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回顾 3 三角函数、三角恒等变换与解三角形
1.终边相同角的表示
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S= { β | β = α + k ·360° ， k ∈ Z } ，即任一与角α终边
相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
2.几种特殊位置的角的集合
(1)终边在x轴非负半轴上的角的集合： { α | α = k ·360° ， k ∈ Z } .
(2)终边在x轴非正半轴上的角的集合： { α | α =180°+ k ·360° ， k ∈ Z } .
(3)终边在x轴上的角的集合： { α | α = k ·180° ， k ∈ Z } .
(4)终边在y轴上的角的集合： { α | α =90°+ k ·180° ， k ∈ Z } .
(5)终边在坐标轴上的角的集合： { α | α = k ·90° ， k ∈ Z } .
3.1弧度的角
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示.
4.角度制与弧度制的换算
π
(1)1°= rad.
180
(180)
(2)1 rad= °.
π
5.扇形的弧长和面积
l
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么|α|= .
r
相关公式：(1)l= | α | r .
1 1
(2)S= lr= | α | r 2 .
2 2
6.任意角的三角函数的定义
(1)设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)，那么：
①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y=sin α.
②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x=cos α.
y y
③把点P的纵坐标与横坐标的比值 叫做α的正切，记作tan α，即 =tan α(x≠0).
x x
y x
(2)设α是一个任意角，点P(x，y)为α终边上任一点，|OP|=√x2+ y2，则sin α= ，cos α= ，tan
|OP| |OP|
y
α= (x≠0).
x
7.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α+cos2α=1 sin α=±√1-cos2α.
(2)商的关系：
⇒
sinα ( π )
=tan α α≠kπ+ (k∈Z) .
cosα 2
8.三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
π π
角 2kπ+α(k∈Z) π+α -α π-α -α +α
2 2
正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α -cos α cos α -cos α sin α -sin α
正切 tan α tan α -tan α -tan α
函数名改变，符
口诀 函数名不变，符号看象限
号看象限
9.三种三角函数的图象和性质
正弦函数y=sin x
余弦函数y=cos x
正切函数y=tan x
图象
定义域
R
R
π
{ x | x ≠ + k π ， k ∈ Z }
2
值域
[-1，1](有界性)[-1，1](有界性)
R
零点
{ x | x = k π ， k ∈ Z }
π
{x|x= +kπ，k∈Z}
2
{ x | x = k π ， k ∈ Z }
最小正周期
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
单调递增区间
[ π π ]
- +2kπ， +2kπ (k∈Z)
2 2
[-π+2 k π ， 2 k π]( k ∈ Z )
( π π )
- +kπ， +kπ ( k ∈ Z )
2 2
单调递减区间
[π 3π ]
+2kπ， +2kπ ( k ∈ Z )
2 2
[2kπ，π+2kπ](k∈Z)
对称性
对称轴
π
x = + k π( k ∈ Z )
2
x = k π( k ∈ Z )
对称中心
( k π ， 0)( k ∈ Z )(π )
+kπ，0 ( k ∈ Z )
2
(kπ )
，0 ( k ∈ Z )
2
10.函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0，A>0)的图象
(1)“五点法”作图
π 3π
设z=ωx+φ，令z=0， ，π， ，2π，求出相应的x的值与y的值，描点、连线可得.
2 2
(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口.
(3)图象变换
y=sin x y=sin(x+φ)
y=sin(ωx+φ)
y=Asin(ωx+φ).
11.三角恒等变换
(1) cos(α+β)= cos α cos β -sin α sin β ，
cos(α-β)= cos α cos β +sin α sin β ，
sin(α+β)= sin α cos β +cos α sin β ，
sin(α-β)= sin α cos β -cos α sin β ，
tanα+tanβ
tan(α+β)= ，
1-tanαtanβ
tanα-tanβ
tan(α-β)= .
1+tanαtanβ
(2)二倍角公式：
sin 2α= 2sin α cos α ，
cos 2α= cos 2 α -sin 2 α =2cos2α-1= 1-2sin 2 α ，
2tanα
tan 2α= .
1-tan2α
1-cos2α 1+cos2α
(3)降幂公式：sin2α= ，cos2α= .
2 2
(4)辅助角公式：
b
asin x+bcos x=√a2+b2sin(x+φ)，其中tan φ= .
a
12.正弦定理及其变形a b c
= = =2R(2R为△ABC外接圆的直径).
sinA sinB sinC
变形：a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C.
a b c
sin A= ，sin B= ，sin C= .
2R 2R 2R
a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.
13.余弦定理及其推论、变形
a2= b 2 + c 2 -2 bc cos A ，b2= a 2 + c 2 -2 ac cos B ，
c2= a 2 + b 2 -2 ab cos C .
b2+c2-a2 a2+c2-b2
推论：cos A= ，cos B= ，
2bc 2ac
a2+b2-c2
cos C= .
2ab
变形：b2+c2-a2=2bccos A，
a2+c2-b2=2accos B，
a2+b2-c2=2abcos C.
14.面积公式
1 1 1
S = bcsin A= ac sin B = ab sin C .
△ABC 2 2 2
1.利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号.
2.在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x的取值范围.
3.求函数f(x)=Asin(ωx+φ)的单调区间时，要注意A与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后求解.
|φ|
4.三角函数图象变换中，注意由y=sin ωx的图象变换得到y=sin(ωx+φ)的图象时，平移量为 ，而不是φ.
ω
5.在已知两边和其中一边的对角利用正弦定理求解时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解.
