文档内容
第五周
周一
π
1.(2024·临沂模拟)若实数a，b，c满足a=2sin ，b3=7，3c=10，则( )
12
A.aS
15 7 8
D.若{a }和{a ·a }都为递增数列，则a >0
n n n+1 n
x2 y2
4.(2024·常德沅澧共同体联考)已知双曲线 C： - =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，过点F 的
a2 b2 1 2 2
直线交双曲线右支于A，B两点，且⃗AF =3⃗F B，⃗AB⊥⃗BF ，则双曲线的离心率为 .
2 2 1
(x+k)ln(x+1)-kx
5.(2024·河南TOP二十名校联考)已知函数f(x)= ，k∈[2，+∞).
x+k
(1)讨论函数f(x)的单调性；
3n
(2)当n∈N*时，求证：ln(n+1)< .
4答案精析
1.A 2.B 3.BC
√10
4.
2
解析 设|⃗F B|=t，则|⃗AF |=3t，
2 2
|⃗AB|=4t，
从而|⃗AF |=3t+2a，
1
|⃗F B|=t+2a.
1
再由⃗AB⊥⃗BF
1
可知|⃗F B|2 +|⃗F B|2 =|⃗F F |2 ，
1 2 1 2
|⃗F B|2+|⃗AB|2=|⃗AF |2.
1 1
故(t+2a)2+t2=4c2，(t+2a)2+16t2=(3t+2a)2，
{t2+2at+2a2=2c2,
整理得方程组
at=t2.
由at=t2得t=a，
代入第一个方程可得5a2=2c2，
√c2 √5 √10
所以e= = = .
a2 2 2
kx
5.(1)解 由题意知，f(x)=ln(x+1)- ，定义域为(-1，+∞).
x+k
1 k2
f'(x)= -
x+1 (x+k) 2
x[x-(k2-2k)]
= ，
(x+1)(x+k) 2
①若k=2，则f'(x)≥0，f(x)在(-1，+∞)上单调递增；
②若k>2，当x∈(-1，0)时，f'(x)>0，f(x)在(-1，0)上单调递增，
当x∈(0，k2-2k)时，f'(x)<0，
f(x)在(0，k2-2k)上单调递减，
当x∈(k2-2k，+∞)时，f'(x)>0，f(x)在(k2-2k，+∞)上单调递增.(2)证明 由(1)得，当k=3时，
3x
f(x)=ln(x+1)- ，
x+3
f(x)在(0，3)上单调递减，
即当x∈(0，3)时，f(x)
