.5m处的质点此刻位移大于10cm，故C错误；
D．实线波的频率为2Hz，周期为 ，虚线波的周期为 ，从图示时刻起再经过0.25s，实线波平衡位
置为x=5m处的质点位于波谷，虚线波平衡位置为x=5m处的质点位于y轴上方，不在波峰，根据位移的叠
加可知平衡位置为x=5m处的质点的位移y<0，故D正确。
故选BD。
9．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）某简谐横波在均匀介质中沿x轴正方向传播，波速v=20cm/s，波长大于
20cm，振幅A=1cm，且传播时无衰减。在介质中的A、B两质点平衡位置坐标分别为xA=0和xB=8cm，t=0
时刻A、B两质点偏离平衡位置的位移相同且均为正值，此后至少每隔Δt=0.6s两质点偏离各自平衡位置的
位移相同。求：
（1）t=0时刻质点B偏离平衡位置的位移的大小；
（2）质点B最少要经过多长时间到达波峰。
【答案】（1）0.5cm；（2）0.2s
【详解】（1）由题意可知，该简谐横波的周期为
则该简谐波的波长
根据题意知
则A、B两点的位置如图所示
31此时，质点B偏离平衡位置的位移为
（2）t=0时刻，质点B向y轴正方向运动，由质点B的位移随时间变化的关系式
可得质点B到波峰位置所需的时间为
10．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）如图1所示，水槽中放有一个挡板，挡板上开有小
孔A、B，A、B两点距波源S的距离分别为0.35m、0.45m。0时刻波源S开始振动，振动图像如图2所示。
我们可以把水波简化看作简谐横波，已知水波的波长 。
（1）当B处质点第一次达到波峰位置时，求小孔A处的质点通过的路程；
（2）在挡板前的水面有一点C，A、B、C间距离均为 线段，AC上距C最近的振幅最大点为M点，
，求L的大小。
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）通过图像可知，水波的振动周期为
可知水波的波速为
则水波从波源传播到B点所需时间为
之后B点第一次达到波峰位置还要用时
得到总时间
32水波从波源传播到A点所需时间为
则6s末A点已经振动了
小孔A处的质点通过的路程
（2）由题可知
M为距离C最近的振幅极大点，得 ，又
， ，代入解得
【真题感知】
1．（2023·北京·统考高考真题）位于坐标原点处的波源发出一列沿x轴正方向传播的简谐横波。t = 0时
波源开始振动，其位移y随时间t变化的关系式为 ，则t = T时的波形图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由于t = 0时波源从平衡位置开始振动，由振动方程可知，波源起振方向沿y轴正方向，且t =
T时波的图像应和t = 0时的相同，根据“上坡下，下坡上”可知t = T时的波形图为选项D图。
故选D。
2．（2023·山西·统考高考真题）船上的人和水下的潜水员都能听见轮船的鸣笛声。声波在空气中和在水中
传播时的（ ）
A．波速和波长均不同 B．频率和波速均不同
C．波长和周期均不同 D．周期和频率均不同
【答案】A
【详解】声波的周期和频率由振源决定，故声波在空气中和在水中传播的周期和频率均相同，但声波在空
气和水中传播的波速不同，根据波速与波长关系 可知，波长也不同。故A正确，BCD错误。
故选A。
3．（2022·河北·统考高考真题）一列简谐横波沿x轴正方向传播。波速为10m/s。在传播方向上有P、Q
两质点，坐标分别为x = 1m，x = 6m。波传播到P点开始计时，该点的振动图像如图所示，则简谐波
P Q
的波长为______m，经过______s，Q点第一次到达正向最大位移处。
33【答案】 2 0.55
【详解】[1]由P点的振动图像可得出该波的周期T = 0.2s
由于该波的波速为10m/s，则该波的波长λ = vT = 2m
[2]由题知P、Q两质点相距x = 5m
PQ
则波从P点传播到Q点需经过
由P点的振动图像可得出该波的起振方向向上，则Q点从起振到第一次到达正向最大位移处还需经过 ，
则经过t = 0.55s，Q点第一次到达正向最大位移处。
4．（2022·全国·统考高考真题）介质中平衡位置在同一水平面上的两个点波源 和 ，二者做简谐运动的
振幅相等，周期均为 。当 过平衡位置向上运动时， 也过平衡位置向上运动。若波速为 ，则由
和 发出的简谐横波的波长均为______m。P为波源平衡位置所在水平面上的一点，与 、 平衡位置
的距离均为 ，则两波在P点引起的振动总是相互______（填“加强”或“削弱”）的；当 恰好在平
衡位置向上运动时，平衡位置在P处的质点______（填“向上”或“向下”）运动。
【答案】 4 加强 向下
【详解】[1]因周期T=0.8s，波速为v=5m/s，则波长为
[2]因两波源到P点的距离之差为零，且两振源振动方向相同，则P点的振动是加强的；
[3]因SP=10m=2.5λ，则当S 恰好的平衡位置向上运动时，平衡位置在P点的质点向下振动。
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5．（2023·全国·统考高考真题）分别沿x轴正向和负向传播的两列简谐横波P、Q的振动方向相同,振幅均
为5cm，波长均为8m，波速均为4m/s。 时刻，P波刚好传播到坐标原点,该处的质点将自平衡位置向
下振动；Q波刚好传到 处，该处的质点将自平衡位置向上振动。经过一段时间后，两列波相遇。
（1）在答题卡给出的坐标图上分别画出P、Q两列波在 时刻的波形图（P波用虚线，Q波用实线）；
（2）求出图示范围内的介质中，因两列波干涉而振动振幅最大和振幅最小的平衡位置。
34【答案】（1） ；（2）见解析
【详解】（1）根据 得，
可知 时P波刚好传播到 处，Q波刚好传播到 处，根据上坡下坡法可得波形图如图所示
（2）两列波在图示范围内任一位置的波程差为
根据题意可知，P、Q两波振动频率相同，振动方向相反，两波叠加时，振动加强点的条件为到两波源的
距离差
解得振幅最大的平衡位置有 、
振动减弱的条件为
解得振幅最小的平衡位置有 、 、
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