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回顾 2 复数、平面向量
1.复数的相关概念及运算法则
(1)复数z=a+bi(a，b∈R)的分类
①z是实数⇔ b =0 ；
②z是虚数⇔ b ≠0 ；
③z是纯虚数⇔ a =0 且 b ≠0 .
(2)共轭复数
复数z=a+bi(a，b∈R)的共轭复数z= a - b i .
(3)复数的模
复数z=a+bi(a，b∈R)的模|z|=√a2+b2.
(4)复数相等的充要条件
a+bi=c+di a = c 且 b = d (a，b，c，d∈R).
特别地，a+bi=0 a =0 且 b =0 (a，b∈R).
⇔
(5)复数的运算法则
⇔
加减法：(a+bi)±(c+di)= ( a ± c )+( b ± d )i ；
乘法：(a+bi)(c+di)= ( ac - bd )+( ad + bc )i ；
ac+bd bc-ad
除法：(a+bi)÷(c+di)= + i
c2+d2 c2+d2
( c + d i≠0) .(其中a，b，c，d∈R)
2.复数的几个常见结论
(1)(1±i)2=±2i.
1+i 1-i
(2) =i， =-i.
1-i 1+i
(3)i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N).
3.平面向量基本定理
如果e ，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ ，
1 2 1
λ ，使a=λ e +λ e .若e ，e 不共线，我们把{e ，e }叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
2 1 1 2 2 1 2 1 2
4.向量a与b的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作⃗OA=a，⃗OB=b，则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b
π
的夹角.当θ=0时，a与b同向；当θ=π时，a与b反向.如果a与b的夹角是 ，我们说a与b垂直，记作
2
a⊥b.
5.平面向量的数量积(1)若a，b为非零向量，夹角为θ，则a·b= | a||b |·cos θ .
(2)设a=(x ，y )，b=(x ，y )，则a·b=x x + y y .
1 1 2 2 1 2 1 2
6.两个非零向量平行、垂直的充要条件
若a=(x ，y )，b=(x ，y )，则
1 1 2 2
(1)a∥b a=λb(b≠0) x y - x y =0.
1 2 2 1
(2)a⊥b a·b=0 x x + y y =0.
⇔ 1⇔2 1 2
7.利用数量积求长度
⇔ ⇔
(1)若a=(x，y)，则|a|=√a·a=√x2+ y2.
(2)若A(x ，y )，B(x ，y )，则
1 1 2 2
|⃗AB|=√(x -x ) 2+(y - y ) 2.
2 1 2 1
8.利用数量积求夹角
设a，b为非零向量，若a=(x ，y )，b=(x ，y )，θ为a与b的夹角，
1 1 2 2
x x + y y
a·b
1 2 1 2
则cos θ= = .
|a||b| √x2+ y2√x2+ y2
1 1 2 2
9.三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则：
a
(1)O为△ABC的外心⇔|⃗OA|=|⃗OB|=|⃗OC|= .
2sin A
(2)O为△ABC的重心⇔⃗OA+⃗OB+⃗OC=0.
(3)O为△ABC的垂心⇔⃗OA·⃗OB=⃗OB·⃗OC=⃗OC·⃗OA.
(4)O为△ABC的内心⇔a⃗OA+b⃗OB+c⃗OC=0.
1.复数z=a+bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a=0且b≠0.还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧.
2.复数的运算与多项式运算类似，要注意利用i2=-1化简合并同类项.
( ⃗AB ⃗AC )
3.若⃗AP=λ + (λ∈(0，+∞))，则点P的轨迹过△ABC的内心.
|⃗AB| |⃗AC|
4.找向量的夹角时，需把向量平移到同一个起点，共起点容易忽视.
